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2012年数学文科高考题分类专题二 基本初等函数、导数及其应用

专题二 基本初等函数、导数及其应用 1.(2012· 高考北京卷) 某棵果树前 n 年的总产量 S n 与 n 之间的关系如图所示,从目前记 录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为( )

A.5 C.9

B.7 D.11 1?-0.8 2.(2012· 高考天津卷)已知 a=21.2,b=? ?2? ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a cos 6x 3.(2012· 高考山东卷)函数 y= x ) - 的图象大致为( 2 -2 x

)

4.(2012· 高考福建卷)已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc, a<b<c, 且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出 如下结论:①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5.(2012· 高考湖南卷)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f′(x)是 f(x) π π 的导函数,当 x∈[0,π ] 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π ) 且 x≠ 时,(x- )f′(x)>0,则函 2 2 数 y=f(x)-sin x 在[-2π ,2π ]上的零点个数为( ) A.2 B.4 C.5 D.8 6.(2012· 高考江西卷) 如右图,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角 π 为 ,以 A 为圆心,AB 为半径作圆弧 6 与线段 OA 延长线交于点 C.甲、乙两质点同时从

点 O 出发, 甲先以速率 1(单位: m/s)沿线段 OB 行至点 B, 再以速率 3(单位: m/s)沿圆弧 行至点 C 后停止;乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至点 A 后停止.设 t 时刻甲、乙所到 达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0),则函数 y=S(t)的图像大 致是( )

7.(2012· 高考湖北卷)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2 -x)的图象为( )

(x+1)2+sinx 8.(2012· 高考课标全国卷)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M x2+1 +m=________. 9.(2012· 高考江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上, ax ? +1,-1≤x<0, f(x)=?bx+2 其中 a,b∈R. ,0≤x≤1, ? ? x+1 1 ? ?3? 若 f? ?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. 1 ? 10.(2012· 高考上海卷)已知函数 y=f(x)的图像是折线段 ABC,其中 A(0,0)、B? ?2,1?、 C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为__________. 11.(2012· 高考广东卷)设 0<a<1, 集合 A={x∈R|x>0}, B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0}, D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示); (2)求函数 f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax 在 D 内的极值点.

?

1 12.(2012· 高考安徽卷)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ +b(a>0). ax (Ⅰ)求 f(x)的最小值; 3 (Ⅱ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2

13.(2012· 高考辽宁卷)设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (Ⅰ)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9(x-1) (Ⅱ)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5

14.(2012· 高考上海卷)已知 f(x)=lg(x+1). (1)若 0<f(1-2x)-f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数, 且当 0≤x≤1 时, 有 g(x)=f(x), 求函数 y=g(x)(x∈[1, 2])的反函数.

专题二 基本初等函数、导数及其应用 S 1.C 前 m 年的年平均产量最高,而 m最大,由图可知,前 9 年(含第 9 年)直线递增,当 m m>9(m∈N+)时,总产量 Sn 递增放慢,故 m=9. 1 -0.8 2.A ∵b=? ? =20.8<21.2=a,且 b>1, ?2? 又 c=2log52=log54<1, ∴c<b<a. cos6x + 3.D y= x - 为奇函数,排除 A 项.y=cos6x 有无穷多个零点,排除 C 项.当 x→0 2 -2 x - 时,2x-2 x>0,cos6x→1,∴y>0,故选 D. 4.C ∵f′(x)=3(x-1)(x-3), ∴f(x)在(-∞,1),(3+∞)上单调递增, f(x) 在(1,3)上单调递减. 又 f(a)=f(b)=f(c)=0, ∴f(x)的草图如下.

由图象可知 f(1)>0,f(3)<0 且 a<1<b<3<c, ?4-abc>0 ? 即? , ?abc>0 ? 故 0<abc<4. ∴a>0. 即 0<a<1<b<3<c. ∴f(0)· f(1)<0,f(0)· f(3)>0. 故选 C. 5.B 由已知可得 f(x)的图象(如图), 由图可得零点个数为 4.

