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江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试题 Word版含答案


南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试 数
2013.05 注意事项: 1.本试卷共 160 分、考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上.考试结束后,交回 答题卡. 参考公式: 1 n 1n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2=n ∑ (xi-- x )2,其中- x =n ∑ xi.
i=1 i=1



....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1. 记函数 f(x)= 3-x的定义域为 A, 函数 g(x)=lg(x-1)的定义域为 B, 则 A∩B= 2.已知复数 z 满足(z+1)i=3+5i,其中 i 为虚数单位,则|z|= 3.某算法的伪代码如图所示,若输出 y 的值为 3,则 输入 x 的值为 ▲ . ▲ . ▲ .

4.右图是 7 位评委给某作品打出的分数的茎叶图,那么 这组数据的方差是 ▲ .

5.已知函数 f (x)=2sin(ωx+?)(?>0)的部分图象如图所示, 则 ω= ▲ .

6.在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片,现从中一次取出 2 张卡片, 则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 ▲ .

→ → → → → → 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA =(3,-1),OB =(0,2).若 OC · AB =0, AC =λ OB , 则实数 λ 的值为 ▲ .

8.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面. ①若 m?α,m⊥β,则 α⊥β; ②若 m?α,α∩β=n,α⊥β,则 m⊥n;

③若 m?α,n?β,α∥β,则 m∥n; 上述命题中为真命题的是 ▲

④若 m∥α,m?β,α∩β=n,则 m∥n. (填写所有真命题的序号) .

9.如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5, AC=7,DC=3,则 AB 的长为 ▲ .

10. 记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x). 如果存在 x0∈[a, b], 使得 f(b)-f(a)=f′(x0)(b -a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中值点” .那么函数 f(x)=x3-3x 在区间 [-2,2]上“中值点”的个数为 ▲ .

x2 y2 11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 是双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过 F 作 → 双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 A,延长 FA 与另一条渐近线交于点 B.若 FB = → 2 FA ,则双曲线的离心率为 ▲ .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0,直线 l 经过点(1,0).若对任意的实数 m,定直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,则直线 l 的方程 为 ▲ .


13 .已知数列 {an} 的通项公式为 an =- n + p ,数列 {bn} 的通项公式为 bn = 2n 5 .设 cn =
?an,an≤bn, ? 若在数列{cn}中, c8>cn(n∈N*, n≠8), 则实数 p 的取值范围是 ?bn,an>bn,





14.设点 P 是曲线 y=x2 上的一个动点,曲线 y=x2 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 y=x2 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为 ▲ .

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 7 2 已知 α,β∈(0,π),且 tanα=2,cosβ=- 10 . (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α-β 的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的 中点. (1)证明:EF∥平面 ABC; (2)证明:C1E⊥平面 BDE.

17.(本小题满分 14 分) 1 已知函数 f(x)=2m(x-1)2-2x+3+lnx ,m∈R. (1)当 m=0 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)当 m>0 时,若曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公 共点,求实数 m 的值.

18.(本小题满分 16 分) 将一张长 8cm,宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部

分,面积分别为 S1cm2,S2cm2,其中 S1≤S2.记折痕长为 lcm. (1)若 l=4,求 S1 的最大值; (2)若 S1∶S2=1∶2,求 l 的取值范围.

19.(本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: m+ =1. 8-m (1)若椭圆 C 的焦点在 x 轴上,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=6, ①P 是椭圆 C 上的动点, M 点的坐标为(1,0),求 PM 的最小值及对应的点 P 的坐 标; ②过椭圆 C 的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB AB 的垂直平分线 l 交 x 轴于点 N,证明:FN 是定值,并求出这个定值.

20.(本小题满分 16 分) 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. Sn (1)求证:数列{ n }是等差数列; (2)若 a1=1,且对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立,求数列{an} 的通项公式;

b1+b2+?+bn b1+bn (3)记 bn=aan (a>0),求证: ≤ 2 . n

南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试 数学附加题
注意事项: 1.附加题供选考物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡 上.考试结束后,交回 ... 答题卡. .. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分.请在答题 ...... 卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,PA,PB 是⊙O 的切线,切点分别为 A,B,线段 OP 交⊙O 于点 C.若 PA=12, PC=6,求 AB 的长.

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 M = ?

?1 a? ? 对应的变换将点 A(1,1)变为 A' (0,2),将曲线 C:xy=1 变为曲 ?b 1?

线 C'. (1)求实数 a,b 的值; (2)求曲线 C' 的方程.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π π 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos(θ-6),点 M 的极坐标为(6,6),直线 l 过点 M,且 与圆 C 相切,求 l 的极坐标方程.

