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函数的最值与导数的教学设计


函数的最大(小)值与导数 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书(A 版)数学选修 1-1 第 三章第三节的《导数的应用》《函数的最大(小)值与导数》是第 3 课时. , 教学内容分析 本节内容是在学习了函数的极值与导数的基础上学习函数的最大(小)值与导数,所以 需要注意极值与最值的关系,并根据极值和最值的关系来推导最值的存在和最值的求法。 学法分析: 学生在学了极值与导数的基础上,知道了利用导数求函数在局部的最值(极值) ,现在 将函数的范围扩宽,来学习函数在某个闭区间上的最大(小)值。学生可以类比利用导数求 极值的方法和极值与最值的关系来学习利用导数求最值。 教学目标: 知识与技能: 1、使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念; 2、使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 最 值 的 方 法 和步骤; 过程与方法: 学会应用导数判断函数的单调性及最值,分析函数图象; 情感与态度: 培养学生类比推理的思维能力。 教学重点: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点: 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的关系. 教学方法: 类比+探究式教学 教学工具: 多媒体辅助教学+常规工具 教学流程: 理解函数极值的概念和特 复习准备


观察图形

直观感受极值和最值的关 系.

讨论关系

从理论上讨论极值和最值 的关系. 从实例中体会函数的最值 存在的规律.

探究规律

归纳方法

从极值与最值的关系以及 最值存在的条件归纳出最 值的求法.

例题巩固

通过例题讲解学会利用函 数的导数求函数的最值.

知识小结

通过师生共同小结使学生 更进一步理解函数最值的 求法

教学过程
教 学 环 节 温 故 知 新 教师活动 学生活动 教学评价

提问 1: 请同学们回顾极值的定义?及利用导数求极值的解题 步骤?

思 考 回 答:

让同学们复 习极值和求 解的方法,为 下面学习最 值和求解方 法做好准备。 让学生直观 感受函数的 极值和最值 的关系。从而 引出下面的 讨论。

探 究 新 知

用多媒体展示图形,

y

a

x1 x 2

x3

0

x4

x5 x6 b

x

观察图形 并回答问 题。 (可能 出现的错 误答案: 学生可能 会把极大 值点

x1 , x 2 , x3
作为极大 值 的 结 果,老师 要及时纠 正。 )

提问 1:观察如图在闭区间 a, b 上的函数 象,你能找出它的极大值,极小值吗? 提问 2:你能找出在闭区间 a, b 上的函数 值,最小值吗?

?

?

y ? f (x) 的图

?

?

y ? f (x) 的最大

讨论最值 和极值的 与“极值”的关系 关系并得 到一定的 引导学生归纳结果,并将最值与极值的关系准确的表示出来。 结果。 ①、 “最值”是整体概念;而“极值”是个局部概念. 和同学们一起讨论:在闭区间 函数

?a, b?

f (x)

的“最值”

培养学生思 维能力及通 过讨论思考 形成概念。

②、从个数上看,一个函数在给定的闭区间

?a, b? 上的最值

是唯一的;而极值可能有多个,也可能只有一个,还可能一 个都没有; ③、在极值点 x 0 处的导数 f ??x0 ? =0,而最值点不一定,最值 有可能在极值点取得,也可能在端点处取得。

3、探究:
y y

通过观察 回 答 问 题,思考 函数最值 的存在性

通过问题引 导学生,让学 生观察图形 总结规律。

a

b

x

a

x1 x 2 x 3 x 4

x5 b

x

x

(2) (3) 在图 2,图 3 中观察 ?a, b ? 上 的 函 数 在

y ? f ( x) 图象,它们

?a, b? 上 有 最 大 值 ,最 小 值 吗 ? 如 果 有 分 别 是 什 么 ?
?a, b ? 上 呢 ?
?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一
y ? f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最
通过前面 的讨论, 得出最值 存在的位 置,归纳 出求最值 的方法。 培养学生总 结归纳的能 力,让学生知 道最值的一 般求解方法。 学生总结 并记录结 论。 总结规律,得 出结论。

如果在开区间 4、总结规律:

一般地,如果在闭区间

条连续不断的曲线,那么函数 大值与最小值. 5.归纳方法:

由上面函数 f (x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的 极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的 最值了. 例 题 巩 固 例 1. (课本例 5)求 f ? x ? ? 与最小值
王新敞
奎屯 新疆

1 3 学生思考 让 学 生 从 实 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值 解题方法 例 中 感 受 求 3
并总结步 骤。 最值的方法, 形成一种求 解的思路。

解: 由例 4 可知,在 ? 0 , 3? 上,当 x ? 2 时,

4 f ( x) 有极小值,并且极小值为 f (2) ? ? , 3
又由于 f ? 0 ? ? 4 , f ? 3? ? 1 因此,函数 f ? x ? ? 小值是 ?

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值是 4,最 3

4 . 3

老师讲解过程并板书解题过程和解题的步骤:

利用导数求函数的最值的步骤: 一般地,求函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步骤如 下: ⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值; ⑵将 f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) 、 f (b) 比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数

f (x) 在 ?a, b ? 上的最值
变 式 练 习
3

王新敞
奎屯

新疆

求 函 数 f ?x ? ? x ? 3x ? 5 在区间 ?? 2,2? 上 的最大值与 最小值
2
王新敞
奎屯 新疆

解 : 先求导数,得 f 令 f
/

/

?x ? = 0 即 3x 2 ? 6x ? 0 解 得 x1 ? 2, x2 ? 0, / 导 数 f ? x ? 的正负以及 f (?2) , f (2) 如下表
X -2 ( -2,0) + -15 ↗ 0 0 5 ( 0,2) - ↘ 1 2

?x ? ? 3x 2 ? 6 x

f

/

?x ?

f ?x ?

学生动手 做,并叫 一位学生 上黑板上 来做。学 生可能会 没有极值 的分析而 直接比较

培养学生动 手能力,掌握 最值的一般 解题方法。

f (?2) , f (2) 和 f ( 0) 的
大 小 就 的结果。 老 师 要 纠正, 要 强 调 学 生 要 分 析 导 数 为 0 的 点 是 否 是 极 值 点。

从上表知,当 x ? 0 时,函数有最大值 5,当 x ? ?2 时,函数 有最小值-15
王新敞
奎屯 新疆

课 堂 练 习

1. 下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D. 在闭区间 ?a, b ? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断 的曲线,那么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值.

学 生 思 考,回答 问题

检查学生对 本节知识的 掌握情况。

2、求 f ? x ? ? 2 x ? 6 x 在 ?? 2,2? 的 最 大 值 = 0
3 2

;最小

值= 小 结 作 业

-40 。 思考本节 课所学内 容,可以 彼此之间 交流自己 的小结, 回答教师 提问. (1)使学生 不仅能从知 识的角度看 所学过的内 容,还能体会 到寓于知识 中的数学思 想与方法. (2)作业, 是为了让学 生巩固所学 知识

?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像 是一条连续不断的曲线,那么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b ? 上必
1.一般地,如果在闭区间 有最大值与最小值. 2.利用导数求函数的最值方法. ①求 f (x) 在 (a, b) 内的极值; ②将 f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) 、 f (b) 比 较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出 函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值
王新敞
奎屯 新疆

布置作业
课本 P99 习题 3.3 A 组 6

附、板书设计

知识板书

例题板书

练习板书


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