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2016届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学(理)试题(解析版)


2016 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考 数学(理)试题
一、选择题 1.设复数 ? ? ( A. ?

3 2

a?i 2 ) ,其中 a 为实数,若 ? 的实部为 2,则 ? 的虚部为( 1? i 1 1 3 B. ? C. D. 2 2 2

2



【答案】A 【 解




2









? ?(

a ? i 2 ? ? a ? i ??1 ? i ? ? ? a ? 1 ? ?1 ? a ? i ? 1 2 2 ) ?? ? a ? 1? ? 2 ? a ? 1??1 ? a ? i ? ? a ? 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1? i 2 4 ? ? ?1 ? i ??1 ? i ? ? ?
1 1 3 1 ? a 2 ? i ,又 ? 的实部为 2 ,所以 a ? 2 ,所以 ? 的虚部为 ?1 ? a 2 ? ? ? . ? 2 2 2 1 2

?a?

【考点】复数的运算.
0.3 2.设 a ? log 1 2 , b ? log2 3 , c ? ( ) ,则(



3

A. a ? b ? c C. c ? b ? a 【答案】D

B. b ? a ? c D. b ? c ? a

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 a ? log 1 2 ? 0 ? c ? ( )0 . 3 ? ( ) 0? 1 ? b ? log 2 3 , 所 以
3

1 2

1 2

b ? c ? a.
【考点】指数幂、对数的大小比较. 3.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回, 当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为 A.

14 81

B.

20 81

C.

22 81

D.

25 81

【答案】A , ,及 2, 2, 1 这两种情况是互斥的,下面计算每一种情 【解析】试题分析:分两种情况 311 , ,时,试验发生包含的事件是 35 ,满足条件的事件数是 况的概率,当取球的个数是 311
1 3 1 C3 C4 C2 ,∴这种结果发生的概率是
1 3 1 C3 C4 C2

3

5

?

6 8 ;同理求得第二种结果的概率是 , 81 81

根据互斥事件的概率公式得到 P ?

8 6 14 ? ? ,故选 A. 81 81 81

【考点】1.互斥事件与对立事件;2.等可能事件的概率. 【思路点睛】本题是一个等可能事件的概率问题,考查互斥事件的概率,这种问题在高 考时可以作为文科的一道解答题,要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可 , ,及 2, 2, 1 ,这两种情况 以列举出所有事件.恰好取 5 次球时停止取球,分两种情况 311 是互斥的,利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率,再根据互斥事件的概率得到 结果.

4.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为(



A. 3 【答案】A

B.

3 2

C.0

D. ? 3

【解析】试题分析:由程序框图可知,第一次循环: a1 ?

3 3 ,S ? , i ? 2 ;第二次 2 2

循环: a2 ?

3 , S ? 3, i ? 3 ;第三次循环: a3 ? 0, S ? 3, i ? 4 ??,第八次循环: 2

a8 ?

3 , S ? 3, i ? 9 ;由于 i ? 9 ? 8 停止循环,所以输出 S ? 3 ,故选 A. 2


【考点】程序框图. 5.某几何体三视图如图所示,该几何体的体积为(

A. 8 ? 2?

B. 8 ? ?

C. 8 ?

?
2

D. 8 ?

?
4

【答案】B 【解析】试题分析:由三视图可知,该几何体是由一个棱长为 2 的正方体切去两个四分 之一圆柱而成,所以该几何体的体积为 V = 琪 22 - 2 创 琪

骣 桫

1 p创 12 4

2 = 8-p .

试卷第 2 页,总 17 页

【考点】简单组合体的三视图及体积. 6.已知 sin ? ? cos ? ? A. 7 【答案】B 【 解 B. ? 7 析

1 1 ? tan ? , ? ? (0, ? ) ,则 ?( 2 1 ? tan ?
C. 3 】 试 D. ? 3 题









1 3 ? ? sin ? ? cos ? ? , ? ? (0, ? ),? sin ? cos ? ? ? ? 0,?? ? ( , ? ) 2 8 2

7 7 2 ?? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ?sin ? ? cos ? ? 4 2

7 1 ? tan ? sin ? ? cos ? Q ?? ? ? 2 ? ? 7 ,故选 B. 1 1 ? tan ? sin ? ? cos ? 2
【考点】同角的基本关系. 7.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ? 1200 . 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN , 垂足为 N , 则
最大值为( A. ) B.1 C.

| MN | 的 | AB |

3 3

2 3 3

D.2

【答案】A 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设
2

AF ? a, BF ? b , 由 余 弦 定 理 得
2

AB ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120? ? a 2 ? b 2 ? ab ? ? a ? b ? ? ab

? a?b ? ? ? a ? b? ? ? ? ? 2 ?
2

2

?