D.选修 4—5:不等式选讲 解不等式 x|x-4|-3<0.

........ 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知 PA⊥平面 ABC,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,D,E 分别为 PB,PC 中点. (1)若 PA=2,求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值; (2)若平面 ADE⊥平面 PBC,求 PA 的长.

23.(本小题满分 10 分)

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1 如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为3,刚开始 时,棋子在上底面点 A 处,若移了 n 次后,棋子落在上底面顶点的概率记为 pn.

(1)求 p1,p2 的值; (2)求证: ∑ 1 n2 > . i=14Pi-1 n+1
n

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南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准
2013.05
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果 后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.(1,3] 7 6.10 11.2 2.5 7.2 12.2x+y-2=0 3.8 8.①④ 13.(12,17) 12 4. 7 5 6 9. 2 2 5. 3 10.2

3 3 14. 2 错误!未指定书

签。 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解(1)方法一: sinα 因为 tanα=2,所以cosα=2,即 sinα=2cosα. 分 4 1 又 sin2α+cos2α=1,解得 sin2α=5,cos2α=5. 分 3 所以 cos2α=cos2α-sin2α=-5. 分 方法二: 因为 cos2α=cos2α-sin2α = cos α-sin α 1-tan α = , sin2α+cos2α tan2α+1
2 2 2

?????????? 2

?????????? 4

?????????? 6

?????????? 2 分 ?????????? 4 分 ?????????? 6 分

1-22 3 又 tanα=2,所以 cos2α= 2 =-5. 2 +1 (2)方法一: π 因为 α∈(0,π),且 tanα=2,所以 α∈(0,2). 3 π 4 又 cos2α=-5<0,故 2α∈(2,π) ,sin2α=5. 7 2 2 π 由 cosβ=- 10 ,β∈(0,π),得 sinβ= 10 ,β∈(2,π). 分
[来源:学.科.网]

?????????? 8 分 ?????????? 10

4 7 2 3 2 2 所以 sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=5×(- 10 )-(-5)× 10 =- 2 . ???? 12 分 π π π 又 2α-β∈(-2,2),所以 2α-β=-4. 分 方法二: π 2tanα 4 因为 α∈(0,π),且 tanα=2,所以 α∈(0,2),tan2α= =-3. 1-tan2α π 从而 2α∈( 2,π). 分 ?????????? 8 ?????????? 14

7 2 2 π 由 cosβ=- 10 ,β∈(0,π),得 sinβ= 10 ,β∈(2,π), 1 因此 tanβ=-7. 分 4 1 -3+7 tan2α-tanβ 所以 tan(2α-β)= = 4 1 =-1. 1+tan2αtanβ 1+(-3)×(-7) 分 π π π 又 2α-β∈(-2,2),所以 2α-β=-4. 分 ?????????? 14 ?????????? 10

?????????? 12

16.证明(1)如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,FG. 1 ∥ C1C. 因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG = 2
∥C1C,且 E 为 A1A 的中点, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A = ∥EA. 所以 FG =

所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF∥AG. ?????????? 4 分 因为 EF?平面 ABC,AG?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. ?????????? 6 分

(2)因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,BD?平面 ABC, 所以 A1A⊥BD. 因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BD⊥AC. 因为 A1A∩AC=A,A1A?平面 A1ACC1,AC?平面 A1ACC1,所以 BD⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E?平面 A1ACC1,所以 BD⊥C1E. 6 根据题意,可得 EB=C1E= 2 AB,C1B= 3AB, 所以 EB2+C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°,即 C1E⊥EB.????????? 12 分 因为 BD∩EB=B,BD ?平面 BDE, EB?平面 BDE, 所以 C1E⊥平面 BDE. ?????????? 14 分 ?????????? 9 分

17.解(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx, 1 -2x+1 所以 f′(x)=-2+x = (x>0). x 1 由 f′(x)>0 得 x∈(0,2) . 1 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,2). 1 (2)由 f′(x)=mx-m-2+x ,得 f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 的方程为 y=-x+2.???????? 6 分 由题意得,关于 x 的方程 f(x)=-x+2 有且只有一个解, 1 即关于 x 的方程2m(x-1)2-x+1+lnx=0 有且只有一个解. 1 令 g(x)=2m(x-1)2-x+1+lnx(x>0). 1 mx2-(m+1)x+1 (x-1)(mx-1) 则 g′(x)=m(x-1)-1+x = = (x>0). ????? 8 分 x x 1 1 ①当 0<m<1 时,由 g′(x)>0 得 0<x<1 或 x>m,由 g′(x)<0 得 1<x<m, 1 1 所以函数 g(x)在(0,1)为增函数,在(1,m)上为减函数,在(m,+∞)上为增函数. 又 g(1)=0,且当 x→∞时,g(x)→∞,此时曲线 y=g(x)与 x 轴有两个交点. 故 0<m<1 不合题意. ????????? 10 分 ????????? 4 分 ????????? 2 分

