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三角函数部分高考题(带答案)

22.设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c. 5

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 sin A cos B ? 4 cos A sin B tan A cot B ? 4 即 ,则 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 3 1 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 4 2 5 4 23.在 △ ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 sin A (Ⅰ)求 的值; 33 (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2
解:

5 12 ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
(Ⅰ)由 cos B ? ? 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? (Ⅱ)由 S△ ABC ?

33 . ··········· 5 分 65

33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 , ···························· 8 分 AB ? sin B 20 ? AB , 又 AC ? sin C 13 13 20 AB 2 ? 65 , AB ? . 故 2 13 AB ? sin A 11 ? . ························ 10 分 所以 BC ? sin C 2
24.已知函数 f ( x) ? sin (Ⅰ)求 ? 的值;
1
2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
?

? ?

π?

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 解: (Ⅰ) f ( x) ?

? 2π ? ? ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?
2 4

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

25.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。 【解】 : y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

2

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 26.知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. (17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

? . 2

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.
(Ⅰ)解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

2? ? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2? 2 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?? ?k ? Z ? 时, sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

? k? ? ? f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? , k ? Z ?. 16 2 ? ?
27.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
3

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? sin(2 x ? ) 6 2? ∴周期T ? ?? 2
由 2x ?

?

?

6

? k? ?

?

2

(k ? Z ), 得x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?
(2)? x ? [? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
6 ) 在区间 [?

? ?

3

(k ? Z )

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

3

时, f ( x ) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

28.已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y

=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .
(Ⅰ)美洲 f(

π 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ) = 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?
π ) 6

=2sin( ?x ? ? -

因为 f(x)为偶函数, 所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, 因此 sin(- ?x ? ? -

π π )=sin( ?x ? ? - ). 6 6

4

π π π π )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin ?x cos( ? - )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. 6 6 π π π 又因为 0< ? <π ,故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2
即-sin ?x cos( ? -

2?
由题意得

?

? 2?

?
2

,   所以  ? =2.

故 因为

f(x)=2cos2x.

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标 6 6 ? ? 伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ( ? ) 的图象. 4 6
(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

f ( ) ? 2 cos ? 2 . 8 4

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 所以     g ( x) ? f ( ? ) ? 2 cos?2( ? )? ? 2 cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?
?
2 ?

当 即

2kπ ≤

?

3 2? 8? 4kπ +≤ ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3

≤2 kπ + π

(k∈Z),

因此 g(x)的单调递减区间为

2? 8? ? ? 4k? ? ,4k? ? ? ? 3 3? ?

(k∈Z)

29.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与

单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值. 由条件的 cos ? ?

2 2 5 , . 10 5

2 2 5 7 2 5 ,cos ? ? ,sin ? ? ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = 10 5 10 5
1 2

因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?
5

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

30.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan

A? B C ? tan ? 4, 2 2

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 2 2 2 2 C C cos sin 1 2 ? 2 ?4 ∴ ∴ ?4 C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2 1 ∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) 2 ? 5? ∴ C ? ,或C ? 6 6
解:由

tan

由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C ) 即 sin( B ? C ) ? 0 ∴B ?C

B?C ?

?
6
2? 3

A ? ? ? (B ? C) ?
由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C 1 sin B b?c?a ? 2 3? 2 ? 2 sin A 3 2

31.已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代 数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? cos x?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x? 1 ? sin x 1 ? cos x
6

(1 ? sin x)2 (1 ? cos x)2 ? cos x? ? sin x? cos2 x sin 2 x
1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x? ? sin x? . cos x sin x
? 17? ? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ?
1 ? sin x 1 ? cos x ? g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x ? sin x ? sin x ? cos x ? 2
= 2 sin ? x ? (Ⅱ)由 ?<x ?

? ?

?? ? ? 2. 4?

17 ? 5? ? 5? , <x ? ? . 得 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?
又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17? ? <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin (当 x ? ? ?, ) , 3 4 2 4 4 2 ? ? ?

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

? 4

2 ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 2 4

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 .

?

?

32.已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3?

解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3?
7

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? ? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?

? 函数 g ( x) 是偶函数.
33.设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:
?

(Ⅰ)

a 的值; c

(Ⅱ)cotB +cot C 的值. 解: (Ⅰ)由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A
c? ? = ( c) ?c ? 2? c?
2 2

1 3

1 3

1 2

7 2 c , 9



a 7 ? . c 3
cos B sin C ? cos C sin B sin B sin C sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C
= 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

(Ⅱ)解法一: cot B ? cot C

7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3
故 cot B ? cot C ?

14 3 . 9

解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有

7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) a 2 ? c 2 ? b2 9 3 cos B ? ? 2ac 7 2? c? c 3

8



5 2 7

.

故 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? 同理可得

25 3 ? . 28 2 7

7 2 1 2 2 c ? c ?c a 2 ? b2 ? c 2 9 1 9 cos C ? ? ?? , 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3
sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? 1 3 3 ? . 28 2 7

从而 cot B ? cot C ?

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9

34.已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函 数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由题意得 m? n ? 3sin A ? cos A ? 1,

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? . 6 6 2 ? ? ? 由 A 为锐角得 A ? ? , A ? . 6 6 3 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? , 2 3 . 2 3 1 因为 x∈R,所以 sin x ???1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) ?
2 2

1 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2

? ?

3? ?

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 35.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,
3 12 ?π 1? ? π? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , M ? , ?. 5 13 ? 3 2? ? 2?
9

求 f (? ? ? ) 的值. (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M (

? 1

? 5 ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 2 3 6 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2
0 ? ? ? ? ,?

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 3 2 3 2

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
36.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础知识, 考查综合应用三角函 数有关知识的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

? . 3

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ······· 4 分 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ·············· 6 分 ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ······················· 8 分 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? . ················· 12 分 2 3

10


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