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上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编 专题六 三角函数 文


专题六 三角函数
汇编 2013 年 3 月 (闵行区 2013 届高三一模 文科)17. (文)已知函数 f ( x ) ? | arctan x | ,若存在 x1 , x 2 ? [ a , b ] ,且 x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是 (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) b ? 0 17.A; (静安区 2013 届高三一模 文科)1.已知函数 f ( x ) ? 则正实数 a = . 1. a ?
1 4 1 2

[答]( (D) b ? 0
2? 7



sin( 2 ax ?

) 的最小正周期为 4 ? ,


2

( 嘉定区 2013 届 高三一 模 文 科) 3.函数 f ( x ) ? (s in x ? cos x ) ? 1 的最小正周期是 ___________. 3. ? (黄浦区 2013 届高三一模 文科)6.已知 ta n ? 为 . 6. ? 1 ;
?? ? ?? ? ? x ? c o s ? ? x ? 的最小正周期 ? 4 ? ? 4 ?
= 1 2

, tan ( ?

??)? ?

1 3

,则 tan ( ?

? 2? )

的值

(浦东新区 2013 届高三一模 文科)6.函数 f ( x ) ? 2 sin ? 为
?

.
?
2 ?? ?

(普陀区2013届高三一模 文科)9. 若函数 f ( x ) ? A sin( 2 x ? ? ) ( A ? 0 , ? 的部分图像如右 图,则 f ( 0 ) ? . 9. ? 1
y
2

?
2



O

?
3

x

(第 9 题图)

? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? 的最大值为_________. ? 2 ? ? 6 ? ? ? ? ) (松江区 2013 届高三一模 文科)6.己知 a ? (1, 2 sin ? ) , b ?( co s ? , 1 ,且 a ? b ,则

(奉贤区 2013 届高三一模) (理)函数 y ? sin ? 10、

??

ta n ? ?





6.

1 2
-1-

( 奉 贤 区 2013 届 高 三 一 模 ) 2 、 函 数 y ? s i 2 n x? 为 . 2. ?

s i x 2最 n 的

小 正 周 期

(普陀区 2013 届高三一模 文科)2. 函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期 T ? 2. ? (闵行区 2013 届高三一模 文科)10.已知定义在 (0, ) 上的函数 y ? 2 (sin x ? 1) 与 y ?
2

.

?

8 3



图像的交点为 P , P 作 P P1 ? x 轴于 P1 , 过 直线 P P1 与 y ? tan x 的图像交于点 P2 , 则线段 P1 P2 的长为 . 10.
2 4


? (0, ? )

(崇明县 2013 届高三一模) 已知 ? 2、 2、
5 12

且 tan (?

?

?
4

)? ? 3

, ? 则

?

.

?

(金山区 2013 届高三一模)3.函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的最小正周期是_________.3. ?

(青浦区 2013 届高三一模)7.在 ? ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BC ?
AB ? AC ?
3 2

10 ,则


cos 2 ? 1 ? sin 2 ?

(虹口区 2013 届高三一模)5、已知 sin ? ? 3 cos ? ,则
? 1 2

?



5、


??? ??? ? ? ?????
2

(长宁区 2013 届高三一模)16、若 A B ? B C ? A B ? 0 ,则 ? A B C 必定是 ( ) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

A.锐角三角形

16、 B (静安区 2013 届高三一模 文科) ( 文 ) 已 知 ? 、 ? 为 锐 角 , 且 (1 ? tan
t a n? t a n? =



?
2

)( 1 ? t a n

?
2

) ? 2 ,则

N A O

. 10. (文)1;

( 宝 山 区

2013

届 期 末 ) 10. 在 ? A B C

中 , 若

B S
南 理 第 11 题

C

B ? 6 0? A B ? ,

2 A C 则 2A B C 3 ? , , ? 的面积是

.2 3

(崇明县 2013 届高三一模)11、在 ? A B C 中,角 A、B、C 所对边的长 分别为 a、b、c,若 a 2
? b ? 2c
2 2

,则 co s C 的最小值

-2-

等于

. 11、

1 2

(杨浦区 2013 届高三一模 文科) 设 ? ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , 13. 且 a cos B ? b cos A ?
3 5 c ,则 tan A cot B 的值是___________.13. ? 1 ;

(长宁区 2013 届高三一模)9、已知 ? A B C 的面积为

3 2

, AC ?

