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福建省三明市2019年普通高中毕业班质量检查理科数学试题

2019 年三明市普通高中毕业班质量检查

理科数学

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本

试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

注意事项:

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出

答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题

答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.

4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式:

样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差

锥体体积公式

s?

1 n

??( x1

?

x

)2

?

( x2

?

x )2

?…?

( xn

?

x

)2

??

其中 x 为样本平均数
柱体体积公式 V ? Sh

其中 S 为底面面积,h 为高

V ?1 S h 3
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式 S ? 4?R2 ,V ? 4 ?R3
3 其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?x | x ? x ?1? ? 0 ,x ? R? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2,x ? R? ,那么 A B 等于

A. ?

B.?x | 0 ? x ? 1,x ? R?

C.?x | ?2 ? x ? 2,x ? R?

D.?x | ?2 ? x ? 1,x ? R?
·1·

2.已知样本 M 的数据如下:80,82,82,84,84,84,86,86,86,86,若将样本 M 的数据分别加

上 4 后得到样本 N 的数据,那么两样本 M,N 的数字特征对应相同的是

A.平均数

B.众数

C.标准差

D.中位数

3.已知函数 f (x) ? log2 (1? x) ? log2 (1? x) ,则 f (x) 是

A.奇函数 C.既是奇函数也是偶函数

B. 偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

? ? 4.已知数列 an 的前 n 项和 Sn ? 2n ?1 ,则数列{an2} 的前 10 项和为

A. 410 ?1

B. (210 ?1)2

C. 1 (410 ?1) 3

D. 1 (210 ?1) 3

5.设平面? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 l1 在平面? 内,直线 l2 在平面 ? 内,且 l2 ⊥ m ,

则“ l1 ⊥ l2 ”是“? ⊥ ? ”的
A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知三棱锥的底面是边长为 a 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,若侧视

图的面积为 3 ,三棱锥的体积为 1 ,则 a 的值为

4

4

A. 3

B. 3

C. 3

D.1

4

2

4

7.已知 a ?R ,那么函数 f (x) ? acos ax 的图象不可能是

y

y

1

1

O

π

2π x

O

π

2π x

-1
A

-1
B

y

y

1

1

O

π

2π x

O

π

2π x

-1

-1

C

D

8.已知函数

f

(x)

?

??x2 ?

? 1,? 1<x

? 0,

将函数 g(x)

?

f

(x) ?

x ?1的零点按从小到大的顺序排列,构

? f (x ?1) ?1, x ? 0,

成数列{an} ,则该数列的通项公式为

·2·

A. an ? n ?1 C. an ? n(n ?1)

B. an ? n D.an=2n-2

9.已知区域

?

?

???(x, ??

y)

|

??1 ???1

? ?

x y

? 1,??

?

1

? ??

,区域

A

? {(x,

y)

|

0

?

y

?

1 2

e?|x| ,

x

?[?1 , 1]}

,在

?

内随机投掷

一点 M ,则点 M 落在区域 A内的概率是

A. 1 (1? 1) 2e

B. 1 (1? 1) 4e

C. 1 e

D.1? 1 e

10.若曲线 y ? f (x) 在点 A(x1 , y1) 处切线的斜率为 k A ,曲线 y ? g(x) 在点 B(x2 , y2 ) 处切线的斜

率为

k B(

x1

?

x2

),将

|

kA ? kB | AB |

|

的值称为这两曲线在

A

,B

间的“异线曲度”,记作 ? ( A

,

B)

.现

给出以下四个命题:

①已知曲线 f (x) ? x3 , g(x) ? x2 ?1,且 A(1, 1) , B(2 , 3) ,则?( A , B) ? 2 ; 2

②存在两个函数 y ? f (x) , y ? g(x) ,其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数;

③已知抛物线

f

(x)

?

x2

?1 ,

g(x)

?

x2

,若

x1

?

x2

?

0 ,则?( A

,

B)

?

25 5



④对于曲线 f (x) ? ex ,g(x) ? e?x ,当 x1 ? x2 ? 1 时,若存在实数 t ,使得 t ??( A , B) ? 1恒成立,

t 的取值范围是[1, ??) .

