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8.函数不等式恒成立,能成立,恰成立


函数不等式恒成立、能成立 恒成立问题
1. 分类讨论法(对于二次函数对称轴或多种成立情况的讨论)
1. 已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? mx ,若对于任一实数 x , f ( x ) 与 g ( x) 至少有一个为正数,则
2

实数 m 的取值范围是() A. (0, 2) 答案:B 2. 若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,则 m 的范围为__________ 答案: (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?
3

B. (0,8)

C. (2,8)

D. (??, 0)

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? ( m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0

,所以, m ? [1,9) 。

3. f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a = . 答案:4 4. 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 答案:本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意 x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 .若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒 成立 ? ?x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 ? ? 2
? a ?? ? ?2 ? ? f ( x) min ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2

a ? ?2? ? ? 2 ? a ? 2 ? ?? ? 2 或? 或 ,即 a 的取值范围为 [?5,?2 ? 2 2 ] . ? 2 2 a a ? f ( x) ? f ( x ) ? f ( 2 ) ? 7 ? a ? 2 ?2 ? min min ? f ( ? ) ? 3 ? a ? ? 2 4 ?
2 5. 设 f ( x) ? x ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

解:设 F ( x) ? x ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立
2

当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立; 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为:

1

? ?? ? 0 ? ? F (?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。综上可得实数 m 的取值范围为 [ ?3,1) 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ?
6. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:
x

① ?x ? R , f ( x ) ? 0 或 g ( x ) ? 0 ; ② ?x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 。 则 m 的取值范围是_______。 【答案】 m ? (?4,?2) 【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,可解得 x ? 1 。由于题目中第一个条件的限制 ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立
x

的限制,导致 ( x ) 在 x ? 1 时必须是 f ( x) ? 0 的。当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 不能做到 f ( x ) 在 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,所以 舍掉。因此, f ( x ) 作为二次函数开口只能向下,故 m ? 0 ,且此时两个根为 x1 ? 2m , x2 ? ?m ? 3 。为保证此条

1 ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? 件成立,需要 ? ?? 2 ,和大前提 m ? 0 取交集结果为 ? 4 ? m ? 0 ;又由于条件 2:要求 ? x 2 ? ?m ? 3 ? 1 ?m ? ?4 ?
可分析得出在 x ? (??,?4) 时, f ( x ) 恒负, 因此就需要在这个范围内 g ( x) 有 x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 的限制, 得正数的可能,即 ? 4 应该比 x1 , x2 两根中小的那个大,当 m ? (?1,0) 时, ? m ? 3 ? ?4 ,解得,交集为空,舍。 当 m ? ?1 时,两个根同为 ? 2 ? ?4 ,舍。当 m ? (?4,?1) 时, 2m ? ?4 ,解得 m ? ?2 ,综上所述 m ? (?4,?2) .

a2 7. 设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 x
成立,则 a 的取值范围为________ 【答案】 a ? ?

8 . 7
2

8. 已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ?1 , g ( x) ? mx ,若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 至少有一个为正数,则 实数 m 的取值范围是() A. (0, 2) 答案:B
2 9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时,f ( x) ? x , 若对任意的 x ? ?t,t ? 2? , 不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x)

B. (0,8)

C. (2,8)

D. ( ??, 0)

恒成立,则实数 t 的取值范围是(



2

?∞ A. ? 2, ?

?

B. ? 2,∞ ? ?

C. ? 0, 2?

? 1? ? ? 2, 0? D. ? ? 2, ? ? ? ?

解.A(排除法)当 t ?

? 2 则 x?? ? 2,2 ? 2 ? 得, f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? ?

即 ( x ? 2)2 ? 2x2 ? x2 ? 2 2x ? 2 ? 0 在 x ? ? 2,2 ? 2 ? 时恒成立, 而 x ? 2 2 x ? 2 最大值,是当 x ?
2

2 ? 2 时出现,故 x2 ? 2 2 x ? 2 的最大值为 0,

则 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,排除 B,C 项,同理再验证 t ? ?1 时, f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 不成立,故排除 D 项.

2. 分离参数法
10. 当 x ? ?1, 2? 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是
2

解析: 当 x ? (1, 2) 时,由 x2 ? mx ? 4 ? 0 得 m ? ?

x 2 ? 4 .∴ m ? ?5 . x

11. 不等式 sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? a ? 0 有解,则 a 的取值范围是
2 sin x ? 2? ? 3? ? ?2 ,所以 a ? ?2 。 解:原不等式有解 ? a ? sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? ?sin x ? 2? ? 3 ? ?1 ? sin x ? 1? 有解,而 ? ?? ?min

2

12. 已知函数 f ( x ) ? ax ? 解: 将问题转化为 a ?