3, ?ABC ?

?
3

,则 ? A B C

的周长等于 _______ . 9、 3 ?

3

(金山区 2013 届高三一模)20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ( 2 x ?
?
3 ) ? sin ( 2 x ?

?
3

)?

3 c o s 2 x ? m ,x∈R,且 f(x)的最大值为 1.

(1) 求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边 a、b、c,若 f ( B ) ?
3 ? 1 ,且 3 a ? b ? c ,试判断△

ABC 的形状.

20.解:(1) f ( x ) ? sin 2 x ?

3 cos 2 x ? m ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

) ? m ……………………3 分

因为 f ( x ) m ax ? 2 ? m , 所以 m ? 1 ,…………………………………………………………4 分 令–
?
2

+2kπ ≤2x+

?
3



?
2

+2kπ 得到:单调增区间为 [ k ? ?

5? 12

, k? ?

?
12

] (k∈Z)………6 分

( 无(k∈Z)扣 1 分 ) (2) 因为 f ( B ) ?
3 ? 1 ,则 2 sin ( 2 B ?

?
3

) ?1 ?

3 ? 1 ,所以 B ? 1 2 ? sin (

?
6

………………8 分
? A)

又 3 a ? b ? c ,则 3 sin A ? sin B ? sin C , 3 sin A ? 化简得 s in ( A ? 所以 C ?
?
2

5? 6

?
6

)?

1 2

,所以 A ?

?
3

,…………………………………………………12 分

,故△ABC 为直角三角形.…………………………………………………14 分

-3-

(宝山区 2013 届期末)20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.已知函数
f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( A

>0, ? >0, | ? | <

π 2

)

的图像与 y 轴的

交点为(0,1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 , 2 ) 和
( x 0 ? 2 π , ? 2 ).

(1)求

f (x)

的解析式及 x 0 的值;
1 3

(2)若锐角 ? 满足 c o s ? 的值. 解: (1)由题意可得 A
? ?
1 2 f ( x ) ? 2 sin ( 1 2
π? ?1 f ( x ) ? 2 s in ? x ? ? 6? ?2

?

,求

f ( 4? )

? 2,

T 2

? 2 π ,T = 4 π ,



?

? 4π



,………………………3 分
x ? ? ), f (0 ) ? 2 sin ? ? 1,

由| ? | <

π 2

,? ?

?

π 6

.

………………………………………………………………………5 分
) ? 2 , 所以 1 2 x0 ? x0 ? 2π 3 π 6 ? 2 kπ+ π 2 , x0 ? 4 kπ + 2π 3 ( k ? Z ),

f ( x 0 ) ? 2 sin (

1 2

x0 ?

π 6

又?

x0

是最小的正数,?
? (0 , π 2 ), c o s ? ? 1 3 7 9

; ……………………………………………………7



(2)? ?

,? sin ? ?

2 2 3

, 4 9 2

? c o s 2? ? 2 c o s ? ? 1 ? ?
2

, sin 2? ? 2 sin ? c o s ? ?

,

………………………………10 分
? 4 6 9 ? 7 9

f ( 4? ) ? 2 sin ( 2? ?

π 6

)?

3 sin 2? ? co s 2? ?

3?

4 2 9

?

7 9

.…………………14 分

(崇明县 2013 届高三一模)19、 (本题 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 数
f ( x )= sin ( 2 x +

已知函

?
3

)+ sin ( 2 x ?

?
3

)+ 2 co s x ? 1
2

,

x? R

.

(1)求函数

f (x )
,

的最小正周期;
]

(2)当 x ? [ ?

? ?
4 4

时,求函数
=

f (x)

的值域以及函数
?
4 )

f (x)

的单调区 间.