其中正确命题的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相 应位置.
11.二项式 (x ? a)10 的展开式中, x7 的系数是15 ,则实数 a =_____.
·3·

开始 S=0 T=0

输入x

x≥170? 否

是 S=S+1

T=T+1
否 T≥500? 是 输出S

结束

12.某学校为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 500 名男生作为样本,右图是此次调查统计 的流程图,若输出的结果是 380 ,则身高在170cm 以下的频率为_____.
13.若命题“ ?x ?[1, 2] , x2 ? 2ax ? a ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围





14.过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? 0 , b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂

足恰在线段 OF ( O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为



15.如图,三条平行直线 l1 , l , l2 把平面分成①、②、③、④四个区域(不含边界),且直线 l 到 l1 , l2
的距
离相等.点 O 在直线 l 上,点 A,B 在直线 l1 上, P 为平

面区域内的点,且满足 OP ? ?1OA? ?2OB(?1,?2 ?R) .

若 P 所在的区域为④,则 ?1 ? ?2 的取值范围是是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)
? 已知集合 A ? ?1,1, 2 , 3? ,从 A 中随机抽取两个不同的元素 a ,b ,作为复数 z ? a ? bi ( i 为
虚数单位)的实部和虚部.
(Ⅰ)求复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率;
(Ⅱ)设? ?| z |2 ,求? 的分布列及其数学期望 E? .

17.(本小题满分 13 分)
如图 1,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1,将! ACD 沿矩形的对角线 AC 翻折,得到如图

2 所示的几何体 D ? ABC ,使得 BD = 3 .

(Ⅰ) 求证: AD ? BC ;

(Ⅱ)

若在 CD 上存在点 P ,使得VP?ABC

?

1 2

VD? ABC

,求二面角

P

?

AB

?C

的余弦值.

·4·

D

D

C

P

18.(本小题满分 13 分)

A 图1

A B

C
B 图2

已知点 P(c, 3 c) 在以 F (c, 0) 为右焦点的椭圆 ? : 2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

?b

?

0) 上,斜率为

1

的直线 m

过点
F 与椭圆 ? 交于 A,B 两点,且与直线 l : x ? 4c 交于点 M . (Ⅰ) 求椭圆 ? 的离心率 e ; (Ⅱ) 试判断直线 PA ,PM ,PB 的斜率是否成等差数列?若成
等差数列,给出证明;若不成等差数列,请说明理由.

19.(本小题满分 13 分)

如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型,其中 AD ? 6 , C 是 AB 的中点, ?BCD ? π ,
3 设

?BAD ? ? ,且? ?( π , π) .
93

D

B

(Ⅰ) 若? ? π ,求 AB 的长; 4
(Ⅱ) 求 BD 的长 f (? ) ,并求 f (? ) 的最小值;
(Ⅲ) 经市场调查发现,某地对该种金属支架的需求量与? 有关,且需求量 g(? )

C θ A



函数关系式为 g(? ) ? 4sin 6? ? 6? (单位:万件),试探究是否存在某种规格

的金属支架在当地需求量为零?并说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? ax2 ? ln(x ?1) (a ? R) .
(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的单调区间;
·5·

(Ⅱ)当 x ?[0, ??) 时,函数

y

?

f

(

x)

图象上的点都在

? ? ?

x x

? ?

0, y?

所表示的平面区域内,求实
0

数 a 的取值范围. (Ⅲ)将函数 y ? f (x) 的导.函.数.的图象向右平移一个单位后,再向上平移一个单位,得到函数

y ? g(x) 的图象,试证明:当 a ? 1 时,[g(x)]n ? g(xn ) ? 2n ? 2 (n ? N? ) . 2

21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所 选题号填入括号中.
(1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

已知矩阵

M

?

?a

? ?

0

1 b

? ? ?



a

?

0,

b

?

0

).

(Ⅰ)当 a ? 2,b ? 3时,求矩阵 M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量; ( Ⅱ ) 当 a ? b 时 , 曲 线 C : x2 ? y2 ?1 在 矩 阵 M 的 对 应 变 换 作 用 下 得 到 曲 线 C? : x2 ? 2xy ?1 ? 0 ,
求 a 的值.

