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2017年全国高中数学联赛模拟试题15


2017 年全国高中数学联赛模拟试题 15 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
x x 2 1.已知函数 f ? x ? ? a a ? a ? 3

?

? ? a ? 0且a ? 1? 在区间 ?0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

2.在四棱锥 P ? ABCD 中,已知四边形 ABCD 是矩形,且 AB ? 4, BC ? 3, PA ? PB ? PC ? PD ? 5 , AC 与 BD 交于点 O , M 为边 PC 的中点,则 OM 与平面 PBC 所成角为 3.将 M ? ?1, 2,?,9? 中的任意三个互不相同的数作乘积,则所有这些乘积之和 S 等于 4.已知曲线 C 上任意一点到点 A ? 0,1? 与直线 x ? 4 的距离之和等于 5 ,对于给定的点 B ?b,0? ,在曲线上恰 有三对不同的点关于点 B 对称,则 b 的取值范围是
3

5.设方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的三个实根是 x1, x2 , x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? .则 ? x3 ? x2 ?? x3 ? x2 ? ? ? x3 ? x1 ? ? 6.已知正实数 x, y, z 满足 xyz ? xy ? yz ? zx ? x ? y ? z ? 3 ,则 u ? xyz ? x ? y ? z ? 的最大值为
10 7.设方程 x ? ?13 x ? 1? ? 0 的个复根分别为 x1 , x2 ,?, x10 ,则 10

1 1 1 ? ?? ? ? x1 x1 x2 x2 x10 x10

8.将编号为 1, 2,?,9 的几颗珍珠随机固定在一串项链上,假设每颗珍珠的距离相等,记项链上所有珍珠编号 之差的绝对值之和为 T ,则 T 取得最小值的放法的概率是 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.(本小题满分 16 分). 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , 证明: log

ak 3n 2 ? 5n ? n? N* ? . ? ? 2 k k ? 1 k ? 2 ? ?? ? 4 ? n ? 3n ? 2 ? k ?1
n

1 ? an
3

2

??

1 n36 ? 3 n k ?1 ak

n

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 且倾斜角为 ? a 2 b2 ???? 3 ???? 3808 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A, B .若 cos ? ? ,3F1 A ? 5 BF1 ,且 S△ABF2 ? 5 45 ⑴ 求椭圆 C 的方程; M 的轨迹方程. ⑵ 若 P, Q 是椭圆 C 的有准线上的两个动点,且 PQ ? 10 ,求 △F 1PQ 的内切圆圆心
10.(本小题满分 20 分)设椭圆 C :

11.(本小题满分 20 分)设 xi ? R , ?i ? 1,2,?, n, n ? 2? , m ? N , m ? 2 且
?

?x
i ?1

n

i

? T ,其中 k , a, m, T 为给定

的正实数,求 W ?

?
i ?1

n

m

kxi ? a 的值域

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 15 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) IE ? AB 在 Rt△ABC 中, 已知 CD 为斜边 AB 上的高, I , I1 , I 2 分别为 △ABC, △ADC, △BDC 的内心, 于点 E ,直线 AI 与 BC , BI 与 AC , MN 与 CD 分别交于点 N , M , Q . 求证:(1) QE ? I1I 2 且 QE ? I1I 2 ; (2) QE / / CI 且 QE ? CI .

二、 (本小题满分 40 分) 设 xi ?

?4,10??i ? 1,2,?, n? .试求 S ? ? x ? ix
i ?1 i

n

x

i ?1

?? xi 的最大值和最小值(规定 xn?1 ? x1 ).
i ?1

n

三、 (本小题满分 50 分) 11 个兴趣班,若干个学生参与(可重复参与) ,每个兴趣班人数相同(招满,人数未知) .已知任意九个 兴趣班包括了全体学生,而任意八个兴趣班没有包括全体学生.求学生总人数的最小值.

四、 (本小题满分 50 分) 对任意一个正整数 M ,设其十进制表达为 a1a2 ?ak . 证明:存在 n ? N ,使得 3 的十进制表达的前 k 位是 a1a2 ? ak
*

n

x x 2 1.已知函数 f ? x ? ? a a ? a ? 3

?