( 19、 1 ) f (x )= sin 2 x + co s2 x
? T =?

2 sin (2 x +

-4-

(2)因为 2 x +

?

? ? ? 3 ? ? ? , ? ,所以 s in (2 x + ) ? ? 4 4 ? 4 4 ? ?
? ?

? 2 ? ,1 ? ?? 2 ? ?

,所以 f (x ) ? ? ? 1, 2 ?
? ?

函数的增区间为 ? ?

?

? ? ?? ? ? , ,减区间为 , ? ?8 4? 4 8? ? ?
2 2 c o s( 2 x ?

(奉贤区 2013 届高三一模)20、 (理) 设函数 f ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; 分) (7 ( 2 ) 设 函 数 g ( x ) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x?
g (x) ? 1 2

?
4

) ? sin x 。
2

?
2

)?

g ( x, 且 当 x ? [0, )

?
2

] 时,

(7 ? f ( x ) ,求函数 g ( x ) 在 [ ? ? , 0 ] 上的解析式. 分)

20、 (理) f ? x ? ?
f ?x ? ?

1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 2 ? ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? ?
1 2 cos 2 x ? 1 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x 2

2 分(1+1) 4分 5分

?

1 2

?

1 2

s in 2 x

(1)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [0 , 当 x ? [?
?
2 g (x) ? g (x ?

2? 2

?? 1 2 s in 2 x

7分 9分

?
2

] 时, g ( x ) ?

1 2

? f (x) ?

, 0 ] 时, ( x ?

?
2

) ? [0,

?
2

] )? ? 1 2 sin 2 x

?
2

)?

1 2

sin 2 ( x ?

?
2

11 分

当 x ? [?? , ?

?
2

) 时, ( x ? ? ) ? [0 , 1 2

?
2

) 1 2
? ? ? ? x ? 0? ?? ? 2 ?

g (x) ? g (x ? ? ) ?

sin 2 ( x ? ? ) ?

sin 2 x

13 分

? 1 ? ? sin 2 x 得函数 g ( x ) 在 [ ? ? , 0 ] 上的解析式为 g ? x ? ? ? 2 ? ? 1 sin 2 x ?2 ?

14 分

? ? ? ?? ? ? x ? ? ? 2 ? ?

(奉贤区 2013 届高三一模)20、 (文)设函数 f ( x ) ?
0 ? ? ? 2;

3 2

s in 2 ? x ? c o s ? x ,其中
2

(1)若 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x ) 的单调增区间; 分) (7 (2)若函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴为 x ?
?
3

,求 ? 的值. 分) (7

-5-

20、 (文) (1) f ( x ) ?

3 2

sin 2 ? x ?

1 ? cos 2 ? x 2

1分 3分 5分
?
3 ? k? ? x ?

? ? 1 ? ? sin ? 2 ? x ? ?? . 6 ? 2 ?
? T ? ? , ? ? 0 ,? 2? 2? ? ? ,? ? ? 1 .

令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k ? , k ? Z , 得, ?
? ?

?
6

? k? , k ? z ,

所以, f ( x ) 的单调增区间为: ? ? (2)? f ( x ) ? sin ? 2 ? x ?
?
? 2? ? ?? ?

?
3

? k? ,

?

? ? k? , k ? Z . ? 6 ?

8分

?

? ?
?
2

? 1 ? ? 的一条对称轴方程为 . 3 6 ? 2
? k? , k ? z.

?
3 3 2

?

?
6

? 1 2 .

10 分 12 分
1 2 .

k ?

又 0 ? ? ? 2 ,? ?

1 3

? k ? 1 . ? k ? 0 ,? ? ?

14 分

若学生直接这样做:? f ( x ) ? sin ? 2 ? x ?
?
? 2? ?

?

? ?

? 1 ? ? 的一条对称轴方程为 . 3 6 ? 2

?
3

?

?
6

?

?
2

.? ? ?

1 2

.

