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大一上学期高等数学A1综合检测2试题及答案


高等数学 A(1)综合检测 2 参考解答
一、填空、选择题(18%) 1. lim (1 + 2 x ) x =
x →0
1

e2

.
1 ?1

2. 设 f ( x) 在闭区间 [0, 1] 上连续,则 ∫ f ( x 2 ) sin xdx = 3.

0 .

1 dx = 1 . 1 x2 4. 设 y = sin x 2 ,则 dy = 2 x cos x 2 dx. 5. 设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则下列结论中不正确的是( B)



+∞

(A) F ′( x ) = f ( x ) ; (C)

(B) (D)

∫ F ′( x)dx = f ( x) + C ;
d [ f ( x)dx] = f ( x ). dx ∫

∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ;

6.微分方程 y′′ + y = 0 的通解为( D ) (A) C cos x; (B) C sin x; (C) sin x + cos x; (D) C1 cos x + C2 sin x. 二、解答下列各题(35%) ex ?1 x 1. lim = lim = 1 x →0 sin x x →0 x x ? sin x x ? sin x 1 ? cos x sin x 1 2. lim = lim = lim = lim = . 3 2 x →0 ln(1 + x 3 ) x →0 x → 0 x → 0 x 3x 6x 6

∫ 3. lim

x

sin x 2 1 = . x →0 x →0 3 x 2 x3 3 4. 设 f (u ) 为可导函数,且 y = f (sin x ) + sin f ( x ), 求 y′. x 解: y′ = f ′(sin x ) cos x + f ′( x) cos f ( x). dy 5. 设 y = x sin x ( x > 0), 求 . dx dy sin x ? ? 解: = ( esin x ln x )′ = xsin x ? cos x ln x + ?. dx x ? ? 3 6. 求函数 f ( x) = x3 + x 2 ? 6 x + 2 的极值. 2 2 解: f ′( x) = 3 x + 3 x ? 6 = 3( x 2 + x ? 2) = 3( x ? 1)( x + 2), f ′′( x) = 6 x + 3, 驻点: x = ?2, 1. f ′′( ?2) = ?9, f ′′(1) = 9, 3 于是,极小值 f (1) = ? ; 极大值 f (?2) = 12. 2 7. 设点 A(1,0,1), B(1,1,1), C (2,1,3) ,求三角形 ABC 的面积.
0

sin t 2 dt

= lim

解:作向量 AB = (0,1,0), AC = (1,1,2) ,则 AB × AC = 2i ? k 三角形 ABC 的面积 S?ABC =
? ???? 1 1 ??? 5 AB × AC = 2i ? k = . 2 2 2

??? ?

????

??? ? ????

三、解答下列各题(36%) 1 dx 1 x +1 1. ∫ 2 dx = ∫ = arctan + C. 2 x + 2x + 5 4 + ( x + 1) 2 2

1

2.

x+2 dx , 0 x +1 解:令 t = x + 1, 则 x = t 2 ? 1, dx = 2tdt ,



3

x t
2

0,3 1,2

2 ?t3 ? t2 +1 20 2 原式= ∫ 2tdt = 2 ∫ (t + 1)dt = 2 ? + t ? = . t ? 3 ?1 3 1 1 1 ?1 + x 2 , x ≤ 0 3. 设 f ( x) = ? x ,求 ∫ f ( x )dx . ?1 x>0 ? e , 1 1 1 解: ∫ f ( x)dx = ∫ (1 + x 2 )dx + ∫ e x dx = (1 + ) + (e ? 1) = + e. ?1 3 3 ?1 0 0 1

2

【思考】计算 F ( x) = ∫ f (t )dt .
?1

x

4. 求由抛物线 y = x ,直线 x = 2 以及 x 轴所围成的平面图形面积,并求该图形绕 x 轴旋转一周 所成旋转体的体积.
2

8 解:(1) A = ∫ x dx = ; 3 0 5.求微分方程 xy′ + y = cos x 的通解.
2

2

x5 32 (2) V = ∫ π x dx = π = π. 5 0 5 0
4

2

2

sin x + C . x 6. 求微分方程 y′′ ? 5 y ′ + 6 y = ( x + 1)e4 x 的通解. 解:对应齐次方程的特征方程: r 2 ? 5r + 6 = 0 ;特征根: r = 2,3. 对应齐次方程的通解为: y = C1e 2 x + C2 e3 x y′′ ? 5 y ′ + 6 y = ( x + 1)e4 x 特解形式: y* = (ax + b)e 4 x , 代入原方程得, 1 1 ? x 1? 2ax + 2b + 3a = x + 1, 解得, a = , b = ? ,原方程的特解为: y* = ? ? ? e 4 x . 2 4 ?2 4? 解: ( xy )′ = cos x, ? xy = sin x + C ,即 y =
? 4x 原方程的通解: y = C1e 2 x + C2 e3 x + ? ? ? ?e . 2 4 ? ?

x

1

四、解答下列各题(11%) 1.设函数 f ( x) 的一个原函数是 ln( x + 1 + x 2 ) ,求

∫ xf ′( x)dx.
x
2

解: ∫ xf ′( x)dx = ∫ xdf ( x) = xf ( x) ? ∫ f ( x)dx =

? ln( x + 1 + x 2 ) + C.
1

1+ x

f ( x) f ( x) ? x ? 2. 设函数 f ( x) 在 x = 0 处有二阶导数,且 lim = 0, f ′′(0) = 4, 求 f (0), f ′(0), lim ? 1 + . x →0 x →0 x x ? ? ? f ( x) f ( x ) ? f (0) f ( x) 解: f (0) = lim f ( x ) = lim x = 0 × 0 = 0, f ′(0) = lim = lim = 0, x →0 x →0 x → 0 x → 0 x x x
1 lim ln? 1+ f ( x) ? x ? lim ? 1 + = e x →0 x ? ? x →0 x ? ? 1 ?

f ( x) ? ? x ?

=

e x →0 x

lim

1 f ( x) ? x

lim =

e x →0

f ( x) x2

=e

f ′( x ) lim x →0 2 x

=e

1 f ′ ( x )? f ′ (0) lim 2 x →0 x

=e

1 f ′′(0) 2

= e2 .

2


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