(2)(本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中,已知直线

l

的参数方程为

?
?? ?
? ??

x y

? ?

3 t, 5 1? 4
5

t

(

t

为参数).以直角坐标原点

O

为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P(x, y) 是直线 l 与曲线 C 的内部的公共点,求 x ? y 的取值范围.

(3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲
·6·

已知不等式 | x ? 2 |?1的解集与不等式 2x2 ? ax ? b ? 0 的解集相同. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) ? a x ? 3 ? b 15 ? 4x 的最大值及取得最大值时 x 的值.

2019 年三明市普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考答案及评分标准

一.选择题: 1—5 BCACB 二、填空题:

6—10

DDABC

11. ? 1 ; 12. 0.24 ; 13. (? 1 , ??) ; 14. 2 ; 15. (??, ?1) ;

2

3

三.解答题:
16.解:(Ⅰ)从集合 A 中随机抽取两个不同的元素 a,b ,组成复平面内的对应点有 A42 ? 12 种,其

中位于第一象限的点有

A32

?

6

种,所以所求的概率为

1 2

.

……………………6 分

(Ⅱ)? = z 2 ? a2 ? b2 , ? =2,5,10,13 .

……………………7 分

P(? ? 2) ? 1 , P(? ? 5) ? 1 , P(? ? 10) ? 1 , P(? ? 13) ? 1 .

6

3

3

6

?

2

5

10

13

1

1

1

1

P

6

3

3

6

……………………11 分

∴ E? ? 2? 1 ? 5? 1 ?10? 1 ?13? 1 ? 15 .

63

3

62

17.解:(Ⅰ)当 BD ? 3 时, AD ?1, AB ? 2 ,

……………………13 分

∴ AD ? BD ,又 AD ? DC ,

∴ AD ? 平面 BCD,而 BC ?平面 BCD ,

∴ AD ? BC .

……………………5 分

(Ⅱ)如图,以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴,BA 所

·7·

在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系,

由(Ⅰ)知 AD ? BC ,又 AB ? BC ,

∴ BC ? 平面 ABD ,

∵ BC ? 平面 ABC ,∴平面 ABD ⊥平面 ABC , 过 D 作 DH ? AB,则 DH∥z 轴,

……………………7 分

在 Rt! ABD 中, AD ?1, AB ? 2 ,可得 AH ? 1 , BH ? 3 .

2

2

故 D(0, 3 , 2

3) 2

,∵ VP ? ABC

?

1 2 VD?ABC

,∴

P



DC

中点,∴

P(1 , 2

3 4

,

3) . 4

设平面 PAB 的法向量为 n ? (x, y, z) ,



??n ? ??n

? ?

BA BP

? ?

0, 0,



?(x, ? ? ??( x,

y, y,

z) z)

? ?

(0, 2, 0) (1, 3, 24

? 0, 3) ? 4

0,

? y ? 0,



? ? ??

1 2

x

?

3 z ? 0, 4

……………9 分

取 z ? ?2 ,则 n ? ( 3, 0, ?2) ,又平面 ABC 的法向量为 m ? (0,0,1) , ………11 分

则 cos m, n = m ? n = 2 7 .
|m|?|n| 7

故二面角 P ? AB ?C 的余弦值为 2 7 . 7

……………………13 分

18.解:(Ⅰ)因为点

P(c,

3 2

c)

在椭圆

?

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 上,所以 c2 a2

9c2 ? 4b2

?1.

整理得, 4a4 ?17a2c2 ? 4c4 ? 0 ,即 4e4 ?17e2 ? 4 ? 0 ,

解得 e ? 1 或 e ? 2 (舍),所以离心率 e ? 1 .

2

2

……………………5 分

(Ⅱ)直线 PA , PM , PB 的斜率成等差数列,证明如下:

由(Ⅰ)知, a ? 2c, b ? 3c ,∴椭圆 E : 3x2 ? 4 y2 ? 12c2

直线 m 的方程为 y ? x ? c .代入椭圆方程并整理,

得 7x2 ? 8cx ? 8c2 ? 0 .