4 x ? x 2 , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立。 x

令 g ( x) ?

4x ? x 2 ,则 a ? g ( x) min x

由 g ( x) ?

4x ? x 2 ? x

4 ? 1 可知 g ( x) 在 (0,4] 上为减函数,故 g ( x) min ? g (4) ? 0 x

∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。 13 .已知函数 f ( x ) ? ( x ? )( x ? ) 对任意 x1 , x2 ? [?1,0],不等式| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m 恒成立,试求 m 的取值
2

3 2

9 4

范围。
3 2 14 . 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx的极小值为? 8, 其导函数 y ? f ' ( x) 的图像经过点 (?2,0), ( ,0), 如图所示,

2 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对 x ? [?3,3]都有f ( x) ? m ? 14m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

?2 ? x ? ? , ?? ? f 2 ?3 ?, 15. 设函数 f ( x) ? x ? 1,对任意

?x? 2 ? ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) m ? ? 恒成立,则实数 m 的取值
3

范围是. 【答案】D 依据题意得

3 1 3 2 x2 ? 1 ? 4m2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4(m2 ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 2 2 m x x m 3 2 1 5 3 5 2 时函数 y ? ? 2 ? ? 1 取得最小值 ? ,所以 2 ? 4m ? ? ,即 x x m 3 2 3

在 x ? [ , ??) 上恒成立。当 x ?

3 2

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

3. 主参换位法
16. 对于满足 p ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。
2

解:不等式即 ? x ?1? p ? x2 ? 2x ? 1 ? 0 ,设 f ? p ? ? ? x ?1? p ? x2 ? 2x ?1 ,则 f ? p ? 在[-2,2]上恒大于 0,故有:
2 ? ? f ? ?2 ? ? 0 ? ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? x ? 3或x ? 1 ? x ? ?1 或 x ? 3 ?? 2 ?? ? ? x ?1 ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ? f ? 2? ? 0 ? ?

17. 已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)(a为常数) 是实数集 R 上的奇函数,函数 g ? x ? ? ? f ( x) ? sin x 是区间 ? ?1,1? 上的减函数,(Ⅰ)
2 求 a 的值;(Ⅱ)若 g ( x) ? t ? ?t ? 1在x ? ??1,1? 上恒成立,求 t 的取值范围;

(Ⅱ)分析:在不等式中出现了两个字母: ? 及 t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然 可将 ? 视作自变量,则上述问题即可转化为在 ? ??, ?1? 内关于 ? 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。
, 1? ? 上单调递减,? g ?( x) ? ? ? cos x ? 0 ?? ? ?cos x 在 ? ?1 , (Ⅱ)略解:由(Ⅰ)知: f ( x) ? x ,? g ( x ) ? ? x ? sin x ,? g ( x) 在 ? ?11

? g ( x)?max ? g (?1) ? ?? ? sin1 , ? 只需 ?? ? sin1 ? t 2 ? ? t ? 1 , ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )恒成 上恒成立, ?? ? ?1,
? 2 立, 由上述②结论: 可令 f ? ? ? ? (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0(? ? ?1) ,则 ? t ?1 ? 0 t ? ?1 ? i n 1 0 ? ,? ? 2 , 而 t2 ? t ? s 2 ? t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0 t ? t ? sin1 ? 0 ? ?

恒成立, ?t ? ?1 。 18. 已知函数 f ?x? ? x ? ?2a ? 1?x ? a ln x.
2

(I)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1??处的切线方程; (II)求函数 f ?x ? 的单调区间; (III)若对任意 a ? ?? 3,?2? 及 x ? ? 1,3? 时,恒有 ma ? f ?x ? <1 成立,求实数 m 的取值范围..

4

解: (I)当 a =2 时,

f ? x ? =x2 ? ? 2a+1? x+a ln x=x2 ? 5x+2ln x
? f ? ? x ? =2x ? 5+ 2 x

? f ? ?1? = ? 1
又 f ?1? = ? 4

? y=f ? x ? 在点 ?1,f ?1?? 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0
2 a 2 x ? ? 2a +1? x+a (x ? a)(2 x ? 1) (II) f ? ? x ? =2x ? ? 2a +1? + = = x x x

当a ?

1 ? 1? ?1 ? 时, f ( x ) 在 ? 0 , ? 和 ? a,??? 上单调递增,在 ? ,a ? 单调递减; 2 ? 2? ?2 ?
当a ?

1 时, f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; 2

当0 ? a ?

