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高中数学北师大版必修5配套课件:1-3-1 第1课时 《等比数列》


§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列

1.知识目标:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌 握等比数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数 列的等比关系并能用有关知识解决相应的问题.

2.能力目标:让学生对日常生活中的实际问题进行分析, 引导学生通过观察,推导,归纳,抽象出等比数列的概念; 由学生建立等比数列模型,用相关知识解决一些简单的问 题,进行等比数列通项公式应用的实践操作.

3.情感目标:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应
用意识.

猜一猜: 给你一张足够大的纸,假设其厚度为0.1毫米,那么 当你把这张纸对折了51次的时候,所达到的厚度有多少? 把一张纸折叠51次,得到的大约是地球与太阳之间

的距离!

庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思是“一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完” . 如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16
这就是我们今天所要研究的特殊数列——等比数列.

下面我们再看几个例子,考察等比数列的共同特征.
(1)你吃过拉面吗?拉面馆的师傅将一根很粗的面 条,拉伸、捏合、再拉伸、捏合,如此反复几次,就拉 成了许多根细面条. 这样捏合8次后可拉出多少根细面条?

第1次是1根,后面每次捏合都将1根变为2根,故有 思考:一位拉面高手 第2次捏合成 2 ? 1 ? 2根;
第3次捏合成 2 ? 2 ? 2 2 根; ?? 第8次捏合成 2 ? 2 6 ? 2 7 ? 128根. 能用一块面连续拉出 10多万根面条,你知 道他需要捏合,拉伸 多少次吗?

前8次捏合成的面条根数构成一个数列

1,2,4,8,16,32,64,128.



对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都是2. (2)星火化工厂今年产值为a万元,计划在今后5年中 每年比上年产值增长10%,试列出从今年起6年的产值 (单位:万元).

第1年产值:a; 第2年产值:a+a×10﹪=a(1+10﹪);

第3年产值: a(1+10﹪)+ a(1+10﹪) ×10﹪=
…… 第6年产值:

a (1 ? 10%) ;
2

a (1 ? 10%) ? a (1 ? 10%) ? 10% ? a (1 ? 10%) .
4 4 5

故这6年的产值构成一个数列:

a , a (1 ? 10%), a (1 ? 10%) 2 , a (1 ? 10%)3 , a (1 ? 10%) 4 , a (1 ? 10%)5 .②
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都是1+10%.

等比数列的概念 研究上述数列的特征及变化规律,可以发现什么? 可以看出数列①,②有如下的共同特征:从第2项起, 每一项与前一项的比都是与项数n无关的常数.

等比数列定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前

一项的比都等于同一个常数.那么这个数列叫作等比数列,
称这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示 (q≠0).

因此,数列①的公比q=2;数列②的公比q=1+10%;
由此定义可知,对等比数列{a n } ,有

an a 2 a3 ? ? ??? ? ?q ( . q ? 0) a1 a2 an ?1

思考1:当公比q=1时,{an}是什么数列? 思考2:将有穷等比数列{an}的所有项倒序排列,所成数 列仍是等比数列吗?如果是,公比是什么?如果不是,

请说明理由.

例1 以下数列中,哪些是等比数列?

1 1 1 1 ( 1 ) 1 , ? ,, ? , ; 2 4 8 16

(2) 1,1,1, ? ? ?, 1;
(3) 1, 2, 4,8,12,16, 20;

(4) a , a 2 , a 3 ,? ? ?a n .

1 解: (1)是等比数列,公比q= ? ; 2

(2)是公比为1的等比数列;

8 12 ? ,所以该数列不是等比数列; (3)因为 4 8
(4)当a≠0时,这个数列为公比为a的等比数列; 当a=0时,它不是等比数列.

等比数列的通项公式
已经知道了一个数列是等比数列,并且知道它的第一 项

a1

和公比q,怎样写出它的通项公式?

设这个等比数列是

a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an ,? ? ?

由等比数列的定义可以知道:

a2 a3 a 4 an ? ? ? ??? ? ? q. a1 a 2 a 3 a n ?1
从而,

a2 ? a1q, a3 ? a2 q ? (a1q )q ? a1q 2 , a4 ? a3 q ? (a1q 2 ) q ? a1q 3 , ???

由此可归纳出

a n ? a1q n ?1 .

在这个公式里,如果令n=1,那么

a1 ? a1q1?1 ? a1q 0 ? a1.
由此可知,a1也可以用这个公式来表示,所以这个公
式就是所要求的通项公式,这就是说: 首项为

a1 ,公比为q

的等比数列的通项公式是

a n ? a1q

n ?1

( a1 ? 0, q ? 0 ).

例2 一个等比数列的首项是2,第2项与第3项的和是 12,求它的第8项的值. 解 得 设等比数列的首项为

a1 ,公比为q,则由已知,
① ②

?a1 ? 2 ? a q ? a q 2 ? 12, 1 ? 1
将①式代入②式,得

q 2 ? q ? 6 ? 0.

解得

q =-3或q =2.

当 q ? ?3时,

a 8 ? 2q 7 ? 2 ? ( ?3) 7 ? ?4 374,

当 q ? 2时,

a8 ? 2 q 7 ? 2 ? 2 7 ? 2 8 ? 256.

故数列的第8项是-4 374或256.

1.填空 (1)某种细菌在培养过程中,每半个小时分裂一次(一

个分裂为两个),经过4小时,这种细菌由一个可繁殖成
_______ 256 个. (2)已知等比数列的通项公式 a n ? ?10 n ,则首项为 4 5 _______ 10 2 公比为_______.

1

2.在等比数列{an}中: (1)若a4=27,q=-3,求a7; (2)若a2=18,a4=8,求a1与q; (3)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.

解:(1)方法1:由a4=a1·q3得27=a1· (-3)3,得

a1=-1,∴a7=a1·q6=(-1)·(-3)6=-729.

方法2:∵a7=a1q6,a4=a1q3,
∴a7=a4·q3=27·(-3)3=-729.
? ?a1q=18, (2)由已知得? 3 ? ?a1q =8. ?a1=27, ? 得? 2 ?q= 3 ? ?a1=-27, ? 或? 2 ?q=- . 3 ?

4 ? ?a1q -a1=15, (3)由已知得? 3 ? ?a1q -a1q=6.

① ②

① q2+1 5 1 由 得 q =2,∴q=2或 q=2. ② 1 当 q=2时,a1=-16,a3=a1q2=-4; 当 q=2 时,a1=1,a3=a1q2=4.

1.等比数列的概念:从第2项起,每一项与它的前一项的 比是同一常数. 2.等比数列的通项公式an = 一个变量. 3.等比数列通项公式an 的推导方法及简单应用.

a1qn-1 (a1≠0,q ≠0 )

知道其中三个字母变量,可用列方程的方法,求余下的

自己把自己说服了,是一种理智的胜利;自己把自
己感动了,是一种心灵的升华;自己把自己征服了, 是一种人生的成功。


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