……………………6 分

设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,直线 PA , PM , PB 的斜率分别为 k1,k2,k3,

则有

x1

?

x2

?

8c 7

, x1 ? x2

?

? 8c2 7

.

……………………8 分

可知 M 的坐标为 (4c,3c) .

·8·

所以 k1

? k3

?

y1

?

3 2

c

x1 ? c

?

y2

?

3 2

c

x2 ? c

?

2x1x2

?

7 2

c( x1

?

x2

)

?

5c2

x1x2 ? c(x1 ? x2 ) ? c2

?1

2( 3 c ? 3c)

2k2 ?

2 c ? 4c

?1,

……………………12 分

∴ k1 ? k3 ? 2k2 .

故直线 PA , PM , PB 的斜率成等差数列.

……………………13 分

19.解法一:(Ⅰ)在 ?ACD 中,已知 AD=6 , ?ACD ? 2π , ?ADC ? π ?? ,由正弦定理得:

3

3

AC ? AD ? 4 3 ,故 AC ? 4 3 sin( π ?? ) .

sin( π ?? ) sin 2π

3

3

3

……………………2 分

当? ? π 时, AC ? 4 3 sin( π ? π) = 4 3(sin π ? cos π ? cos π ?sin π)

4

34

3 4 34

?4 3? 6? 2 ?3 2? 6 4

故 AB 的长为 6 2 ? 2 6 .

……………………4 分

(Ⅱ)在 ?ABD 中,已知 AD=6 , AB=8 3 sin( π ?? ) , ?BAD ?? ,由余弦定理得:
3

BD2 ? AD2 ? AB2 ? 2AD ? AB ? cos?

……………………5 分

? 36 ? [8 3 sin( π ?? )]2 ? 24? 4 3 sin( π ?? )cos?

3

3

D

B

?

36

?

π 96[2sin(

??

)2

?

3 sin( π ?? )cos? ]

3

3

? 36 ? 96[1? cos( 2π ? 2? ) ? 3( 3 cos? ? 1 sin? )cos? ]

3

2

2

? 36 ? 96[1 ? 1 cos 2? ? 3 sin 2? ? 3 cos 2? ? 3 sin 2? ]

42

2

4

4

C θ A

? 36 ? 96(1 ? 1 cos 2? ? 3 sin 2? )

44

4

? 60 ? 48sin(2? ? π) 6

……………………7 分

因为? ? ( π , π) ,所以 2? ? π ?(7π , 5π) ,即 sin(2? ? ? ) ? 1

93

6 18 6

6

·9·

?BD ? 60 ? 48sin(2? ? π) ? 2 3 , 6

则 BD 的最小值为 2 3 ,此时 sin(2? ? π) =1,即? = π . ……………………9 分

6

6

(用其它方法求出 BD 的表达式及最小值酌情给分)

(Ⅲ)设 x=6θ, x ? ( 2π , 2π) ,令 h(x) ? 4sin x ? x , x ? ( 2π , 2π) ,

3

3

问题转化为在 ( 2π , 2π) 是否存在 x 的值,使是 h(x) ? 0 , 3
①当 x ? (4, 2π) 时, |sinx|≤1,必有 h(x) ? 4sin x ? x ? 0 ;

……………………10 分

②当 x ? ( 2π , 4]时, h '(x) ? 4cos x ?1,因为 2π ? x ? 4 ? 4π ,所以 ?1 ? cos x ? ? 1 ,

3

3

3

2

从而 h '(x) ? 4cos x ?1 ? 0 ,在 x ? ( 2π , 4π) 恒成立, h(x) 在区间 ( 2π , 4π) 递减,

33

33

于是 h(x) ? h(4) ? h(4π) ? 4sin 4π ? 4π ? ?2 3 ? 4 ? 0

3

33

综上,在 ( 2π , 2π) , h(x) ? 0 恒成立,故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零. 3

解法二:(Ⅰ),(Ⅱ)同解一.