则得分为 11 分

( 虹 口 区

2013
?
3

届 高 三 一 模 ) 20 、( 本 题 满 分
? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos
2

14

分 ) 已 知 函 数

f ( x ) ? 2 sin x ? sin(

x.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ? 20、 (14 分)解:
f ( x ) ? 2 sin x ( 3 2 cos x ? 1 2 sin x ) ? 3 sin x cos x ? cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x
2 2 2

?
2

,求 f ( x ) 的取值范 围.

?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ……………………6 分

f ( x ) 的最小正周期等于 ? .

当2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, x ? k? ?
?
6 ? 2x ?

?
6

( k ? z ) 时, f ( x ) 取得最大值 2.………………10 分

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

?

7? 6

,?

1 2

? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1,

-6-

f ( x ) 的值域为 [ ? 1,

2 ] ………………14 分

(青浦区 2013 届高三一模)21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分. 已知 m ? ( 2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x , ? y ) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (2)已知 a , b , c 分别为 ? ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( x ) ? f (
x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.

A 2

) 对所有

解: (I)由 m ? n ? 0 得 2 cos 即 y ? 2 cos 分 所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 分 (II)因为 f ( x ) ? f ( 所以 f (
A 2 A 2 ) ? 3 ,且 A ?
2

2

x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0

…………………………2 分
?
6 ) ? 1 ……………4

x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

…………………………6

) 对所有 x ? R 恒成立

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z

………………………………8 分
?
3

因为 A 为三角形内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 A ?
4 3 3 4 3 3 4 3 3 2? 3 4 3 3



………………………………9 分
4 3 3 4 3 3

由正弦定理得 b ?

sin B , c ?

sin C , b ? c ?

sin B ?

sin C

?

sin B ?

sin(

? B ) ? 4 sin( B ?

?
6

)

……………………………………12 分

? B ? (0 ,

2? 3

) ,? sin( B ?

?
6

)? (

1 2

,1 ] , b ? c ? ( 2 , 4 ]

所以 b ? c 的取值范围为 ( 2 , 4 ]

………………………………………………14 分

(黄浦区 2013 届高三一模 文科)20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. (1)若 A B ? B C ? ? 3 ,且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值;
??? ???? ?

-7-

(2)若 M ?

3 1

sin A co s A

,求 M 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?
??? ??? ? ?

?
3


2? 3 ? ?3

…………………………2 分 ,∴ a c ? 6
?
3 ,

由 A B ? B C ? ? 3 得, c ? a c o s



………………………4 分

又由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a c c o s ∴ 1 8 ? a 2 ? c 2 ? a c ,∴ a 2 ? c 2 ? 2 4 由①、②得, a ? c ? 6 (2) M ?
3 1
? 2 s in (



………………………6 分

……………………………………8 分
? 3 c o s A ? sin A

sin A cos A

?
3

? A)

……………………………………11 分
2? 3

由(1)得 B ? 由C ?
2? 3

?
3

,∴ A ? C ?


2? 3 ,

? A ? 0且A?0

,可得 0 ? A ?
3) ,

故?

?
3

?

?
3

? A?

?
3



所以 2 sin (

?
3

? A) ? (? 3 ,

即 M 的取值范围为 ( ? 3 , 3 ) . …………………………14 分 (嘉定区 2013 届高三一模 文科)19. (本题满分 12 分) 设复数 z ? ( a ? 4 sin ? ) ? 2 (1 ? cos ? ) ? i , 其中 a ? R ,? ? ( 0 , ? ) ,i 为虚数单位. 若
2 2

z 是方程 x

2

? 2 x ? 2 ? 0 的一个根,且 z 在复平面内对应的点在第一象限,求 ? 与 a 的值.

19. (本题满分 12 分) 方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的根为 x ? 1 ? i .………………(3 分) 因为 z 在复平面内对应的点在第一象限,所以 z ? 1 ? i ,………………(5 分)
2

? a 2 ? 4 sin 2 ? ? 1 1 2? 所以 ? ,解得 cos ? ? ? ,因为 ? ? ( 0 , ? ) ,所以 ? ? ,……(8 分) 3 2 ? 2 (1 ? cos ? ) ? 1

所以 sin ? ?
2

3 4

,所以 a ? 1 ? 4 sin ? ? 4 ,故 a ? ? 2 .…………(11 分)
2 2

所以 ? ?