6.A 当 0<t<1 时, π 1 1 S(t)= ×t×2t×sin = t2; 2 6 2 当 t≥1 时, S(t)=S△OAB+S 扇形 1 1 1 = ×1×2× + ·3(t-1)· AB 2 2 2 1 3·AB 3 = - + AB·t. 2 2 2 π 而 AB2=1+4-2×2×cos =5-2 3. 6 3 ∴ AB>1,即直线的倾斜角大于 45°. 2 ∴选 A. 7.B 由 f(x)― ― →f(-x) ― ― → 对称 f[-(x-2)]― ― →-f(2-x). 翻折 2x+sin x 2x+sin x f(x)=1+ 2 ,令 g(x)= 2 ,则 g(x)为奇函数,对于一个奇函数,其最大 x +1 x +1 值与最小值之和为 0, 即 g(x)max+g(x)min=0, 而 f(x)max=1+g(x)max, f(x)min=1+g(x)min, ∴f(x)max +f(x)min=M+m=2. 3 1 9.-10 ∵f( )=f(- ), 2 2 1 b+2 2 1 1 1 ∴f( )=f(- ),∴ =- a+1, 2 2 3 2 2 易求得 3a+2b=-2, 又 f(1)=f(-1), b+2 ∴-a+1= , 2 即 2a+b=0, ∴a=2,b=-4, ∴a+3b=-10. 1 10. 由题意易得 4 1 2x(0≤x≤ ) 2 f(x)= , 1 -2x+2( <x≤1) 2 8.2
沿 x轴 关于y轴 右移2个单位

? ? ?

?2x (0≤x≤2) ∴y=xf(x)=? , 1 ?-2x +2x(2<x≤1)
2 2

1

∴所围成的图形的面积为 S=∫202x2dx+∫11(-2x2+2x)dx
2 1

?1 2 ? 2 = x ? +(- x3+x2)? 1 3 ? 3 ?2
2 1 2 2 1 1 = ×( )3+(- )×1+1+ ×( )3-( )2 3 2 3 3 2 2 1 2 1 1 = - +1+ - 12 3 12 4 1 = . 4 11.解:令 g(x)=2x2-3(1+a)x+6a, Δ =9(1+a)2-48a=9a2-30a+9 =3(3a-1)(a-3). 1 (1)①当 0<a≤ 时,Δ ≥0. 3 3a+3- 9a2-30a+9 3a+3+ 9a2-30a+9 方程 g(x)=0 的两个根分别为 x1= ,x2= . 4 4 所以 g(x)>0 的解集为 3a+3- 9a2-30a+9? ? ?-∞, ?∪ 4 ? ? 2 ?3a+3+ 9a -30a+9 ? ? ,+∞?. 4 ? ? 因为 x1,x2>0,所以 D=A∩B= ? 3a+3- 9a2-30a+9?∪ ?0, ? 4 ? ? 2 ?3a+3+ 9a -30a+9 ? ? ,+∞?. 4 ? ? 1 ②当 <a<1 时,Δ <0,则 g(x)>0 恒成立,所以 D=A∩B=(0,+∞). 3 1 综上所述,当 0<a≤ 时,D= 3 2 3 a + 3 - 9 a - 30 a+9? ? ?0, ?∪ 4 ? ? 2 ?3a+3+ 9a -30a+9 ? ? ,+∞?; 4 ? ? 1 当 <a<1 时,D=(0,+∞). 3 (2)f′(x)=6x2-6(1+a)x+6a =6(x-a)(x-1), 令 f′(x)=0,得 x=a 或 x=1. 1 ①当 0<a≤ 时, 3 由(1)知 D=(0,x1)∪(x2,+∞). 因为 g(a)=2a2-3(1+a)a+6a=a(3-a)>0, g(1)=2-3(1+a)+6a=3a-1≤0,
0