……………………13 分

(Ⅲ)设 x=6θ, x ? ( 2π , 2π) ,令 h(x) ? 4sin x ? x , x ? ( 2π , 2π) ,

3

3

问题转化为在 ( 2π , 2π) 是否存在 x 的值,使得使是 h(x) ? 0 , ………………10 分 3

h '(x) ? 4cos x ?1,令 h '(x) ? 0 ,得 cos x ? ? 1 , 4



x ?(2π 3

, 2π)

,故存在

x1

? ( 2π 3

,

π)

,

x2

? (π,3π ) 2

,使得 cos

x1

?

cos

x2

?

?

1 4

,

·10·

易知

h(

x)



(

2π 3

,

x1

)

单调递,在(

x1,x2

)

递减,在

(

x2

,

2?

)

递增,

故在

(

2π 3

,

2π)

,

h(

x)

?

max{h(

2π 3

),

h(

x2

)}

,

∵ h(2π) ? 2 3

3

?

2π 3

?

0

,注意到

x2

? (π,3π ) 2

,且 cos

x2

?

?

1 4

?

?

1 2

,



4π 3π 3 ? x ? 2 , sin x2 ? ?

15 . 4

这样 h(x2 ) ? 4sin x2 ? x2 ? 4 ? (?

15 4

)

?

x2

?

?

15 ? 4π ? 0 .……………12 分
3

综上:在 ( 2? , 2? ) , h(x) ? 0 恒成立,故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零. 3

……………………13 分

20.解法一:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f (x) ? 2x2 ? ln(x ?1) (x ? ?1) ,

f ?(x) ? 4x ? 1 ? (2x ?1)2 ? 0 , x ?1 x ?1

故函数 f (x) 的单调递增区间为 (?1, ??) . ……………………3 分

(Ⅱ)因函数

f

(x)

图象上的点都在

?x ?? x

? ?

0, y?

0

所表示的平面区域内,

则当 x ?[0, ??) 时,不等式 f (x) ? x 恒成立,即 ax2 ? ln(x ? 1) ? x ? 0 恒成立,、

设 g(x) ? ax2 ? ln(x ? 1) ? x ( x ? 0 ),只需 g(x)max ? 0 即可.

由 g?(x) ? 2ax ? 1 ?1 ? x[2ax ? (2a ?1)] ,

x ?1

x ?1

…………………4 分

(ⅰ) 当 a ? 0 时, g?(x) ? ?x , x ?1

当 x ? 0 时, g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 在 (0, ??) 上单调递减,

故 g(x) ? g(0) ? 0 成立.

……………………5 分

(ⅱ) 当 a ? 0 时,由 g?(x) ? x[2ax ? (2a ?1)] ? 0 ,因 x ?[0, ??) ,所以 x ? 1 ?1 ,

x ?1

2a

① 若 1 ?1 ? 0 ,即 a ? 1 时,在区间 (0, ??) 上, g?(x) ? 0 ,

2a

2

则函数 g(x) 在 (0, ??) 上单调递增, g(x) 在[0, ??) 上无最大值,

当 x ? ?? 时, g(x) ? ?? ,此时不满足条件;

·11·

② 若 1 ?1 ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,函数 g(x) 在 (0, 1 ?1) 上单调递减,

2a

2

2a

在区间 ( 1 ?1, ??) 上单调递增,同样 g(x) 在[0, ??) 上无最大值, 2a

当 x ? ?? 时, g(x) ? ?? ,不满足条件.

……………………7 分

(ⅲ) 当 a ? 0 时,由 g?(x) ? x[2ax ? (2a ?1)] ,∵ x ?[0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ?1) ? 0 , x ?1
∴ g?(x) ? 0 ,故函数 g(x) 在[0, ??) 上单调递减,

故 g(x) ? g(0) ? 0 成立.……………………8 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] .

……………………9 分

(Ⅲ) f ?(x) ? 2ax ? 1 ,∴ g(x) ? 2a(x ?1) ? 1 ?1,

x ?1

x

当 a ? 1 时, g(x) ? x ? 1 (x ? 0)

2

x

…………………10 分

∴[g(x)]n ? g(xn ) ? (x ? 1)n ? (xn ? 1 )

x

xn

?

xn

?

