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陕西省西工大附中2014届高三上学期第二次适应性训练数学(理)试题Word版含答案


数学(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题 共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i( x ? R), 若
z2 为实数,则 x ? z1

A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.有如下四个结论: ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②过平面 ? 的一条斜线有一个平面与平面 ? 垂直; ③ “ x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的必要条件; ④命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” . 其中正确结论的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

3.圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程为 A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 C. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 5 B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 5

4.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 2 , S 6 ? 18 ,则 A.17 B.33 C.-31 D.-3

S10 ? S5

5. 设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数

6.在平面直角坐标系中,由 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴、曲线 y ? ex 以及该曲 线在 x ? 2 处的切线所围成图形的面积是 1 1 A. e2 B. e 2 ? 1 C. e 2 D. e 2 ? 1 2 2 7.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 8. 设集合 A ={0,1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6}, 则满足 S ? A 且 S
B ? ? 的集合 S

的个数是 A.64

B. 56

C. 49

D.8

9 . 设 圆 锥 曲 线 ? 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 曲 线 ? 上 存 在 点 P 满 足

PF1 : F1F 2: PF 2=4:3:2,则曲线 ? 的离心率等于
1 3 2 2 3 1 A. 或 B. 或 2 C. 或 2 D. 或 2 2 3 3 2 2 10.以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这 两个三角形不共面的概率为 1 13 367 18 A. B. C. D. 14 14 385 385

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二. 填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题, 每小题 5 分,共 25 分) 11.在 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? 数字作答)
?x ? y ? 2 ? 0 ? 12 .在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 给定。若 ?2 y ? 3 ? 0 ?

? (1 ? x)9 的展开式中, x 2 项的系数是

.(用

M ( x, y) 为 D 上 的 动 点 , 点 N 的 坐 标 为 (1,3) , 则 z ? OM ON的 最 小 值



.

13.把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角 B ? AC ? D , 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 14.观察下列等式 13 ? 1
13 ? 23 ? 9 13 ? 23 ? 33 ? 36 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 100

.

照此规律,第 n 个等式可为 . 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评分.) 1 1 A. ( 不 等 式 选 作 题 ) 已 知 a ? 0, b ? 0,a ? b ? 1, 则 2 ? 2 的最小值 a b

A O B C

P



.

B.(几何证明选做题)如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线 PA 和割线 PB ,且 PB =9, C 是圆上一点使得 BC =4,∠ BAC =∠ APB , 则 AB = .

C. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为 3 2 ? ?x ? t ? x ? 3 cos ? ? 2 (t ? R ) ,它们的交点坐标为___________. (0 ? ? ? ? ) 和 ? ? ? ? ?y ? t ? y ? sin ? 三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题, 共 75 分) . 16. (本小题满分 12 分)

? 设函数 f ( x) ? cos x(sin x ? 3cos x) ? 2 sin x sin( x ? ) . 4
(1)求 f ( x) 的最大值; (2)求 f ( x) 的对称中心; (3)将 y ? f ( x) 的图像按向量 m 平移后得到的图象关于坐标原点对称,求长 度最小的 m . 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn . (1)求数列 ?an? 的通项公式; (2)设 bn ? 9na2n ,求数列 ?bn? 的前 n 项和为 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两位同学各有 3 张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出 现正面朝上时甲赢得乙一张卡片,否则乙赢得甲一张卡片.规定掷硬币的次数 达 6 次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设 X 表示游戏终止时 掷硬币的次数。 (1)求第三次掷硬币后甲恰有 4 张卡片的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望 EX .

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的中点,动 点 F 在线段 CA1 上,且不与点 C 、 A1 重合.
AEF 与平面 ACF 的夹角的余弦值; (1)若 CA 1 ? 4CF ,求平面
A1 B1 C1

(2)求点 F 到直线 AB 距离 d 的最小值.
F A C B E

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 T :
x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , A, B 是椭圆 2 a b 3

T 上两点, N (3,1) 是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆 T 相交于 C , D 两点.

(1)求直线 AB 的方程; (2)是否存在这样的椭圆,使得以 CD 为直径的圆过原点 O ?若存在,求出 该椭圆方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ?1,其中 a 为实数, (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的最小值; (2)若方程 f ( x) ? 0 在 (0, 2] 上有实数解,求 a 的取值范围; (3) 设 ak , bk (k ? 1, 2 ?,n) 均为正数, 且 a1b1 ? a2b2 ?
b1 b2 求证: a1 a2 bn an ? 1.

? anbn ? b1 ? b2 ?

? bn ,

数学(理科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A
4? 3

6 D

7 B

8 B

9 A

10 C

二、填空题: 11.120 12.
14 3

13.
6 ) 3

14. 13 ? 23 ?

? n3 ?

n2 (n ? 1)2 4

15.A. 8

B. 6

C. (1,

三、解答题: 16.解: (1) f ( x) ? 2sin x cos x ? 3cos2 x ? sin 2 x
? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 3? (k ? Z ) 时 f ( x) 取最大值 2 ? 2 , 故当 x ? k? ? 8 ? k? ? ? (k ? Z ) (2)由 2 x ? ? k? (k ? Z ) 得 x ? 4 2 8 k? ? ? , ?2)(k ? Z ) 所以 f ( x ) 对称中心为 ( 2 8

?

(3)于是 m ? (?

k? ? k? ? ? , 2), | m |? ( ? )2 ? 4,(k ? Z ). 2 8 2 8

当 k ? 0 , m 最小,此时 m ? ( ?

?
8

, 2) .