?? 3

, a ? ? 2 .…………(12 分)

(静安区 2013 届高三一模 文科)20. (文)已知 a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C
-8-

所对的边长,且 a cos B ? b cos A ? (1)求:
tan A tan B

3 5

c.

的值;

(2)若 A ? 60 , c ? 5 ,求 a 、 b .
0

20(文)解: (1)由正弦定理 2分

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 5

sin C ,

又 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ,所以 分 可得
tan A tan B ? sin A cos B sin B cos A
0

2 5

sin A cos B ?

8 5

sin B cos A , 5

? 4 . ······················ 7 分

( 2 ) 若 A ? 60 , 则 sin A ?
cos B ? 4 19 19

3 2

, cos A ?

1 2

, tan A ?

3 , 得 tan B ?

3 4

,可得

, sin B ?

3 ? 19 19

. ····················· 10 分
5 3 ? 19 38

sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
a sin A a ? c sin C ? sin A ? b sin B c sin C c sin C ? sin B ? 2



由正弦定理

?

?

得 ··············· 14 分

19 , b ?

(闵行区 2013 届高三一模 文科) 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满 分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) ?
2 s in x s in x ? c o s x 3 (s in x ? c o s x ) ; cos x

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 y ? f ( x ? 解:
?
) , x ? [0, ] 的值域. 2 2

?

19. [解] (1) f ( x ) ?
2 sin x sin x ? co s x 3 (sin x ? co s x ) ? sin 2 x ? co s x 3 co s 2 x ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

) …3 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? (2) y ? f ( x ?
?

…………………3 分
?
3 ? ] ? 2 s in ( 2 x ? 2? 3 ) ………………………2 分

?
2

) ? 2 s in [ 2 ( x ? 2? 3

?
2

)?

∵ x ? [0, ] ,∴ ?
2

? 2x ?

2? 3

?
3

, ? 1 ? sin ( 2 x ?

2? 3

)?

3 2

……………2 分

-9-

∴ y ? [ ? 2, 3 ] . 另解: y ? f ( x ?
?

…………………2 分
?
2 ) ? 2 sin [ 2 ( x ?

?
2

)?

?
3

] ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

? ? ) ? ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

) …2 分

∵ x ? [0, ] ,∴
2

?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3

,?

3 2

? s in ( 2 x ?

?
3

) ? 1 ……………………2 分

∴ ? 2 ? ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

)?

3 ,即 y ? [ ? 2, 3 ] .

…………………………2 分

(普陀区 2013 届高三一模 文科)21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分. 已知 a 、 b 、 c 是 △ A B C 中 ? A 、 ? B 、 ? C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? (1)求 c ; (2)求 cos( 2 B ?
?
4 ) 的值.
2 2 2

1 3



21.【解】 (1)在 △ A B C 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2 bc cos A …………2 分
48 ? 36 ? c
2

2

? 2 ? c ? 6 ? (?

1 3

) …………2 分

即 c ? 4 c ? 12 ? 0 , ( c ? 6 )( c ? 2 ) ? 0 ,解得 c ? 2 …………2 分 (2)由 cos A ? ?
1 3 ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? a s in A ? b s in B

2 3

2

…………2 分

在 △ A B C 中, 由正弦 定理,得
6? ? 2 3 4 3
3 3
cos 2 B ? 1 ? 2 sin
2

2 ? 6 3

则 sin B ?

b ? sin A a

…………2 分

由于 B 为锐角,则 cos B ?
B ?1? 2?

……2 分
? ? 1 3

2 3

sin 2 B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ?

6 3

?

3 3

?

2 3

2 4? 6

所以 cos( 2 B ?

?
4

) ?

2 2

(cos 2 B ? sin 2 B ) ?

