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2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 Word版含答案


2017 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题: (本大题共 10 个小题,共 70 分,每小题 7 分. ) uu u r uur uuu r uuu r 1.已知向量 AP ? 1, 3 , PB ? ? 3,1 ,则 AP 和 AB 的夹角等于 ? ? ? ? . 2.已知集合 A ? x ? ax ? 1?? a ? x ? ? 0 ,且 2 ? A , 3 ? A ,则实数 a 的取值范围 是 . ? ? 3.已知复数 z ? cos 2? 2? 3 2 ? i sin ,其中 i 为虚数单位,则 z ? z ? 3 3 . 4.在平面直角坐标系 xOy 中,设 F 1 , F2 分别是双曲线 x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的 a 2 b2 左、右焦点, P 是双曲线右支上一点, M 是 PF2 的中点,且 OM ? PF2 , 3PF1 ? 4PF2 , 则双曲线的离心率为 . 5.定义区间 ? x1 , x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .若函数 y ? log2 x 的定义域为 ? a, b? ,值域为 ? 0, 2? , 则区间 ? a, b? 长度的最大值与最小值的差为 2 . 6.若关于 x 的二次方程 mx ? ? 2m ?1? x ? m ? 2 ? 0 ( m ? 0 )的两个互异的根都小于 1, 则实数 m 的取值范围是 . tn4 7. 若a x? s n i4 x s n i2 x s n i x s n i 3 ? ? ? , 则 c o s8 c o s4 x c o s4 xc o s2 x x c o s2 c o sx c o s x 3 x ? x . A保 8.棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 在空间直角坐标系 O ? xyz 中运动,其中顶点 持在 z 轴上,顶点 B1 保持在平面 xOy 上,则 OC 长度的最小值是 . 9.设数列 a1 , a2 , a3 ,L , a21 满足: an?1 ? an ? 1( n ? 1, 2,3,L , 20 ) , a1 , a7 , a21 成等比 数列.若 a1 ? 1 , a21 ? 9 ,则满足条件的不同数列的个数为 10.对于某些正整数 n ,分数 . . n?2 不是既约分数,则 n 的最小值是 3n 2 ? 7 二、解答题 (本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 11.设数列 ?an ? 满足: 1 ① a1 ? 1 ;② an ? 0 ;③ an ? 2 nan * ?1 ,n?N . nan?1 ? 1 求证: (1)数列 ?an ? 是递增数列; (2)对任意正整数 n , an ? 1 ? ?k. k ?1 n 1 x2 y 2 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 直线 l : x ? y ? 3a ? 0 . a b 若椭圆 E 的离心率为 3 ,原点 O 到直线 l 的距离为 3 2 . 2 (1)求椭圆 E 与直线 l 的方程; (2)若椭圆 E 上三点 P , A ? 0, b ? , B ? a,0? 到直线 l 的距离分别为 d1 , d2 , d3 . 求证: d1 , d2 , d3 可以是某三角形三条边的边长. 13.如图,圆 O 是四边形 ABC

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