3 2 ?a ? b? 4



? a ? b ? AF ? BF ? MN ? AB ?

2

MN 3 3 2 . 2MN ? ? 4 AB 3

【考点】1.抛物线方程及性质;2.余弦定理. 8 .两圆 x ? y ? 2ax ? a ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4by ?1 ? 4b ? 0 恰有三条公切线,若
2 2 2 2 2 2

a ? R, b ? R 且 ab ? 0 ,则
A.1 【答案】A 【 解 析 】 试 B.3

1 1 ? 2 的最小值为( 2 a b 1 4 C. D. 9 9
题 分 析 :



x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 4 ? 0





? x ? a?

2

? y 2 ? 4 , x2 ? y 2 ? 4by ?1 ? 4b2 ? 0 ,即 x 2 ? ? y ? 2b ? ? 1 ,依题意可得,两
2

圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,则

a 2 ? ? 2b ? ? 1 ? 2 ? 3 , 即
2

a3 ? 4b2 ? 9

,





1 ? a2
仅当

? ?? ?

?

2 ? ?? a ? 1 ? ? ?5? ? ? 2 ? 9b ? ?? ?

?

?2 b ?? ?

? 1 ?2 ? ?9 a ?

?

? ?? ? ?

当 5 且2

1 a2 b

9

2

a 2 4b 2 ? 2 即 a ? ?2b 时取等号,故选 C. b2 a
f ( x) ? 0 ,则关于 x 的函 x

【考点】1.圆与圆的位置关系;2.基本不等式.
' 9.已知 y ? f ( x) 为 R 上的可导函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?

数 g ( x) ? f ( x) ? A.1 B.2 【答案】C

1 的零点个数为( x
C.0



D.0 或 2

【解析】 试题分析: 由于函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 的非零零点是完全一样的,

1 , 可得 x ? 0 , 因而 g ( x) 的零点跟 xg ( x) x f ( x) ? 0 ,① 当 x

' 故我们考虑 xg ( x) ? xf ( x) ? 1 的零点.由于当 x ? 0 时, f ( x) ?

x ? 0 时, ( xg ( x))' ? ( xf ( x))' ? xf ' ( x) ? f ( x) ? x( f ' ( x) ?
x ?0

f ( x) ) ?0, 所以, 在 (0, ??) x

上 , 函 数 xg ( x) 单 调 递 增 函 数 . 又 ∵ lim[ xf ( x) ? 1] ? 1 , ∴ 在 (0, ??) 上 , 函 数 因此, 在 (0, ??) 上, 函数 xg ( x) ? xf ( x) ? 1 没有零点. ② xg ( x) ? xf ( x) ? 1 ? 1 恒成立,
' ' ' ' 当 x ? 0 时,由于 ( xg ( x)) ? ( xf ( x)) ? xf ( x) ? f ( x) ? x( f ( x) ?

f ( x) ) ? 0 ,故函数 x

xg ( x) 在 (??, 0) 上是递减函数,函数 xg( x) ? xf ( x) ? 1 ? 1恒成立,故函数 xg ( x) 在 (??, 0) 上无零点.综上可得,函 g ( x ) ? f ( x) ?
【考点】根的存在性及根的个数判断.

1 在 R 上的零点个数为 0 ,故选 C. x

H 在棱 AA1 上,且 HA1 ? 1, 10.如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 棱长为 4,点
在侧面 BCC1B1 内作边长为 1 的正方形 EFGC1 ,P 是侧面 BCC1B1 内一动点, 且点 P 到 平面 CDD1C1 距离等于线段 PF 的长,则当点 P 运动时, | HP | 的最小值是(
2



试卷第 4 页,总 17 页

A.21 B.22 【答案】B

C.23

D.25

【解析】试题分析:在 BB1 上取点 K ,使得 B1 K= 1 ,则 HK ? 面 BCC1B1 ,连结 PK , 则 HP2=HK 2+PK 2= 16+PK 2 .在平面 BCC1B1 上,以 CC1 所在直线为 x 轴,以 GF 所在直线为 y 轴,由题意可知, P 点轨迹为抛物线,其方程为 x2=2 y ? 1 , K 点坐标 为

4? ? 0,

, 设 P? , x ?y , 则 x2 ? 2 y ? 1 ( 其 中 x ?[?3,, 1] y ? ? , ? , 2 2

?1 7? ? ?

