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《概率论》分布函数_图文

定义 设随机试验E的样本空间为S={e},称 定义在 S上单值实值函数
X=X(e) (e∈S) 为随机变量,记为r.v.X.(random variable X)。
R
X(e)
S
e
概率论与数理统计

(1)它随试验结果的不同而取不同的值, 因而在试验之前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值. (2)由于试验结果的出现具有一定的概率, 于是这种实值函数(随机变量)取每个值和 每个确定范围内的值也有一定的概率.
这种实值函数(随机变量)与在微积分中 大家接触到的函数不一样!
概率论与数理统计

随机变量

离散型随机变量 非离散型随机变量

概率论与数理统计

离散型随机变量:

X

x1 x2 ? xk ?

P

p1 p2 ? pk ?

pk ? P?X ? xk ?(k ? 1,2,?)

概率论与数理统计

非离散型随机变量
非离散型随机变量X取单个值的概率都是0(将在后面 论述),故讨论其落入某一个区间的概率。
数轴上区间的类型有(a, b), (a, b], [a, b), [a, b], (-∞, b), (-∞, b], (a,+∞), [a,+∞) 等8类,但区间(-∞, b]是有代表意 义的。
{x1 ? X ? x2} ?{X ? x2}?{X ? x1}
故考虑概率P{X≤x } 对于 x∈R ,概率P{X≤x}存在且为x的函数,这个 函数称为随机变量X的分布函数。
概率论与数理统计

设X是一个随机变量,对任意实数x, 称事件{X ? x}发生的概率
F(x) ? P{X ? x} ? ? ? x ? ? 为随机变量X的分布函数, 注意 : (1)在分布函数的定义中, X是随机变量, x是自变量. 分布函数的定义域是全体实数。 (2) 分布函数的值域是[0,1]。
概率论与数理统计

F(x) ? P( X ? x), ? ? ? x ? ?

(3) 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标,那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (??, x]内的 概率.

随机点 X

x 实数点

x

概率论与数理统计

(4) 对任意实数 x1<x2,随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为:
P{ x1<X ?x2} =P{ X ? x2 } - P{ X ? x1 } = F(x2)-F(x1)
因此,只要知道了随机变量X的分布函数, 它 的统计特性就可以得到全面的描述.
概率论与数理统计

实例 抛掷均匀硬币, 令

X

?

?1, ??0,

出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分布函数.

解 p{ X ? 1} ? p{ X ? 0}? 1 , 2

当 x ? 0 时,

?
0

?
1

x

F ( x) ? P{X ? x ? 0} ? 0;

概率论与数理统计

当 0 ? x ? 1时,

?
0

?
1

x

F ( x) ? P{X ? x}? P{X ? 0} ? 1; 2
当 x ? 1时,

F(x) ? P{X ? x}

? P{X ? 0}? P{X ? 1}

?

1?1 22

? 1.

?0,



F(x)

?

??1 ?? 2

,

??1,

x ? 0, 0 ? x ? 1, x ? 1.

概率论与数理统计

F (x)的分布函数图

?0, x ? 0,

F

(x)

?

?? ? ?

1 2

,

0 ? x ? 1,

y

??1, x ? 1.

1

12

O
0

右连续 的阶梯
函数

1 2
O

1

x

概率论与数理统计

r.v X 的分布函数
F(x) ? P{X ? x } , ? ? ? x ? ?

F ( x)是单调不减函数

0 ? F(x) ? 1且

F (??) ? lim F?(xx)1??0x,2 F(??) ? lim F(x) ? 1

F

(

x)

右连续x?函?? 数?即{FX(x?1)

x1} ? {X ? P{X ?

?x ?x??2 } x1 }

当 x ? ?时? F {X ? x性} ?质?

(

x

?

0)

?

lim
t?x?

F?(t)P?{XF

(?当x)x2

}

?x

F?(x?时2?)

是分布函数的本质{特X ?征x} ?