Cn1 xn?1

?

1 x

? Cn2 xn?2

?

1 x2

?

? Cnn?1x ?

1 x n ?1

? Cnn

1 xn

? (xn

?

1) xn

? Cn1 xn? 2 ? Cn2 xn?4 ?

? Cnn ?1x2? n .

令 T ? Cn1 xn?2 ? Cn2 xn?4 ? ? Cnn?1x2?n ,

则 T ? Cnn ?1x2?n ? Cnn ?2 x4?n ?

? Cn1 xn ?2 ? Cn1 x2?n ? Cn2 x4?n ?

? Cnn ?1xn ?2 .

∵x ? 0, ∴ 2T ? Cn1(xn?2 ? x2?n ) ? Cn2(xn?4 ? x4?n ) ?

? Cnn?1(xn?4 ? x4? n )

? Cn1 ? 2 xn?2 ? x2?n ? Cn2 ? 2 xn?4 ? x4?n ?

?

C n ?1 n

?

2

x2?n ? xn?2

? 2(Cn1 ? Cn2 ? ? Cnn?1)

? 2(Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ?

?

C n?1 n

?

Cnn

? Cn0 ? Cnn )

? 2(2n

? 2).

∴ T ? 2n ? 2 ,即[g(x)]n ? g(xn ) ? 2n ? 2 .

……………………14 分

解法二:(Ⅰ),(Ⅱ)同解一.

(Ⅲ) f ?(x) ? 2ax ? 1 ,∴ g(x) ? 2a(x ?1) ? 1 ?1 ,

x ?1

x

当 a ? 1 时, g(x) ? x ? 1 (x ? 0) ,

2

x

…………………10 分

·12·

∴[g(x)]n ? g(xn ) ? (x ? 1)n ? (xn ? 1 )

x

xn



h(x)

?

(x

?

1)n x

?

(xn

?

1 xn

)



当 n ?1时,结论成立;

当 n ? 2 时, h?(x)

? n(x

?

1 )n?1 (1 ? x

1 x2

)

?

(nxn?1

?

n xn?1 )

?

n xn?1

[(

x2

? 1)n?1 ( x2

?1) ? (x2n

? 1)]

∵当 x ? 1时,1? x2 ?

?

x2n?2

?

x2n ?1 x2 ?1

∴ x2n ?1 ? (x2 ?1)(1? x2 ? ? x2n?2 ) ,

当 x ?1 时,上式显然成立.



h?(x)

?

n(x2 ?1) xn?1

[(x2

? 1)n?1

?

(1 ?

x2

?

? x2n?2 )]

?

n(

x2 ? xn?1

1)

[(Cn1?1

? 1) x 2 n?4

?

(Cn2?1

? 1) x 2 n?6

?

? (Cnn??12 ?1)x2 ]

当 x ?(0,1) 时, h?(x) ? 0 ;当 x ?(1, ??) 时, h?(x) ? 0

∴ h(x) ? h(1) ? 2n ? 2

∴[g(x)]n ? g(xn ) ? 2n ? 2 ,(n ? N ? ) .

解法三:(Ⅰ),(Ⅱ)同解一.

(Ⅲ) f ?(x) ? 2ax ? 1 ,∴ g(x) ? 2a(x ?1) ? 1 ?1 ,

x ?1

x

当 a ? 1 时, g(x) ? x ? 1 (x ? 0)

2

x

∴[g(x)]n ? g(xn ) ? (x ? 1 )n ? (xn ? 1 )

x

xn

以下用数学归纳法证明不等式[g(x)]n ? g(xn ) ? 2n ? 2 .