2 2

(?

1 3

?

2 3

2

)?

2

………2 分

(松江区 2013 届高三一模 文科)19. (本题满分 12 分) 已知 a ? ( 2 c o s x ,1) , b ? (cos x , 3 sin 2 x ) ,其中 x ? R .设函数 f ( x ) ? a ? b ,求 f ( x ) 的 最小正周期、最大值和最小值. 19.解:由题意知 f ( x ) ? a ? b ? 2 co s 2 x ?
? ? 3 sin 2 x

?

?

? ?

……………………… 3 分

- 10 -

? 2?

cos 2 x ? 1 2

?

3 s in 2 x

? co s 2 x ?

3 sin 2 x ? 1

? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ?1 6 ? ?

………………………………… 6 分 ………………………… 8 分

∴最小正周期 当 2x ? 当 2x ?
?
6 ?
?

T ?

2? 2

??
?
6 ? k ? , ? k ? Z ? 时,
? k? , ? k ? Z ?

?
2
3? 2

? 2 k ? ,即 x ?

f ( x ) m ax ? 2 ? 1 ? 3 …………………10 分

?
6

? 2 k ? ,即 x ?

2? 3

时, f

? x ? m in

? ? 2 ? 1 ? ? 1 …………12 分

(杨浦区 2013 届高三一模 文科)20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . (文) 已知函数 f ( x ) ? c o s ( x ?
7 2
π 4 ),

(1)若 f (? ) ?

,求 sin 2 ? 的值;
?? ? π π? ? ,求 g ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?

10

(2)设 g ( x ) ? f ? x ? ? f ? x ?
?

?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 .
f (? ) ? c o s(? ? π 4 7 2 )? 7 2

解: (1)因为
2 (c o s ? ? s in ? ) ?

10


c o s ? ? s in ? ? 7 5 . 49



2

1 0 , 所以

………3 分

平方得, sin ? ? 2 sin ? co s ? ? co s ? = 2 5 ,
2 2

………5 分

s in 2 ? ?

24 25 .

所以

………7 分
π? ? π π f ? x ? ? c o s( x ? ) ? c o s( x ? ) 2? ? 4 4 = 2 2

g (x) ? f

?x??

(2)因为
2

(c o s x ? sin x ) ?

(c o s x ? sin x )

= 2

………9 分

- 11 -

1

(co s x ? sin x )
2 2

=2
1

cos 2 x

=2

.
? π 2π ? ? , ? 3 3 ? ? ?.
1

………11 分

? π π? x? ? , 2x ? ? 6 3? ? ? 时, 当

………12 分

所以,当 x ? 0 时, g ( x ) 的最大值为 2 ;
x ? π 3 时,
g (x)

………13 分

?

1 4 .



的最小值为

………14 分

(闸北区 2013 届高三一模 文科)14. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x ) ? cos x (sin x ? cos x ) , x ? R . (1)请指出函数 f ( x ) 的奇偶性,并给予证明; (2)当 x ? ? 0 ,
? ?

? ?
2? ?

时,求 f ( x ) 的取值范围. (3 分) (3 分)

14.解: f ( x ) ? (1)? f ? ?
? ?

? ? 1 ? sin ? 2 x ? ?? 2 4 ? 2 ?
2 2 ?1 2 ?? ? ? ? f ? ? ,? f ( x ) 是非奇非偶函数. ? 8 ?

? ?

1 ? ? ? ? 8 ? 2

注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如? f ( 0 ) ? 1 ? 0 ,? f ( x ) 不是奇函数. (2)由 x ? ? 0 ,
? ?

? ?
2? ?

,得

?
4

? 2x ?

?
4

?

5? 4

,?

2 2

? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1. 4 ? ?
? ? 2 ? 1? ?. 2 ?

(4 分) ( 2 分)

所以 0 ?

? ? 1 ? sin ? 2 x ? ? ?? 2 4 ? 2 ?
2

2 ?1 2

.即 f ( x ) ? ? 0 ,

- 12 -

- 13 -


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