②当 m=1 时,g′(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且 g(1)=0,故 m=1 符合题意. 1 1 ③当 m>1 时,由 g′(x)>0 得 0<x<m或 x>1,由 g′(x)<0 得m<x<1, 1 1 所以函数 g(x)在(0,m) 为增函数,在(m,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数. 又 g(1)=0,且当 x→0 时,g(x)→-∞,此时曲线 y=g(x)与 x 轴有两个交点. 故 m>1 不合题意. 综上,实数 m 的值为 m=1. 分 ????????? 14

18.解

如图所示,不妨设纸片为长方形 ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点 A 在面积为

S1 的部分内. 折痕有下列三种情形: ①折痕的端点 M,N 分别在边 AB,AD 上;

②折痕的端点 M,N 分别在边 AB,CD 上; ③折痕的端点 M,N 分别在边 AD,BC 上.

(1)在情形②、③中 MN≥6,故当 l=4 时,折痕必定是情形①. 设 AM=xcm,AN=ycm,则 x2+y2=16. 因为 x2+y2≥2xy,当且仅当 x=y 时取等号, 1 所以 S1=2xy≤4,当且仅当 x=y=2 2时取等号. 即 S1 的最大值为 4. (2)由题意知,长方形的面积为 S=6×8=48. 因为 S1∶S2=1∶2,S1≤S2,所以 S1=16,S2=32. 1 32 当折痕是情形①时,设 AM=xcm,AN=ycm,则2xy=16,即 y= x . ????????? 5 分 ????????? 2 分

? ?0≤x≤8, 16 由? 32 得 ≤x≤8. ?0≤ x ≤6, 3 ?
所以 l= x2+y2= 322 16 x2+ x2 , 3 ≤x≤8. ????????? 8 分

2×322 2(x2+32)(x+4 2)(x-4 2) 322 设 f(x)=x2+ x2 ,x>0,则 f ′(x)=2x- x3 = ,x>0.故 x3 x 16 3 16 ( 3 ,4 2) - 4 649 ↘ 4 2 0 64 (4 2,8) + ↗ 80 8

f ′(x) f(x)

所以 f(x)的取值范围为[64,80],从而 l 的范围是[8,4 5];

?????? 11 分

1 16 当折痕是情形②时,设 AM=xcm,DN=ycm,则2(x+y)×6=16,即 y= 3 -x.

? ?0≤x≤8, 16 由? 16 得 0≤x≤ 3 . 0 ≤ - x ≤ 8 , ? 3 ?
所以 l= 62+(x-y)2= 8 16 62+4(x-3)2,0≤x≤ 3 .

2 145 所以 l 的范围为[6, 3 ];

????????? 13 分

1 当折痕是情形③时,设 BN=xcm,AM=ycm,则2(x+y)×8=16,即 y=4-x.
?0≤x≤6, 由? 得 0≤x≤4. ?0≤4-x≤6,

所以 l= 82+(x-y)2= 82+4(x-2)2,0≤x≤4. 所以 l 的取值范围为[8,4 5]. 综上,l 的取值范围为[6,4 5]. ????????? 16 分

19.解(1)由题意得,m>8-m>0,解得 4<m<8. 即实数 m 的取值范围是(4,8).
[来源:学科网]

????????? 2 分

x2 y2 (2)因为 m=6,所以椭圆 C 的方程为 6 + 2 =1. x2 y2 ①设点 P 坐标为(x,y) ,则 6 + 2 =1. 因为点 M 的坐标为(1,0) ,所以 x2 2x2 PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2- 3 = 3 -2x+3 2 3 3 =3(x-2)2+2,x∈[- 6, 6]. ????????? 4 分

3 6 3 5 所以当 x=2时,PM 的最小值为 2 ,此时对应的点 P 坐标为(2,± 2 ) . ????????? 6 分 ②由 a2=6,b2=2,得 c2=4,即 c=2, 6 从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0),右准线方程为 x=3,离心率 e= 3 . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点 H(x0,y0) ,则 x12 y12 x22 y22 + = 1 , 6 2 6 + 2 =1, x12-x22 y12-y22 y1-y2 x0 所以 6 + 2 =0,即 kAB= =-3y . x1-x2 0 ????????? 9 分

