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2.5等比数列的前n项和(第2课时)教学设计(一)


2.5 等比数列的前n项和(第2课时)

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教学目标
掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题 。 通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类讨论的 思想方法。 通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、 应用价值,发展数学的理性思维。

-3 -

教学重难点
重点:掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

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设计问题,创设情境
复习等比数列的相关内容:

1.等比数列的通项公式an

? a1q n?1

( q ? 1) ? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ( q ? 1) 2.等比数列的前n项和公式 ? 1? q ?

3.已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和. 可以证明若k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列。 那么等比数列是否有类似的性质?

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信息交流,揭示规律
1. “知三求二”

2.已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和. 可以证明若k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列。

S k ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a k ? a1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q k ?1 )
S 2 k ? S k ? a k ?1 ? a k ? 2 ? a k ?3 ? ? ? a 2 k ? a k ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q k ?1 )
S 3k ? S 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2 ? a 2 k ?3 ? ? ? a3k ? a 2 k ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q k ?1 )

S 3k ? S 2 k S 2 k ? S k ? ? qk S 2k ? S k Sk

-6 -

运用规律,解决问题
例1 在等比数列 ? a n

?

, 中,已知 a1 ? 2, S3 ? 26

求 q 和 Sn
解:因为 S3 ? 26
2 ( ? 26, a1 ? a 2 ? a3 ? 26, 所以 a 1 1? q ? q )

2 1 ? q ? q 2) ? 26, 即(

.

2 于是得 q ? q ? 12 ? 0,解得 q ? ?4, 或q ? 3

当 q ? ?4时,
当 q ? 3时,

2[1 ? (?4) n ] 2 2 Sn ? ? ? ? (?4) n 1 ? (?4) 5 5

2(1 ? 3 n ) Sn ? ? 3n ? 1 1? 3

-7 -

运用规律,解决问题
例2 在等比数列? a n 求 S 3n 解:由性质知: S 3n ? S 2 n , S 2 n ? S n , S n 成等比数列。 所以 解得

? 中,已知 S n ? 48, S 2 n ? 60

122 ? 48 ? (S3n ? 60)

S3n ? 63

.

-8 -

运用规律,解决问题
例 3 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*), 求数列{an}的通项公式,并判断是否为等比数列?

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运用规律,解决问题
解: 由 Sn=pn(n∈N*),有 a 1=S1=p,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1

? ? ? p≠ 0 ? 故a 2 = (p-1)p,因此数列{a n }成等比数列 ? ?p-1≠ 0 ? n ?1 (p ? 1)p p( p ? 1) ? n?2 ? ? p ( p ? 2 ) p ?
件的实数 P 是不存在的,所以数列 {an } 不是等比数列.

但满足 此条

-10-

变式训练,深化提高
等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列. (1)求 ?a n ? 的公比 (2)若 a1 ,

q;
1 a1 ? a1 (? ) 2 ? 3, 解得a1 ? 4. 2

? a3 ? 3 ,求 S n .

解:(1)由题意有 S1 ? S2 ? 2S3 , a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ), 又 a1 ? 0, q ? 0 故
1 a1 ? a1 (? ) 2 ? 3, 解得a1 ? 4. 2
1 4[1 ? (? ) n ] 8 1 2 Sn ? ? [1 ? (? ) n ]. 1 3 2 1 ? (? ) 2

1 q?? . 2

从而

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反思小结,观点提炼
1.“知三求二”

2. 数列{an}是等比数列,若Sn是其前n项和.
则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k ,…(k∈N*),成等比 数列。


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