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第7课时——3.3几个三角恒等式(学生)


3.3 几个三角恒等式 【学习导航】

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

知识网络
几组三角恒等式: 1.二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ; ( S 2? )

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ; (C2? )
tan 2? ? 2 tan ? ; (T2? ) 1 ? tan 2 ?

2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin sin 2 2
6.万能公式

cos

? ??

听课随笔

sin ? ?

2 tan

?
2 , cos ? ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2

? ?
2, 2

cos2? ? 2 cos2 ? ? 1

1 ? tan 2 2 tan 1 ? tan

?

?? ) cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? (C2
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? cos 2 ? ? , sin 2 ? ? 2 2
2.倍角降幂公式

?
2

2

tan ? ?

2

?
2

sin 2

1 ? cos ? ? 1 ? cos ? , cos 2 ? , 2 2 2 2 ? 1 ? cos ? tan 2 ? 2 1 ? cos ?

?

?

7.派生公式: (1) (sinα ±cosα )2=1±sin2α . (2) 1+cosα =2cos2 2 , (3 )1-cosα =2sin2 2 , (4) asinα +bcosα = a 2 ? b 2 sin(α +φ) = a 2 ? b 2 cos(α - ? ) (5) tan? ? tan? ? tan( ? ? ? )(1 ? tan? ? tan? )

?

?

3.半角公式

1 ? cos ? sin ? ? , 2 2

?

cos

?
2

??

1 ? cos ? , 2

学习要求
1.掌握推导积化和差、和差化积公式、 半角公式和万能公式的方法,知道它 们的互化关系 2.注意半角公式的推导与正确使用.

tan

?
2

??

1 ? cos ? 1 ? cos ?

? sin ? 1 ? cos ? tan ? ? 2 1 ? cos ? sin ?
4.积化和差公式 1 sin ? cos ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2?
cos ? sin ? ? cos ? cos ? ? 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2? 1 ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? 2?

学习重点
几组三角恒等式的应用

学习难点
灵活应用和、差、倍角等公式进行三 角式化简、求值、证明恒等式 【自学评价】 1.积化和差公式的推导 因 为 sin?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是 我 们所学习过的知识,因此我们考虑

1 sin ? sin ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? 2?

sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? ;

5.和差化积公式

sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? .
例 4 已知 sin? ? cos? = 两式相加得

1 ? ? ? ? 2? , , 2

听课随笔

2sin? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?
即 sin ? cos ? ?

求 tan

? 和 tan?的值. 2

1 ? ___________________ ? ; 2

2.和差化积公式的推导 在上式中若令? + ? = ?,? ? ? = φ , 则? ?

??? ??? ,? ? 2 2

代入得:

∴ sin ? ? sin ? ? __________ 3.万能公式的推导 1? sin ? ? ________________ 2? cos ? ? _______________ 3? tan ? ? _______________ 【精典范例】 例 1 已知

例 5 已知 cos? ? cos ? = = ?

1 ,sin? ? sin? 2

1 ,求 sin(? + ?)的值. 3

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3cos 2? sin ? ? 3 cos ?

+ 4sin 2? 的值.

例 6 已知 A 、 B 、 C 是三角形的内角,

y ? 2 ? cosC ? cos(A ? B) ? cos2 C .
(1)问任意交换两个角的位置,y 的值是 否变化?试证明你的结论。 (2)求 y 的最大值。

? ? ? 3 6 0, 化 简 例 2 已 知 2 7 0
? ?

1 1 ? 2 2

1 1 ? c o2 s? . 2 2

? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 ,tan? 2 1 1 = ? ,tan? = ? ,求 2? + ? . 3 7
例 3 已知

思维点拔:
1、公式正用要善于拆角;逆用要构造公式 结构;变用要抓住公式结构. 2、化简 (1) 化简目标: 项数尽量少、 次数尽量低、

听课随笔

尽量不含分母和根号. (2)化简基本方法:异角化同角;异名化 同名;切割化弦;高次化低次;常值代换. 3、求值 (1)求值问题的基本类型:给角求值;给 值求值;给值求角;给式求值. (2)技巧与方法:切化弦、异角化同角、 异名化同名、角的变换 4、证明 (1)证明基本方法:化繁为简法、左右归 一法、变更命题法. (2)条件等式的证明关键在于分析已知条 件与求证结论之间的差异与联系. 【追踪训练】 : 1.如果|cosθ |= sin

8.已知 cos θ = θ 的值.

2

2 4 4 ,求 sin θ +cos 3

? 的值等于( ) 2
A. ? 10 5 B. 10 5

1 5? , <θ <3π ,则 5 2

9.求证

sin 4 x cos 2 x cos x x ? ? ? tan . 1 ? cos 4 x 1 ? cos 2 x 1 ? cos x 2

C. ?

15 5

D.

15 5

2.设 5π <θ <6π 且 cos 等于( )

? ? =a,则 sin 2 4

A. ?

1? a 2

B. ?

1? a 1? a 1? a C. ? D. ? 2 2 2

3.已知 tan76°≈ 4,则 tan7°的值约为 ( )

A. 17 ? 4
4.tan

B. 17 ? 4 C.

? ? -cot 的值等于 12 12
.

8 8 D. 17 15

【师生互动】

学生质疑

5. 已知 sinA + cosA = 1 , 0 < A < π ,则 tan

A = 6

6.已知 tanα 、tanβ 是方程 7x -8x+1 =0 的两根,则 tan
2

2

???
2

教师释疑



7.设 25sin x+sinx-24=0 且x是第二 象限角,求 tan

x . 2


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