1 令 k=kAB,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y-y0=-k(x-x0). 2 令 y=0,则 xN=ky0+x0=3x0. 2 因为 F(2,0),所以 FN=|xN-2|=3|x0-3|. ????????? 12 分

2 6 因为 AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)= 3 |x0-3|. AB 2 6 3 故FN= 3 ×2= 6. AB 即FN为定值 6. ????????? 16 分

n(n-1) n-1 Sn 20.解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ 2 d,从而 n =a1+ 2 d. n-1 n-2 Sn Sn-1 d 所以当 n≥2 时, n - =(a1+ 2 d)-(a1+ 2 d)=2. n-1 Sn 即数列{ n }是等差数列. ????????? 2 分

(2)因为对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立, 所以 Sn+1+ Sn-1=2 Sn,即数列{ Sn}是等差数列. ????????? 4 分

设数列{ Sn}的公差为 d1,则 Sn= S1+(n-1)d1=1+(n-1)d1, 所以 Sn=[1+(n-1)d1]2,所以当 n≥2 时,
2 2 an=Sn-Sn-1=[1+(n-1)d1]2-[1+(n-2)d1]2=2d1 n-3d1 +2d1,

因为{an}是等差数列,所以 a2-a1=a3-a2,即
2 2 2 2 2 2 (4d1 -3d1 +2d1)-1=(6d1 -3d1 +2d1)-(4d1 -3d1 +2d1),

所以 d1=1,即 an=2n-1. 又当 an=2n-1 时,Sn=n2, Sn+k+ Sn-k=2 Sn对任意正整数 n,k(n>k)都成立, 因此 an=2n-1. ????????? 7 分

(3)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,bn=aan, 所以 bn - =aan an 1=ad, bn-1


即数列{bn}是公比大于 0,首项大于 0 的等比数列. 记公比为 q(q>0).

????????? 9 分

以下证明:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. 因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn 1-b1qp 1-b1qk 1=b1(qp 1-1)( qk 1-1). 当 q>1 时,因为 y=qx 为增函数,p-1≥0,k-1≥0, 所以 qp 1-1≥0,qk 1-1≥0,所以 b1+bn≥bp+bk. 当 q=1 时,b1+bn=bp+bk. 当 0<q<1 时,因为 y=qx 为减函数,p-1≥0,k-1≥0,
- - - - - - -

所以 qp 1-1≤0,qk 1-1≤0,所以 b1+bn≥bp+bk. 综上,b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n.??????? 14 分 所以 n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+?+(b1+bn)
≥(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)+?+(bn+b1)





=(b1+b2+?+bn)+(bn+bn-1+?+b1), 即 b1+b2+?+bn b1+bn ≤ 2 . n ???????? 16 分

南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
2013.05
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明 如图,延长 PO 交⊙O 于 D,连结 AO,BO.AB 交 OP 于点 E. 因为 PA 与⊙O 相切, 所以 PA2=PC·PD. 设⊙O 的半径为 R,因为 PA=12,PC=6, 所以 122=6(2R+6),解得 R=9. ???????? 4 分

因为 PA,PB 与⊙O 均相切,所以 PA=PB. 又 OA=OB,所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线. 即 AB⊥OP,且 AB=2AE. OA·PA 36 在 Rt△OAP 中,AE= OP = 5 . 72 所以 AB= 5 . B.选修 4—2:矩阵与变换 解 (1)由题知,?
?1+a=0, ?1 a? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ?=? ?,即?b+1=2, 1 2 ? ? ? ? ? ?b 1?

???????? 7 分

???????? 10 分

?a=-1, 解得? ?b=1.

???????? 4 分

(2)设 P' (x,y)是曲线 C'上任意一点,P' 由曲线 C 上的点 P (x0,y0) 经矩阵 M 所表示的变换 得到,

y+x x0= 2 , x x 1 - 1 ? 0 x0-y0=x, ? ? ? ? ?? 所以? ???????? 7 分 ? ? ?=? ? ,即?x +y =y,解得 y-x ? 0 0 1? ?y0? ?y? ?1 y0= 2 . y+x y-x y2 x2 因为 x0y0=1,所以 2 · 2 =1,即 4 - 4 =1. y2 x2 即曲线 C' 的方程为 4 - 4 =1. 分 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系, 则圆 C 的直角坐标方程为(x- 3)2+(y-1)2=4, 点 M 的直角坐标为(3 3,3). 分 当直线 l 的斜率不存在时,不合题意. 设直线 l 的方程为 y-3=k(x-3 3), 由圆心 C( 3,1)到直线 l 的距离等于半径 2. 故 分 解得 k=0 或 k= 3. 所以所求的直线 l 的直角坐标方程为 y=3 或 3x-y-6=0. π 所以所求直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ=3 或 ρsin(3-θ)=3. 分 D.选修 4—5:不等式选讲
?x≥4, ?x<4, 解 原不等式等价于 ? 2 或? 2 ?x -4x-3<0, ?-x +4x-3<0. ?x≥4, ?x<4, 解得? 或? ?2- 7<x<2+ 7, ?x<1或x>3.