2017 年全国高中数学联赛模拟试题 15 第一试参考解答 (时间:8:00-9:20 满分:120)

? ? a ? 0且a ? 1? 在区间 ?0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

2.在四棱锥 P ? ABCD 中,已知四边形 ABCD 是矩形,且 AB ? 4, BC ? 3, PA ? PB ? PC ? PD ? 5 , AC 与 BD 交于点 O , M 为边 PC 的中点,则 OM 与平面 PBC 所成角为

3.将 M ? ?1, 2,?,9? 中的任意三个互不相同的数作乘积,则所有这些乘积之和 S 等于

4.已知曲线 C 上任意一点到点 A ? 0,1? 与直线 x ? 4 的距离 之和等于 5 ,对于给定的点 B ?b,0? ,在曲线上恰有三对不同的点关于点 B 对称,则 b 的取值范围是

5.设方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的三个实根是 x1, x2 , x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? .则 ? x3 ? x2 ?? x3 ? x2 ? ? ? x3 ? x1 ? ? 0
3

6.已知正实数 x, y, z 满足 xyz ? xy ? yz ? zx ? x ? y ? z ? 3 ,则 u ? xyz ? x ? y ? z ? 的最大值为

10 7.设方程 x ? ?13 x ? 1? ? 0 的个复根分别为 x1 , x2 ,?, x10 ,则 10

1 1 1 ? ?? ? ? x1 x1 x2 x2 x10 x10

1700

8.将编号为 1, 2,?,9 的几颗珍珠随机固定在一串项链上,假设每颗珍珠的距离相等,记项链上所有珍珠编号 之差的绝对值之和为 T ,则 T 取得最小值的放法的概率是

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.(本小题满分 16 分). 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , 证明: log

ak 3n 2 ? 5n ? n? N* ? . ? ? 2 4 ? n ? 3n ? 2 ? k ?1 k ? k ? 1?? k ? 2 ?
n

1 ? an
3

2

??

1 n36 ? 3 n k ?1 ak

n

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 且倾斜角为 ? a 2 b2 ???? 3 ???? 3808 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A, B .若 cos ? ? ,3F1 A ? 5 BF1 ,且 S△ABF2 ? 5 45 ⑴ 求椭圆 C 的方程; M 的轨迹方程. ⑵ 若 P, Q 是椭圆 C 的有准线上的两个动点,且 PQ ? 10 ,求 △F 1PQ 的内切圆圆心
10.(本小题满分 20 分)设椭圆 C :

11.(本小题满分 20 分)设 xi ? R? , ?i ? 1,2,?, n, n ? 2? , m ? N , m ? 2 且 的正实数,求 W ?

?x
i ?1

n

i

? T ,其中 k , a, m, T 为给定

?
i ?1

n

m

kxi ? a 的值域

2017 年全国高中数学联赛模拟试题 14 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) IE ? AB 在 Rt△ABC 中, 已知 CD 为斜边 AB 上的高, I , I1 , I 2 分别为 △ABC, △ADC, △BDC 的内心, 于点 E ,直线 AI 与 BC , BI 与 AC , MN 与 CD 分别交于点 N , M , Q . 求证:(1) QE ? I1I 2 且 QE ? I1I 2 ; (2) QE / / CI 且 QE ? CI .

二、 (本小题满分 40 分) 设 xi ?

?4,10??i ? 1,2,?, n? .试求 S ? ?
i ?1

n

n xi ?? xi 的最大值和最小值(规定 xn?1 ? x1 ). xi ? xi ?1 i ?1

三、 (本小题满分 50 分) 11 个兴趣班,若干个学生参与(可重复参与) ,每个兴趣班人数相同(招满,人数未知) .已知任意九个 兴趣班包括了全体学生,而任意八个兴趣班没有包括全体学生.求学生总人数的最小值.

四、 (本小题满分 50 分) 对任意一个正整数 M ,设其十进制表达为 a1a2 ?ak . 证明:存在 n ? N ,使得 3 的十进制表达的前 k 位是 a1a2 ? ak
*

n

证明:先证明一个引理.


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