2 ?1 7? PK 2 ? x 2 ? ? y ? 4 ? ? 2 y ? 1 ? y 2 ? 8 y ? 16 ? y 2 ? 6 y ? 15 当 y ? 3 ? ? , ? 时 , ?2 2?

2 16+6=22 . PK 2 |m i = n 6 ,故 HP |min =

【考点】正方体和抛物线的综合应用. 【思路点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题,也考查了空间中的距离的最值问 题,建立空间直角坐标系,过点 H 作 HM ? BB? ,垂足为 M ,连接 MP ,得出

HP2 ? HM 2 ? MP2;当 MP 最小时, HP 2 最小,利用空间直角坐标系求出 HP 2 的最
小值即可. 11 . 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 1) 为 偶 函 数 , 当 x ? [0,1] 时 ,

f ( x) ? x 2 ,若 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有三个零点,则实数 b 的取值集合是(
1 1 , 2k ? ), k ? Z 4 4 1 5 B. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 2 2 1 1 C. (4k ? , 4k ? ), k ? Z 4 4 1 9 D. (4k ? , 4k ? ), k ? Z 2 2
A. (2k ? 【答案】C

1



【解析】 试题分析:由已知得: f (? x) ? ? f ( x) , 且 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,从而

f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x) , 所 以 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 ; 且 有

f ( x ? 2) ? f ((x ? 1) ? 1) ? ? f ((x ? 1) ? 1) ? ? f ( x)











f ( x ? 4) ?? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数;又因为当
x ? [0, 1] 时, f ( x) ? x 2 ,所以当 x ? [?1,0) 时, f ( x) ? ?(? x) 2 ;
1

1

那么作出函数在 R 上的图象如下:

函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有三个零点,等价于方程: f ( x) ? x ? b 有三个实根,即函数

f ( x) 的 图 象 与 直 线

y? ? x

有 b 三 个 不 同 的 交 点 ; 由

? 1 ? 1 ? 1 ?1 1 2 ? ? x 2 ? 1 ? x ? ,即当直线 y ? x ? b 与 f ( x) ? x 2 的图象相切时切 f ?( x) ? ? x ? ? 2 4 ? ? 1 1 1 1 1 点 的 坐 标 为 ( , ) , 此 时 b ? ; 由 图 象 及 对 称 性 不 难 知 当 b ? (? , ) 时 函 数 4 2 4 4 4
f ( x) ( x ? [?2,2)) 的图象与直线 y ? x ? b 有三个不同的交点;再由函数的周期性得:
1 b ? (4k ? 1 , 4k ? ) 时函数 f ( x) 的图象与直线 y ? x ? b 有三个不同的交点;故选 C. 4 4

【考点】1.函数的图象及性质;2.函数的零点. 【思路点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用,函数的零点和方程的根的关 系,体现了转化和数形结合的数学思想,由题意,画出函数 f ( x ) 的图象,利用数形结 合的方法找出 f ( x ) 与函数 y ? x ? b 有三个零点时 b 的求值.

二、填空题 12 . 已 知 集 合 P ? { y | y ? y ? 2 ? 0} , Q ? {x | x ? ax ? b ? 0} , 若 P ? Q ? R ,
2 2

P ? Q ? (2,3] ,则 a ? b ?
【答案】-5



【解析】试题分析: P ? { y | y ? y ? 2 ? 0} ? { y | y ? 2或y ? ?1} ,若 P ? Q ? R ,
2

3是 P ? Q ? (2,3] ,由 P ? Q ? R , P ? Q ? (2,3] ,所以 Q ? {x | ?1 ? x ? 3} ,∴ ?1,

试卷第 6 页,总 17 页

方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根,由根与系数关系得: ?a ? ?1 ? 3,b ? ?3? a ? b ? ?5 . 【考点】1.交集及其运算;2.并集及其运算. 13. 若直线 l1 : y ? x ? a 和直线 l2 : y ? x ? b 将圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 分成长度相等的 四段弧,则 a 2 ? b 2 ? 【答案】18 【解析】试题分析:由题意得直线 l1 : y ? x ? a 和直线 l2 : y ? x ? b 截得圆的弦所对圆 周角相等,皆为直角,因此圆心到两直线距离皆为 .