……………………14 分 …………………10 分

①当 n ? 1时,左边 ? (x ? 1) ? (x ? 1) ? 0 ,右边 ? 21 ? 2 ? 0 ,不等式成立;

x

x

② 假设当 n ? k (k ? N? )时,不等式成立,即(x ? 1)k ? (xk ? 1 ) ? 2k ? 2 ,

x

xk

则(x ? 1 )k ?1 ? (xk ?1 ? 1 )

x

xk ?1

? (x ? 1)[(x ? 1)k ? (xk ? 1 )] ? (x ? 1)(xk ? 1 ) ? (xk ?1 ? 1 )

x

x

xk

x

xk

xk ?1

·13·

? (x ? 1 )[(x ? 1 )k ? (xk ? 1 )] ? (xk ?1 ? 1 )

x

x

xk

xk ?1

? ? ? 2 x ? 1 ? 2k ? 2 ? 2 xk ?1 ? 1 ? 2k ?1 ? 2 .

x

xk ?1

也就是说,当 n ? k ? 1时,不等式也成立. 由①②可得,对 ? n ? N? ,[g(x)]n ? g(xn ) ? 2n ? 2 都成立.

………………14 分

21.(1)解:(Ⅰ)

M

?

?2

? ?

0

1?

3

? ?

,令

f

(?)

?

?

? 0

2

-1 = (?-2)(?-3) =0,
? -3

得? ? 2或? ? 3,



?

?

2

时,由

? ? ?

2 0

1? 3??

?1

?

2?1

,得 ?1

?

?1 ?

? ?

0

? ?





?

?

3

时,由

? ? ?

2 0

1?

3

? ?

?2

?

3?2

,得 ?2

?

?1? ??1??



所以对应特征值为

2

的一个特征向量是

?1

?

?1

? ?

0

? ? ?



对应特征值为

3

的一个特征向量是 ?2

?

?1? ??1??



……………………4 分

(Ⅱ)设曲线 C 上的点 P(x, y) 在矩阵 M 的作用下变成 P?(x?, y?) ,则

?a

? ?

0

1 b

? ? ?

?

? ? ?

x y

? ? ?

?

? ? ?

x? ? y? ??

,即

?x?

? ?

y?

? ?

ax ? ay,

y,

将变换公式代入曲线 C?



x2

?

2xy

?1

?

0 可得,

(ax ? y)2 ? 2(ax ? y) y ?1 ? 0 ,即 a2x2 ? y2 ?1 ? 0 ,即为曲线 C : x2 ? y2 ? 1,

∴ a2 ? 1,又 a ? 0 ,∴ a ?1.

……………………7 分

(2)解法一:(Ⅰ)∵ ? ? 2sin? ,∴ ? 2 ? 2? sin? ,∴ x2 ? y2 ? 2 y ,即 x2 ? ( y ?1)2 ? 1,

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1.

……………………4 分

(Ⅱ)法一:∵ x ? y ? 3 t ? (1? 4 t) ? ? 1 t ?1,而 ?1? t ?1,

5

55

·14·

∴ ? 1 ? ? 1 t ? 1 ,∴ ? 6 ? ? 1 t ?1 ? ? 4 ,

5 55

55

5

即 x ? y 的范围是 (? 6 , ? 4) . 55

……………………7 分

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)联立

? ?

y

?

?

4 3

x

?1,

??x2 ? ( y ?1)2

? 1,

解得

? ??

x1

?

? ??

y1

? ?

3, 5 9, 5



? ??

x2

?

? ??

y2

? ?

?3 5
1. 5

,

∴ x ? y 的范围是 (? 6 , ? 4) . 55

……………………7 分

(3)解:(Ⅰ)不等式| x ? 2 |? 1的解集为?x |1? x ? 3? ,

所以方程 2x2 ? ax ? b ? 0 的两根为 x ? 1, x ? 3.



???1? 3 ? ???1? 3

? ?

a 2 b 2

, ,

解得 a ? 8,b ? 6 .

……………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f (x) ? 8 x ? 3 ? 6 15 ? 4x = 4 4x ?12 ? 6 15 ? 4x ,

定义域为

? ?

x

?

|

3

?

x

?

5?

4

? ?

.

所以 (42 ? 62 )[( 4x ?12)2 ? ( 15 ? 4x )2 ] ? (4 4x ?12 ? 6 15 ? 4x)2 .

则 f (x) ? 3 14 ,当且仅当 x ? 42 时取等号. 13

故当 x ? 42 时, f (x) 的最大值为 3 14 . 13

…………………7 分

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·15·


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