1 3 2

所以 0<a<x1<1≤x2, 所以 f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x a (0,a) (a,x1) (x2,+∞) 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 所以 f(x)的极大值点为 x=a,没有极小值点. 1 ②当 <a<1 时,由(1)知 D=(0,+∞), 3 所以 f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x a 1 (0,a) (a,1) (1,+∞) 0 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的极大值点为 x=a,极小值点为 x=1. 1 综上所述,当 0<a≤ 时,f(x)有一个极大值点 x=a,没有极小值点; 3 1 当 <a<1 时,f(x)有一个极大值点 x=a,一个极小值点 x=1. 3 1 12.解:(Ⅰ)法一:由题设和均值不等式可知,f(x)=ax+ +b≥2+b, ax 其中等号成立当且仅当 ax=1, 1 即当 x= 时,f(x)取最小值为 2+b. a 2 2 1 a x -1 法二:f(x)的导数 f′(x)=a- 2= , ax ax2 1 1 当 x> 时,f′(x)>0,f(x)在( ,+∞)上递增; a a 1 1 当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)在(0, )上递减. a a 1 所以当 x= 时,f(x)取最小值为 2+b. a 1 (Ⅱ)f′(x)=a- 2, ax 1 3 由题设知,f′(1)=a- = , a 2 1 解得 a=2 或 a=- (不合题意,舍去), 2 1 3 将 a=2 代入 f(1)=a+ +b= ,解得 b=-1. a 2 所以 a=2,b=-1. 3 13.证明:(Ⅰ)法一:记 g(x)=lnx+ x-1- (x-1),则当 x>1 时, 2 1 1 3 g′(x)= + - <0. x 2 x 2 又 g(1)=0,有 g(x)<0, 3 即 f(x)< (x-1). 2 法二:由均值不等式,当 x>1 时,2 x<x+1,故 x 1 x< + .① 2 2 令 k(x)=ln x-x+1, 1 则 k(1)=0,k′(x)= -1<0, x 故 k(x)<0,

即 ln x<x-1.② 3 由①②得,当 x>1 时,f(x)< (x-1). 2 9(x-1) (Ⅱ)法一:记 h(x)=f(x)- ,由(Ⅰ)得 x+5 1 1 54 h′(x)= + - x 2 x (x+5)2 2+ x x+5 54 54 - < - 2x (x+5)2 4x (x+5)2 (x+5)3-216x = . 4x(x+5)2 令 g(x)=(x+5)3-216x,则当 1<x<3 时, g′(x)=3(x+5)2-216<0. 因此 g(x)在(1,3)内是递减函数. 又由 g(1)=0,得 g(x)<0,所以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(1,3)内是递减函数, 又 h(1)=0,得 h(x)<0.于是 9(x-1) 当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 法二:记 h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1), 则当 1<x<3 时,由(Ⅰ)得 h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9 1 1 ? 3 < (x-1)+(x+5)?x+ -9 2 ? 2 x? 1 = [3x(x-1)+(x+5)(2+ x)-18x] 2x 1 ?2+x+1?-18x? < ? 3 x ( x - 1 )+( x + 5 ) ? 2 2? ? 2x? 1 2 = (7x -32x+25)<0. 4x 因此 h(x)在(1,3)内单调递减, 又 h(1)=0,所以 h(x)<0, 9(x-1) 即 f(x)< . x+5 ? ?2-2x>0 14.解:(1)由? ,得-1<x<1. ?x+1>0 ? 2-2x 由 0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg <1 x+1 2-2x 得 1< <10. x+1 因为 x+1>0,所以 x+1<2-2x<10x+10, 2 1 - <x< . 3 3 - 1< x<1 ? ? 2 1 由? 2 1,得-3<x<3. ?-3<x<3 ? (2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],因此 y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x). 由单调性可得 y∈[0,lg 2]. 因为 x=3-10y,所以所求反函数是 y=3-10x,x∈[0,lg 2]. =


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