2 r?2 , 即 2 18.

| 1 ? ? 2 a | ?| 1 ?b 2 | ? ? 2 ? a 2 ? b 2? ( 2 ?2 2 2 【考点】直线与圆位置关系

2 ? 1 )?

2 ( ?2 ? 2

1)

14. 数列 {an } 中, 且对 ?n ? 2 , 都有 a1 ? 1 ,Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, 则数列 {an } 的通项公式 an ? .

2an ?1, 2 an Sn ? Sn

?1, n ? 1 ? 【答案】 an ? ? 2 ?? n(n ? 1) , n ? 2 ?
【 解 析 】 试 题 分 析 : 当

n?2 时 , 由

2an ?1 , 得 2 an Sn ? Sn

2 2(Sn ? Sn?1 ) ? an Sn ? Sn ? ?Sn Sn?1 ,所以

2 2 2 2 ? ? 1,又 ? 2 ,所以 { } 是以 2 S n S n ?1 S1 Sn

为首项,1 为公差的等差数列,

2 2 2 2 ? , ,所以 2an ? ? ? n ? 1 ,所以 S n ? n ?1 n ?1 n Sn

?1, n ? 1 2 ? an ? ? ,又 a1 ? 1 不满足上式,所以 an ? ? . 2 n(n ? 1) ?? n(n ? 1) , n ? 2 ?
【考点】1.等差数列的性质;2.数列递推式. 【思路点睛】 本题考查了数列递推式, 考查了等差关系的确定, 考查了等差数列的性质; 由数列递推式得到

2 2 2 ,由此证得数列所以 { } 是以 2 为首项,1 ? ? 1( n ? 2 ) S n S n ?1 Sn

为公差的等差数列,由此可求其通项公式后可得 Sn , 再由 an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2? 求数列

?an ? 的通项公式.
15 . 已 知 函 数

f ( x) 是 R

上 的 奇 函 数 , 当

x?0 时 ,

f ( x) ?

1 1 3 ? ? (| x ? tan ? | ? | x ? tan ? | ? tan ? ) ( ? 为常数,且 ? ? ? ? ) ,若对 2 2 2 2 2


实数 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ?

?
4

?? ?

?
2 1 1 tan ? ,则当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? x ? t ? x ? 2t ? 3t ? , 2 2

【解析】试题分析:令 t ? 若

t?0







x?0





f ? ?x ? ? 3x , t 当

x?0





f ? x ? ? ? f ? ?x ? ? ? ? ?x ? 3t ? ? x ? 3t 由 f ? x ? 3? ? f ? x ? 恒成立,可得 y ? f ? x ? 的
图 象 恒 在 y ? f ? x? 3? 的 图 象 上 方 , 则

1 tan ? ? 0 ; 当 t ? 0 时 , 当 x ? 0 时 , 2

?? x,x ? ?t ? f ? x ? ? ?t, ? t ? x ? ?2t ,由 f ? x ? ? x ? 3t,x ? ?2t ,得 f ? x ? ? t ;当 ?t ? x ? ? 2t ? x ? 3t,x ? ?2t ?
时, f ? x ? ? t ; 由 f ?x ? ?? x, 0 ?x ??t , 得 f ?x ? ? ∴当 x ? 0 时, f ? x ?min ? t . ∵ t .

函 数 f ? x? 为 奇 函 数 , ∴ 当 x ? 0 时 , f

? x?m a x? ?

t. ∵ 对 x ? R , 都 有

f ? x? 3? ? f ? ?x,∴ ?3t ? 3t ? 3 ,解得 ?

? ?? 1 可得 tan ,解得 ?
?

?
4

1 1 1 ? t ? 0 ,即有 ? ? tan ? ? 0 ,综上 2 2 2

? k ? ? ? ? k? ?

?

?
4

?? ?

?
2

2

,k ? Z . 又 ?

?

2

?? ?

?

2

,所以



【考点】函数奇偶性的性质.