? ? ?

???????? 10

???????? 3

|2 3k-2| k2+1

=2.

???????? 6

??????? 8 分 ???????? 10

???????? 5 分

即 4≤x<2+ 7或 3<x<4 或 x<1. 综上,原不等式的解集为{x| x<1 或 3<x<2+ 7}. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分. 22.解(1)如图,取 AC 的中点 F,连接 BF,则 BF⊥AC.以 A 为坐标原点,过 A 且与 FB ???????? 10 分

平行的直线为 x 轴,AC 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,0),B( 3,1,0), C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1), 从而PB=( 3,1,-2), AE=(0,1,1). 设直线 AE 与 PB 所成角为 θ, 1 则 cosθ=| |=4. → → |PB|×|AE| 1 即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为4 .
[来源:Zxxk.Com]





PB·AE

→ →

???????? 4 分

(2)设 PA 的长为 a,则 P(0,0,a),从而PB=( 3,1,-a),PC=(0,2,-a). 设平面 PBC 的法向量为 n1=(x,y,z),则 n1·PB=0,n1·PC=0, 所以 3x+y-az=0,2y-az=0. 3 令 z=2,则 y=a,x= 3 a. 3 所以 n1=( 3 a,a,2)是平面 PBC 的一个法向量. 3 1 a a 因为 D,E 分别为 PB,PC 中点,所以 D( 2 ,2,2),E(0,1,2), 3 1 a → a → 则AD=( 2 ,2,2),AE=(0,1,2). 设平面 ADE 的法向量为 n2=(x,y,z),则 n2·AD=0,n2·AE=0. 3 1 a a 所以 2 x+2y+2z=0,y+2z=0. 3 令 z=2,则 y=-a,x=- 3 a. 3 所以 n2=(- 3 a,-a,2)是平面 ADE 的一个法向量. 因为面 ADE⊥面 PBC, 3 3 1 所以 n1⊥n2,即 n1·n2=( 3 a,a,2)·(- 3 a,-a,2)=-3a2-a2+4=0, 解得 a= 3,即 PA 的长为 3. 2 23.解(1)p1=3, ???????? 10 分 ???????? 8 分













2 2 1 2 5 p2=3×3+3×(1-3)=9.

???????? 2 分

(2)因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn,故落在下底面顶点的概率为 1-pn. 2 1 1 1 于是移了 n+1 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn+1=3pn+3(1-pn)=3pn+3. ???????? 4 分 1 1 1 从而 pn+1-2=3(pn-2). 1 1 1 所以数列{pn-2}是等比数列,其首项为6,公比为3. 1 1 1 - 1 1 1 所以 pn-2=6×(3)n 1.即 pn=2+2×3n. 用数学归纳法证明: 1 3 1 3 1 ①当 n=1 时,左式= 2 =5,右式=2,因为5>2,所以不等式成立. 4×3-1 1 1 78 4 78 4 当 n=2 时,左式= 2 + 5 =55,右式=3,因为55>3,所以不等式成立. 4×3-1 4×9-1 ②假设 n=k(k≥2)时,不等式成立,即 ∑
k

???????? 6 分

1 k2 > . i=14Pi-1 k+1
k

则 n=k+1 时,左式= ∑

1 1 k2 1 k2 3k+1 + > + 1 1 1 = + k+1 . k+1 k+1 3 +2 i=14Pi-1 4Pk+1-1 4(2+2×3k+1)-1

(k+1)2 k2 3k+1 要证 + k+1 ≥ , k+1 3 +2 k+2 (k+1)2 3k+1 k2 只要证 k+1 ≥ - . 3 +2 k+2 k+1 k2+3k+1 3k+1 只要证 k+1 ≥ 2 . 3 +2 k +3k+2 2 1 只要证 3k+1≤ 2 . k +3k+1 只要证 3k+1≥2k2+6k+2. 因为 k≥2,
2 所以 3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4Ck )=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2,

(k+1)2 k2 3k+1 所以 + ≥ . k+1 3k+1+2 k+2 即 n=k+1 时,不等式也成立.

由①②可知,不等式 ∑

1 n2 > 对任意的 n∈N*都成立. ????????10 分 i=14Pi-1 n+1
n


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