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高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法


高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 (1)定义:对于函数 y ? f ( x) ( x ? D) ,把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) ( x ? D) 的 零点.函数的零点不是一个点的坐标,而是一个数,类似的有截距和极值点等. (2)函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标,即:方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有 零点. ( 3 )零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a , b ] 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有 使得 f (c) ? 0 ,这 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内至少有一个零点,即存在 c ? (a, b) 个 c 也就是方程的根. 函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内至少有一个零点的一个充分不必要条件. 零点存在性定理只能判断是否存在零点,但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定,一般通过 数形结合解决. 二、二分法 (1)二分法及步骤 对于在区间 [ a, b] 上连续不断,且满足 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数的零点所 在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度 ? ,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间 [ a, b] ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? . 第二步:求区间 ( a, b) 的中点 x1 . 第三步:计算 f ( x1 ) :①若 f ( x1 ) =0,则 x1 就是函数的零点;②若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此 时零点 x0 ? (a, x1 ) )③若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) 第四步:判断是否达到精确度 ? 即若 a ? b ? ? ,则得到零点值 a 或 b ,否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布 讨论一元二次方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组: (1) a 的符号; 数值的符号. 四、精确度为 0.1 指的是零点所在区间的长度小于 0.1,其中的任意一个值都可以取;精确到 0.1 指的是零 点保留小数点后一位数字,要看小数点后两位,四舍五入. 五、方法总结 函数零点问题的处理常用的方法有:(1) 方程法; (2)图像法; (3)方程+图像法. 【方法点评】 方法一 使用情景 解题步骤 方程法 方程可以直接解出来. 先解方程,再求解. (2)对称轴 x ? ? b 的位置; (3)判别式的符号; (4)根分布的区间端点的函 2a 【例 1 】已知函数 f ( x) = 3x2 + 2(1 - a) x - a(a + 2) 区间 (?1,1)

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