1 tan ? ,讨论 t ,把 x ? 0 时的 f ? x ? 改写成分段函数,求出其最 2 小值,由函数的奇偶性可得 x ? 0 时的函数的最大值,由对 x?R ,都有
【思路点睛】令 t ?

f ? x? 3? ? f? ? x,可得 ?2t ? ? 4t ? ? 3 ,求解该不等式得答案.
三、解答题 16 . ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 a ? c?

6 b, 6

sin B ? 6 sin C .
(1)求 cos A 的值; (2)求 cos(2 A ?

?
6

) 的值.

【答案】 (1)

6 15 ? 3 ; (2) 4 8

试卷第 8 页,总 17 页

【解析】试题分析: ( 1 )在三角形 ABC 中,由正弦定理及 sin B ?

6 sinC ,可得

b ? 6c ,又 a ? c ?

6 (2)在三角 b ,在根据余弦定理的推论即可求出 cos A 的值; 6
6 10 ,可得 sin A ? ,再利用二倍角公式和同角的基本关系 4 4
b c ? 及 sin B ? 6 sin C , sin B sin C

形 ABC 中,由 cos A ? 即可求出结果.

试题解析: (1)在三角形 ABC 中,由 可得 b ? 6c ,又 a ? c ?

6 b ,有 a ? 2c , 6

所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 . ? ? 2bc 4 2 6c2
6 10 , 可 得 sin A ? , 于 是 4 4

( 2 ) 在 三 角 形 ABC 中 , 由 cos A ?

c o sA2 ?

1 22 A c? o s? ? , 1 4

sin 2 A ? 2sin A cos A ?

15 4 ? sA







c

A?

?
6

o

?
6

1 ?

(



?

5

A2

?
6

3

?)

8

【考点】1.正弦定理;2.余弦定理;3.同角的基本关系. 17.为调查某社区年轻人的周末生活状况,研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性 别的关系,随机调查了该社区年轻人 80 人,得到下面的数据表:

(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的年轻男性,设调查 的 3 人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期 望; (2) 根据以上数据, 能否有 99% 的把握认为 “周末年轻人的休闲方式与性别有关系” ? 参考公式: k ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

P( K 2 ? k0 )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

【答案】 (1)

5 ; (2)有 99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系. 2

【解析】试题分析: (1)由表中看出每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为

P?

50 5 ? ,随机变量 X 服从二项分布,运用独立重复试验公式求出概率后列出分布 60 6

列,运用二项分布公式求 X 的期望; (2)根据计算出的临界值,同临界值表进行比较, 得到假设不合理的程度约为 99%. 试题解析: (1)由已知,每个男性周末上网的概率为

5 , 6

5 1 5 6 6 6 5 EX ? np ? . 2 80 2 ? 8.9 ? 6.635 ,故有 99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系. (2)因为 k ? 9
k 3? k k 故 X ~ B (3, ) , P ( x ? k ) ? C3 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2,3 ,

【考点】1.二项分布;2.独立性检验. 18.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,平面 AEC ? 平面 ABCD ,

?ACB ? 900 , EF∥BC , EF ?

1 BC , AC ? BC ? 2 , AE ? EC . 2

(1)求证: AF ? CF ; (2)当二面角 A ? EC ? D 的平面角的余弦值为 【答案】 (1)详见解析; (2)

3 时,求三棱锥 A ? EFC 的体积. 3

1 3 【解析】试题分析: (1)由 ?ACB ? 90? ,平面 AEC ? 平面 ABCD ,利用面面垂直 的 性 质 定 理 可 得 : BC ? 平 面 AEC , 又 EF / / BC , 可 得 EF ? 平 面 AEC , 又
2 2 2 2 A E ? E C, 利用勾股定理可得 AF ? EF ? AF ? EF ? CF ? CF . (2) 取 AC

的 中 点 O , 可 得 EO ? AC,EO ? 平 面 A B C D, 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 设

u r uuu r ? u r n ? EC ?0 ? 1 ,可得 E ? 0, 0,m? ,设平面 EC D 的 法向量为 n1 ? ( x,y, 1) ,利用 ? u r uuu r ? ?n1 ? ED ? 0

u r u u r uur n1 ? ? m, m , 1? ,同理可得平面 AEC 的法向量为 n2 ? FE ? ? 0, 1, 0 ? ,利用法向量的夹
试卷第 10 页,总 17 页