S

r.v的分布函数必满足性质

满足性质

的必F (是x)某r.v的分布函数

概率论与数理统计

设随机变量X的分布函数为

F( x) ? A ? B arctan x(?? ? x ? ??),

试求 (1)系数A,B;(2)X取值落在(-1,1]中的概率。

(1)由

?

F(??) ? lim ( A ? B arctan x) ? A ? B ? 0,

x???

2

?

F(??) ? lim ( A ? B arctan x) ? A ? B ? 1,

x???

2

解得: A ? 1 , B ? 1 .
2?

概率论与数理统计

于是,分布函数为:
F( x) ? 1 ? 1 arctan x(?? ? x ? ??).
2?

(2)由分布函数计算事件概率公式得:

P{?1 ? X ? 1} ? F(1) ? F(?1)

?

?? ?

1 2

?

1
?

?

?
4

?? ?

?

?? ?

1 2

?

1
?

? (? ? )??
4?

?

1 .
2

概率论与数理统计

例 将一枚硬币连掷三次, X 表示“三次中正面 出现的次数 ”, 求 X 的分布律及分布函数, 并求下 列概率值 P{1 ? X ? 3}, P{ X ? 5.5}, P{1 ? X ? 3}.
解 设 H ? 正面, T ? 反面, 则

S ? ?HHH, HHT, HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT?,

因此分布律为

X p

0 1

1 3

2 3

3 1

8888

概率论与数理统计

求分布函数

当 x ? 0时,

?

?

o1

?

?

2 3x

F ( x) ? P{X ? x} ? 0;

当 0 ? x ? 1时, F( x) ? P{X ? x}? P{X ? 0} ? 1 ; 8
当 1 ? x ? 2时,
F ( x) ? P{ X ? x} ? P{X ? 0}? P{ X ? 1}

? 1 ? 3 ? 1; 88 2
概率论与数理统计

当 2 ? x ? 3时,

?
o

?
1

?

?

2 3x

F(x) ? P{X ? x}

? P{ X ? 0} ? P{X ? 1}? P{X ? 2}
? 1 ? 3 ? 3 ? 7; 888 8
当 x ? 3时,

F ( x) ? P{X ? x}? P{X ? 0}? P{X ? 1} ? P{X ? 2}? P{X ? 3}

? 1.

概率论与数理统计

?0,

所以F ( x)

?

????14

8, 8,

??7 8, ??1,

x ? 0, 0 ? x ? 1, 1 ? x ? 2, 2 ? x ? 3, x ? 3.

P{1 ? X ? 3} ? P{X ? 3} ? P{X ? 1} ? P{X ? 3}

? F(3) ? F(1) ? P{X ? 3}

?1? 4? 1? 3. 888

概率论与数理统计

向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心的

距离X的分布函数,并求

P

? ?

X

?

?

2r 3

? ? ?

事件{X ? r}表示所抛一点落在半径为x(0 ? x ? r)

的圆内.

若x<0,{X ? x}为不可能事件, 则F(x)=P{X?x}=0;

若x?r,{X ? x}为必然事件,F(x) = P{X ? x} =1;

若0 ? x < r,由几何概型知

F(x) ?

P{ X

?

x} ?

?x 2 ?r 2

? ?? ?

x ?2 ?
r?

概率论与数理统计

?0,

从而X的分布函数为

F

(

x

)

?

????? ??

x r

2
? ? ?

,

??1,



x?0 0? x?r x?r

P{X ? 2r } ? 1 ? P{X ? 2r }

3

3

? 1?

F( 2r )

?

1 ? ??

2 ?2 ?

?

5

3

?3? 9

其图形概为率论一与连数续理统曲计线

若记

f

(t

)

?

?? ?

t 2

,

0 ? t ? 2,

??0, 其它.

? 则

F(x) ?

x
f (t) dt.

??

F ( x) 恰是非负函数 f (t) 在区间 (??, x] 上的积分,

此时称X 为连续型随机变量.

注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样.

概率论与数理统计


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