17.解: (1)当 n ? 1 时, a2 ? 2S1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 所以 a2 , a3 ,
an?1 an ? ,得 an?1 ? 3an 2 2

, an ,

为等比数列, an ? 2 ? 3n?2 (n ? 2)

n ?1 ?1, 故 an ? ? n?2 ?2 ? 3 , n ? 2
(2) bn ? 9na2n ? 2n ? 9n

Tn ? 2[1? 9 ? 2 ? 92 ? 9Tn ? 2[1? 92 ? 2 ? 93 ?

? n ? 9n ] ? n ? 9n?1]

?8Tn ? 2[(9 ? 9 ?
2

? 9 ) ? n ? 9 ] ? 2[
n

n?1

9 ? 9n?1 (1 ? 8n)9n?1 ? 9 ? n ? 9n?1 ] ? 4 1? 9

故 Tn ?

(8n ? 1)9n?1 ? 9 32

18.解: (1)记“第三次掷硬币后甲恰有 4 张卡片”为事件 A , 3 1 1 3 ( ) ? 则 P( A) ? C3 2 8 (2) X 的所有可能取值为:3,5,6, 1 1 P( X ? 3) ? 2 ? ( )3 ? , 2 4 1 3 1 P( X ? 5) ? 2 ? C3 ? ( )5 ? , 2 16 9 P( X ? 6) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 5) ? 16 分布列为:
X
P

3
1 4

5
3 16

6
9 16

1 3 9 81 EX ? 3 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 4 16 16 16 19.解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得:

A(0,0,0), B(2 3,2,0), C(0,4,0), A1(0,0,4), E( 3,3,0), F (0,3,1)
于是 AF ? (0,3,1), AE ? ( 3,3,0). 设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
? ?3 y ? z ? 0 ?n ? AF ? 0 ? 则? 即? ,取 n ? ( 3, ?1,3) 3 x ? 3 y ? 0 ? n ? AE ? 0 ? ? ?
z A1 B1 C1

F A x B E C y

取平面 ACF 的法向量为 m ? (1,0,0) , 设平面 AEF 与平面 ACF 的夹角为 ? ,则

cos? ? cos ? n, m ? ?

3 39 . ? 13 13

(2)设 F (0, t ,4 ? t )(0 ? t ? 4) , AF ? (0, t,4 ? t ), AB ? (2 3,2,0).

cos ? AF , AB ??

t 2 t ? (4 ? t )2
2

d ? AF ? sin ? AF , AB ? ? AF ? 1 ? cos2 ? AF , AB ? ?
16 4 21 时, d min ? 7 7

7t 2 ? 32t ? 64 2

当t ?

20.解: (1)离心率 e ?

6 ,椭圆 T : x2 ? 3 y 2 ? a2 (a ? 0) 3

设 A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) ? 1, 代入x2 ? 3 y 2 ? a2 , 整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k (3k ?1) x ? 3(3k ?1)2 ? a2 ? 0. ①

? ? 4[a2 (3k 2 ? 1) ? 3(3k ?1) 2 ] ? 0,
x1 ? x2 ?



x1 ? x2 ? 3. 解得 k ? ?1 ,代入②得, a2 ? 12, 2

6k (3k ? 1) , 由 N (3,1) 是线段 AB 的中点,得 3k 2 ? 1

直线 AB 的方程为 y ?1 ? ?( x ? 3),即x ? y ? 4 ? 0. (2)∵ CD 垂直平分 AB ,∴直线 CD 的方程为 y ? 1 ? x ? 3 ,即 x ? y ? 2 ? 0 , 代入椭圆方程,整理得 又设 C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), ∴ x3 ? x 4 ? 3, x3 x 4 ?
12 ? a 2 4 4 ? a2 4
4 x 2 ? 12 x ? 12 ? a 2 ? 0.

y3 y4 ? ( x3 ? 2)( x4 ? 2) ?

假设存在这样的椭圆,使得以 CD 为直径的圆过原点 O ,则 x3 x4 ? y3 y4 ? 0 得 a 2 ? 8 ,又 a2 ? 12, 故不存在这样的椭圆.
21.解: (1) f '( x) ? ex ?1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0

当 x ? 0时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 内递增;

当 x ? 0 时, f '( x) ? 0, f ( x)在(??,0) 内递减; 故函数 f ( x)在x ? 0 处取得最小值 f (1) ? 0. (2) f '( x) ? ex ? a(0 ? x ? 2) ①当 a ? 1 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 (0, 2] 内递增;
f ( x) ? f (0) ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 在 (0, 2] 上无实数解;

②当 a ? e2 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 (0, 2] 内递减;
f ( x) ? f (0) ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 在 (0, 2] 上无实数解;

③当 1 ? a ? e2 时,由 f '( x) ? 0, 得 x ? ln a , 当 0 ? x ? ln a时, f '( x) ? 0, f ( x) 递减; 当 ln a ? x ? 2 时, f '( x) ? 0, f ( x) 递增; 又 f (0) ? 0 , f (2) ? e2 ? 2a ?1 由 f (2) ? e2 ? 2a ?1 ? 0 得 1 ? a ?
? e2 ? 1? 故 a 的取值范围为 ? 1, ? 2 ? ?

e2 ? 1 2

(3)由(1)知, e x ? x ? 1,从而 ln( x ? 1) ? x( x ? ?1).

ak , bk ? 0 ,

?ln ak ? ak ?1, , n) ,

得 bk ln ak ? ak bk ? bk (k ? 1,2,
n n n

bk 求和得 ? ln ak ? ? ak bk ? ? bk ? 0. k ?1 k ?1 k ?1

b1 b2 即 ln(a1 a2

bn b1 b2 an ) ? 0, 故 a1 a2

bn an ? 1.


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