角公式可得 m ,再利用三棱锥的体积计算公式即可得出. 试题解析: (1)因为 ?ACB ? 900 ,平面 AEC ? 平面 ABCD ,所以 BC ? 平面 AEC , 又 EF / / BC ,所以 EF ? 平面 AEC ,所以 EF ? AE, EF ? CE ,又 AE ? EC ,所 以 ?CEF ∽ ?AEF ,∴ AF ? CF . (2) 取 AC 的中点 O , 因为 AE ? EC , 所以 EO ? AC , 又平面 AEC ? 平面 ABCD , 所以 EO ? 平面 ABCD . 如图,建立空间直角坐标系,则 C (1, 0, 0), A (? 1, 0, 0),D ( ,设 E (0, 0, m ) ,∴ ? 1, 2, 0)

??? ? EC ? (1, 0,?m) , ??? ? ED ? (?1, 2, ?m) ,
设平面 ECD 的法向量为 n1 ? ( x, y,1) ,

??

?? ??? ? ? ?x ? m ? 0 ? n1 ? EC ? 0 则由 ? ?? ??? ,即 ? , ? ?? x ? 2 y ? m ? 0 ? ?n1 ? ED ? 0 ?? 得 x ? m, y ? m ,∴ n1 ? (m, m,1) .
由(1)知 EF ? 平面 AEC ,所以平面 AEC 的法向量为 n2 ? FE ? (0,1,0) ,

?? ? ??? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 m 3 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ,∴ m ? 1 . ? | n1 || n2 | 2m 2 ? 1 3
所以 VA ? EFC ? VF ? AEC ?

1 1 1 1 EF ? S ?ACE ? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? . 3 3 2 3

【考点】1.棱柱、棱锥、棱台的体积;2.平面与平面垂直的性质. 【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法,设二面角的平面角为

?? ?? ? ? (0 ? ? ? ? ) ,设 n1 , n2 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,向
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ?? ? . 量 n1 , n2 的夹角为 ? , 则有 ? ? ? ? ? (图 1) 或 ? ? ? (图 2) 其中 cos ? ? ?? | n1 | ? | n2 |

x2 ? y 2 ? 1 的短轴的端点分别为 A, B ,直线 AM , BM 分别与椭圆 C 19.已知椭圆 C : 4
交于 E , F 两点,其中点 M ( m, ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 .

1 2

(1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)用 m 表示点 E , F 的坐标; (3)若 ?BME 面积是 ?AMF 面积的 5 倍,求 m 的值. 【答案】 (1) e ?

12m 9 ? m2 3 , ) ;(3) m ? ?1 ; (2) F ( 2 m ? 9 m2 ? 9 2

c ; (2)利用点斜式分别写出 a 直线 AM 、BM 的方程,与椭圆的方程联立即可得到点 E、F 的坐标; (3)利用三角形
【解析】试题分析: (1)利用椭圆的离心率计算公式 e ? 的面积公式及其关系得到

5 MA ME

?

MB MF

,再利用坐标表示出即可得到 m 的值.

试题解析: (1)依题意知: a ? 2, c ? 3 ,∴ e ? (2)∵ A(0,1), B(0, ?1), M ( m, ) ,且 m ? 0 ,

3 , 2

1 2

1 3 ,直线 BM 的斜率为 k 2 ? , 2m 2m 1 3 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y ? x ? 1, ∴直线 AM 的方程为 y ? ? 2m 2m
∴直线 AM 的斜率为 k1 ? ?

试卷第 12 页,总 17 页

? x2 ? y2 ? 1 ? 4m ?4 由 ? , 得 (m2 ? 1) x2 ? 4mx ? 0 , ∴ x ? 0, x ? 2 , ∴ m ? 1 1 ?y ? ? x ?1 ? 2m ?
E( 4m m 2 ? 1 , ), m2 ? 1 m2 ? 1

? x2 ? y2 ? 1 ? 12m ?4 由 ? , 得 (9 ? m2 ) x2 ?12mx ? 0 , ∴ x ? 0, x ? 2 , ∴ m ? 9 3 ?y ? x ?1 ? 2m ?
F( 12m 9 ? m2 , ). m2 ? 9 m2 ? 9
1 1 | M A| | M F| s? in AM F S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , , 2 2

( 3 ) ∵ S ?A M F?