1 ? 1? ?1 ? 时, f ( x ) 在 ? 0,a ? 和 ? , ?? ? 上单调递增,在 ? a, ? 单调递减; 2 ? 2? ?2 ?

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0 , ? 上单调递减,在 ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 单调递增. ?2 ?

(III)由题意可知,对 ?a ? ( ? 3, ? 2), x ? ? 1,3? 时,恒有 ma ? f ?x ? <1 成立等价于 ma ? 1<f ? x ?min 由(II)知,当 ?a ? ( ? 3, ? 2) 时, f ( x ) 在 ?1,3? 上单调递增.

? f ? x ?min =f ?1? = ? 2a
? 原题等价于当 ?a ? ( ? 3, ? 2) 时, ma ? 1< ?2a 恒成立,
1 ? 2a 1 5 1 7 = ? 2 ,在 a ? ( ? 3, ? 2) 时,有 ? < ? 2< ? a a 2 a 3 7 7 ?m ? ? 故当 m ? ? 时, ma ? 1< ?2a 恒成立, 3 3
即 m> 19. 已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ?1, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f
3
'

? x ? 是 f ? x ? 的导函数.

(1)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (2)设 a ? ?m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点.
2

答案:解法 1.由题意 g ? x ? ? 3x ? ax ? 3a ? 5 ,这一问表面上是一个给出参数 a 的范围,解不等式 g ? x ? ? 0 的问
2

题,实际上,把以 x 为变量的函数 g ? x ? ,改为以 a 为变量的函数,就转化为不等式的恒成立的问题,即
5

令 ? ? a ? ? ?3 ? x ? a ? 3x2 ? 5, ? ?1 ? a ? 1? ,则对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0 ,从而转化为对

?1 ? a ? 1 ,? ? a ? ? 0 恒成立,又由 ? ? a ? 是 a 的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的端点得到.
为此

? ? ? ?1? ? 0 只需 ? ? ?? ? ?1? ? 0
解得 ?

?3x 2 ? x ? 2 ? 0, 即? 2 ?3x ? x ? 8 ? 0.

2 ? x ? 1. 3

故 x ? ? ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 .

? 2 ? ? 3 ?

4. 数形结合
20. 当 x (1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围。

解:设 y1=(x-1)2,y2=logax,则 y1 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切 x (1,2),y1<y2 恒成立,显然 a>1,并且必 须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。 故 loga2>1,a>1, 1<a 2.

21. 已知关于 x 的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 分析:方程可转化成 lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得 x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+20x 及一次函数 y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。

6

解:令 y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示,y1 的图象为一个定抛物线,y2 的图象是一条斜率为定 值 8,而截距不定的直线,要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯一交点,则直线必须位于 l1 和 l2 之间。(包括 l1 但不包括 l2)

当直线为 l1 时,直线过点(-20,0)此时纵截距为-6a-3=160,a=

;

当直线为 l2 时,直线过点(0,0),纵截距为-6a-3=0,a=

∴a 的范围为[



)。

22. 若当 P(m,n)为圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上任意一点时,不等式 m ? n ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范围是( A、 ? 1 ? 2 ? c ? C、 c ? ? 2 ? 1



2 ?1

B、 2 ? 1 ? c ? D、 c ?

2 ?1

2 ?1

2 2 解析: 由m? n ? c ? 0, 可以看作是点 P(m,n)在直线 x ? y ? c ? 0 的右侧, 而点 P(m,n)在圆 x ? ( y ? 1) ? 1上,

?0 ? 1 ? c ? 0 ? 2 2 实质相当于是 x ? ( y ? 1) ? 1在直线的右侧并与它相离或相切。? ?| 0 ? 1 ? c | ? c ? 2 ? 1 ,故选 D。 ? 2 2 ?1 ? 1 ?1
4 23. 设 f ( x) ? ? x ? 4x , g ( x ) ? x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. 3
2

y

分析:在同一直角坐标系中作出 f ( x) 及 g ( x) 的图象
2 2 如图所示, f ( x) 的图象是半圆 ( x ? 2) ? y ? 4( y ? 0)

-2 -4 -4 x

O

g ( x) 的图象是平行的直线系 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 。
要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 则圆心 (?2,0) 到直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 的距离

满足

d?

? 8 ? 3 ? 3a 5

?2

解得 a ? ?5或a ?