?AMF ? ?BME ,

5S?AMF ? S?BME ,∴ 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,∴


5 | MA | | MB | ? , | ME | | MF |

5m m , ? 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2 1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ?1) ? 0 , ∵ m ? 0 ,∴ 2 m ?1 m ? 9
2 2 又∵ m ? ? 3 ,∴ m ? 3 ? 0 ,∴ m ? 1 ,∴ m ? ?1 为所求.

【考点】1.直线与圆锥曲线的关系;2.椭圆的简单性质. 20.已知函数 f ( x) ? px ?

p ? 2 ln x . x

(1)若 p ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线; (2)若函数 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (3)设函数 g ( x ) ?

2e ,若在 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 x 4e , ??) e ?1
2

实数 p 的取值范围. 【答案】 (1) 2 x ? y ? 2 ? 0 ; (2) p ? [1, ??) ;(3) p ? (

【解析】试题分析: (1)求出函数在 x ? 1 处的值,求出导函数,求出导函数在 x ? 1 处 的值即切线的斜率,利用点斜式求出切线的方程. (2)求出函数的导函数,令导函数大 于等于 0 恒成立,构造函数,求出二次函数的对称轴,求出二次函数的最小值,令最小 值大于等于 0 ,求出 p 的范围. (3)通过 g ? x ? 的单调性,求出 g ? x ? 的最小值,通过 对 p 的讨论,求出 f ? x ? 的最大值,令最大值大于等于 g ? x ? 的最小值求出 p 的范围.

试题解析:已知函数 f ( x) ? px ? (1) f ( x) ? 2 x ?

p ? 2 ln x . x

2 ? 2 ln x , f (1) ? 0 , x

f ' ( x) ? 2 ?

2 2 ? , f ' (1) ? 2 , x2 x

则切线为: y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 . (2) f ( x) ? p ?
'

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? , x2 x x2

由 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 内为增函数,所以 f ' ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, ∴ px2 ? 2x ? p ? 0 即 p ? 设 h( x ) ?

2x ,对 ?x ? 0 恒成立, x ?1
2

2 x2 ? 2 ? 4 x2 2 ? 2 x2 2x ' ( x ? 0) , , h ( x ) ? ? 2 x2 ? 1 ( x 2 ? 1)2 ( x ? 1)2

易知, h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,则 h( x)max ? h(1) ? 1, ∴ p ? h(1) ? 1 ,即 p ? [1, ??) . (3)设函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? px ?

p ? 2e ? 2 ln x , x ? [1, e] , x

则原问题 ? 在 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 ? ( x0 ) ? 0 ? g ( x)max ? 0 .

? ' ( x) ? p ?

p ? 2e 2 px 2 ? 2 x ? ( p ? 2e) ? ? , x2 x x2
?2 x ? 2e ? 0 , 则 ? ( x) 在 x ? [1, e] 上 单 调 递 增 , x2

10 当 p ? 0 时 , ? ' ( x) ?

? ( x)max ? ? (e) ? ?4 ? 0 ,舍;
1 2e 20 当 p ? 0 时, ? ( x) ? p ( x ? ) ? ? 2 ln x , x x 1 2e ? 0 , ln x ? 0 ,则 ? ( x) ? 0 ,舍; ∵ x ? [1, e] ,∴ x ? ? 0 , x x

30 当 p ? 0 时, ? ' ( x) ?

p( x 2 ? 1) ? 2(e ? x) ?0, x2
p 4e ?4?0, 整理得 p ? 2 , e e ?1

? ( x) max ? ? (e) ? pe ? 则 ? ( x) 在 x ? [1, e] 上单调递增,
综上, p ? (

4e , ??) . e ?1
2

【考点】 1. 导数在最大值、 最小值问题中的应用; 2. 函数的单调性与导数的关系; 3. 利 用导数研究曲线上某点切线方程. 【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点 P( x0,y0 ) 及斜率,其求法为:设 P( x0,y0 ) 是 曲 线 y ? f ( x) 上 的 一 点 , 则 以 P 的 切 点 的 切 线 方 程 为 :
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y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .若曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0,f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴(即导数不

存在)时,由切线定义知,切线方程为 x ? x0 . 21.选修 4-1:几何证明选讲

OB 如图, 圆 O 的半径为 6, 线段 AB 与圆 O 相交于点 C , D ,AC ? 4 ,?BOD ? ?A ,
与圆 O 相交于点 E .