5 (舍去) 3

能成立或存在解问题
x 2 24. 已知函数 f ( x) ? e ?1, g ( x) ? ? x ? 4x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b 的取值范围为(

)

7

A. [2 ? 2, 2 ? 2] 答案:B 25. 若不等式组 ? A. (??, ?4] 答案:A

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

C. [1,3]

D. (1,3)

?

x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围( 2 ? x ? 4 x ? (1 ? a) ? 0
B. [?4, ??) C. [?4, 20] D. [?4, 20)

)

2 26. 存在实数 x ,使得不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 有解,则实数 a 的取值范围为______。

2 2 解:设 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 1 ,由 f ? x ? ? a ? 3a 有解, ? a ? 3a ? f ? x ?min ,

又 x ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 3? ? ? x ? 1? ? 4 ,∴ a 2 ? 3a ? 4 ,解得 a ? 4或a ? ?1 。
2 27. 设 a ? R ,二次函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为 A , B ? ?x |1 ? x ? 3? , A ? B ? ? ,求实数

a 的取值范围.
解法一:由题设, a ? 0 .

f ? x ? ? 0 的两个根为 x1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x2 ? ? 2 ? 2 , 显然, x1 ? 0, x2 ? 0 . a a a a

(1) 当 a ? 0 时, A ? x x1 ? x ? x2 ,

?

?

A ? B ? ? ? x2 ? 1 ?

1 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? a ? ?2. a a

(2) 当 a ? 0 时, A ? x x ? x1 ? x x ? x2 ,

?

? ?

?

A ? B ? ? ? x2 ? 3 ?

6 1 1 ? 2? 2 ? 3? a ? . 7 a a

于是,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2 ? ? ? 解法二: (1)

?6 ? , ?? ? . ?7 ?
1 ? 0 , 则 对 x ? ?1,3? , f ?1? 最 大 , a

当 a ? 0 时 , 因 为 f ? x? 的 图 象 的 对 称 轴

fmax ? x ? ? f ?1? ? a ? 2 ? 2a ? 0. ? a ? ?2.
(2) 当 a ? 0 时, fmax ? x ? , x ? ?1,3? 在 f ?1? 或 f ? 3? 实现, 由 f ?1? ? ?2 ? a ? 0, f ?3? ? 7a ? 6 ,则 f ? 3? ? 7 a ? 6 ? 0 ? a ?

6 7

8

于是,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2 ? ? ?

?6 ? , ?? ? . ?7 ?

? 28. 已 知 函 数 f ( x )? l nx? a x

1? a ?1 , g( x ) ? x 2 ? 2bx ? 4 对 任 意 x1 ? (0, 2) , 存 在 x2 ? R , 使 x

f ( x1 ) ? g( x2 ) ,求 b 的取值范围。

4x 2 ? 7 , x ? [0,1]. 29. 已知函数 f ( x) ? 2? x
(1)求 f ( x) 的单调区间和值域;
3 2 ( 2 ) 设 a ? 1 , 函 数 g ?x? ? x ? 3a x ? 2a, x ? ?0,1? , 若 对 于 任 意 x1 ? ?0,1?

, 总 存 在 x0 ? ?0,1? 使 得

g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.
答案: (1)对函数 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 解得 x ?

? 4 x 2 ? 16x ? 7 (2 x ? 1)(2 x ? 7) ?? 2 ( 2 ? x) ( 2 ? x) 2

1 7 或x ? . 2 2

可以求得,当 x ? (0, ) 时, f ( x) 是减函数;当 x ? ( ,1) 时, f ( x) 是增函数. 当 x ? [0,1] 时, f ( x) 的值域为 ??4, ?3? . (2)对函数 g ( x) 求导,得 g ?( x) ? 3( x ? a ).
2 2 2 因为 a ? 1 ,当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 3(1 ? a ) ? 0.

1 2

1 2

因此当 x ? (0,1) 时, g ( x) 为减函数, 从而当 x ? [0,1] 时有 g ( x) ? [ g (1), g (0)].

9

又 g (1) ? 1 ? 2a ? 3a 2 , g (0) ? ?2a, 即 x ? [0,1] 时有 g ( x) 的值域为是 [1 ? 2a ? 3a2 , ?2a]. 如何理解“任给 x1 ? [0,1] , f ( x1 ) ? [?4,?3] ,存在 x0 ? [0,1] 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) ” , 实际上, 这等价于 f ( x) 值域是 g ( x) 值域的子集, 即 [1 ? 2a ? 3a2 , ?2a] ? [?4, ?3]. 这就变成一个恒成立问题,

f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最小值, f ( x) 的最大值不大于 g ( x) 的最大值
即?

?1 ? 2a ? 3a 2 ? ?4, ?? 2a ? ?3.

① ②

5 a ? 1或a ? ? ; 3 3 解②式得 a ? . 2
解①式得 又 a ? 1 ,故 a 的取值范围为 1 ? a ?

3 . 2

10


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