(1)求 BD 长; (2)当 CE ? OD 时,求证: AO ? AD . 【答案】 (1)9; (2)详见解析 【解析】 试题分析: 本题考查三角形相似, 角的求法, 考查推理与证明, 距离的求法. (1) 证明 VOBD∽V AOC ,通过比例关系求出 BD 即可. (2)通过三角形的两角和,求解 角即可. 试题解析: (1)∵ OC ? OD ,∴ ?OCD ? ?ODC ,∴ ?OCA ? ?ODB . ∵ ?BOD ? ?A ,∴ ?OBD∽ ?AOC ,∴ ∵ OC ? OD ? 6, AC ? 4 ,∴

BD OD ? , OC AC

BD 6 ? ,∴ BD ? 9 . 6 4

(2)∵ OC ? OE , CE ? OD ,∴ ?COD ? ?BOD ? ?A .
0 0 ∴ ?AOD ? 180 ? ?A ? ?ODC ? 180 ? ?COD ? ?OCD ? ?ADO .

∴ AD ? AO . 【考点】相似三角形的判定. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的 极坐标方程为 ? ?

?
4

,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? . ( ? 为参数) ? ? y ? sin ?
8 ,求 3

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 且平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,若 | MA | ? | MB |? 点 M 轨迹的直角坐标方程. 【答案】 (1)

x2 2 2 ? y2 ? 1 ; (2)点 M 的轨迹是椭圆 x ? 2y ? 6 夹在平行直线 2

y ? x ? 3 之间的两段弧.
【解析】试题分析: (1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,直接写出直线 l 的普通方 程,消去参数可得曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 M ( x0 , y0 ) 以及平行于直线 l1 的直

线参数方程,直线 l1 与曲线 C 联立方程组,通过 | MA | ? | MB |? 直角坐标方程,通过两个交点推出轨迹方程的范围. 试题解析: (1)直线 l : y ? x ,曲线 C :

8 ,即可求点 M 轨迹的 3

x2 ? y2 ? 1. 2

? ? x ? x0 ? ? (2)设点 M ( x0 , y0 ) 及过点 M 的直线为 l1 : ? ?y ? y ? 0 ? ?

2 t 2 ( 为参数) . t 2 t 2

3t 2 2 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 ? 2 y0 ?2 ? 0, 由直线 l1 与曲线 C 相交可得: 2
| MA | ? | MB |?
2 x 2 ? 2 y0 ?2 8 8 2 2 ?| 0 |? ,即: x0 ? 2 y0 ? 6, 3 3 3 2

x2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆,
x2 ? y 2 ? 1,得: 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 , 取 y ? x ? m 代入 2
由? ? 0得? 3 ? m? 3, 故点 M 的轨迹是椭圆 x ? 2 y ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧.
2 2

【考点】1.直线与圆锥曲线的综合问题;2.简单曲线的极坐标方程;3.参数方程化 成普通方程. 23.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 3| x ? 4 |? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围. 【答案】 (1) {x | x ? 1或x ? ?5} ; (2) ( ??,9] 【解析】试题分析: (1)分类讨论,当 x ? 4 时,当 ?

1 1 ? x ? 4 时,当 x ? ? 时,分 2 2

别求出不等式的解集,再把解集取交集. (2)利用绝对值的性质,求出 f ( x) ? 3 | x ? 4 | 的最小值为 9 ,故 m ? 9 . 试题解析: (1)当 x ? 4 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? ( x ? 4) ? x ? 5 ? 0 , 得 x ? ?5 ,所以 x ? 4 成立; 当?

1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 3x ? 3 ? 0 , 2
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得 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 4 成立; 当x??

1 时, f ( x) ? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 ,所以 x ? ?5 成立. 2

综上,原不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?5} . (2)令 F ( x) ? f ( x) ? 3| x ? 4 |?| 2 x ?1| ?2 | x ? 4 | ?| 2 x ?1 ?(2 x ?8) | ? 9 , 当?

1 ? x ? 4 时等号成立. 2

即有 F ( x) 的最小值为 9 , 所以 m ? 9 . 即 m 的取值范围为 ( ??,9] . 【考点】1.绝对值不等式的解法;2.函数最值的应用.


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