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2013年安徽省高考数学试卷(理科)全解析


2013 年安徽省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求。 1.设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 ,则 z=( A.1+i B. 1﹣i C.﹣1+i 考点: 复数代数形式的混合运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 设出复数 z=A+bi(A,b∈R),代入 则复数 z 可求. 解答: 解:设 z=A+bi(A,b∈R),则 , 由 ,得(A+bi)(A﹣bi)i=2(A+bi), 2 2 整理得 2+(A +b )i=2A+2bi. 则 ,解得 . ). D.﹣1﹣i

后整理,利用复数相等的条件列关于 A,b 的方程组求解 A,b,

所以 z=1+i. 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当是不等于实部, 虚部等于虚部,是基础题. 2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果中( ).

A.

B.

C.

D.

3.在下列命题中,不是公理的是( ). A. 平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所以点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.“A≤0”是“函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ). A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条 D.既不充分也不必要条件

5.某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的 成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93,下列说法正确 的是( ). A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 6.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> },则 f(10 )>0 的解集为( A.{x|x<﹣1 或 x>﹣lg2} C.{x|x>﹣lg2} B.{x|<﹣1<x<﹣lg2} D.{x|x<﹣lg2} ).
x

).

7.在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 C.θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=1 B.θ=

(ρ∈R)和 ρcosθ=2

D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1

8.函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[A,b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,,…,xn,使得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的取值范围是( ? ?? ? x1 x2 xn

).

A.{3,4}

B.{2,3,4}

C.{3,4,5}

D.{2,3}

在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足 OA ? OB ? OA ? OB ? 2 ,则点集{P|

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?



? ? ? ? 1,λ、μ∈R}所表示的区域面积是(
A.
3 2

). C. D.
2

B.

10.若函数 f(x)=x +Ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x)) +2Af(x)+b=0 的不同实根个数是 ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡上

11.(5 分)(2013?安徽)若

的展开式中 x 的系数为 7,则实数 A= _________ .

4

12.(5 分)(2013?安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 A,b,c,若 b+c=2A,3sinA=5sinB,则角 C= _________ . 13.(5 分)(2013?安徽)已知直线 y=A 交抛物线 y=x 于 A,B 两点,若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 A 的取值范围为 _________ . 14. 分)(2013?安徽)如图, (5 互不相同的点 A1, 2, A 别在角 O 的两条边上, 所有 AnBn 相互平行, 且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等,设 OAn=An,若 A1=1,A2=2,则数列{An}的通项公式是 _________ .
2

15.(5 分)(2013?安徽)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是 _________ (写出所有正确命题的编号). ① 0<CQ< 时,S 为四边形 当 ② CQ= 时,S 为等腰梯形 当 ③ CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 当 ④ <CQ<1 时,S 为六边形 当 ⑤ CQ=1 时,S 的面积为 当 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16.(12 分)(2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. )(ω>0)的最小正周期为 π.

17.(12 分)(2013?安徽)设函数 f(x)=Ax﹣(1+A )x ,其中 A>0,区间 I={x|f (x)>0} (Ⅰ I 的长度(注:区间(A,β)的长度定义为 β﹣α); )求 (Ⅱ )给定常数 k∈(0,1),当 1﹣k≤A≤1+k 时,求 I 长度的最小值.

2

2

18.(12 分)(2013?安徽)设椭圆 E:

的焦点在 x 轴上

(1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q, 证明:当 A 变化时,点 P 在某定直线上. 19.(13 分)(2013?安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5°,AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

20.(13 分)(2013?安徽)设函数 fn(x)=﹣1+x+ (1)对每个 n∈N+,存在唯一的 xn ,满足 fn(xn)=0;

),证明:

(2)对于任意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满足 0<xn﹣xn+p< .

21.(13 分)(2013?安徽)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老 师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数),假设李老师和张老师 分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到,记该系收到李老师或张老师所 发活动通知信息的学生人数为 X. (I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m.

2013 年安徽省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求 1.(5 分)(2013?安徽)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i ,则 z=( ) D.﹣1﹣i

考点: 复数代数形式的混合运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 设出复数 z=A+bi(A,b∈R),代入 后整理,利用复数相等的条件列关于 A,b 的方程组求解 A,b, 则复数 z 可求. 解答: 解:设 z=A+bi(A,b∈R),则 , 由 ,得(A+bi)(A﹣bi)i=2(A+bi), 2 2 整理得 2+(A +b )i=2A+2bi. 则 ,解得 .

所以 z=1+i. 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当是不等于实部, 虚部等于虚部,是基础题. 2.(5 分)(2013?安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果中( )

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,分析可知:该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值,并输出. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值

∵S= + + =



故选 D. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果, 是算法这一模块最重要的题型, 其处理方法是: ① : 分析流程图(或 伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据 比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?② 建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学 模型③ 解模. 3.(5 分)(2013?安徽)在下列命题中,不是公理的是( ) A. 平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所以点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 规律型. 分析: 根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和 原理就是公理. 解答: 解:B,C,D 经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理; 而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理. 故选 A. 点评: 本题考查了公理的意义,比较简单. 4.(5 分)(2013?安徽)“A≤0”是”函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条 D.既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先看当“A≤0”时,去掉绝对值,结合二次函数的图象求出函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|是否在在区间(0,+∞)内单调 递增;再反过来当函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增时,A≤0 是否成立即可. 解答: 解:当“A≤0”时,x∈(0,+∞) f(x)=|(Ax﹣1)x|=﹣A(x﹣ )x,结合二次函数图象可知 函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增. 若 A>0,如取 A=1,则函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|=|(x﹣1)x|,当 x∈(0,+∞)时 f(x)= ,如图所示,它在区间(0,+∞)内有增有减,

从而得到函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增得出 A≤0. ”A≤0”是”函数 f(x)=|(Ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件. 故选 C.

点评: 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数的单调性及单调区间,单调性是函数的重要 性质,属于基础题. 5.(5 分)(2013?安徽)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在 某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88, 93,下列说法正确的是( ) A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义:平均数是指在一组数据中所 有数据之和再除以数据的个数;方差公式:s = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +?+(xn﹣ ) ]求解即可. 解答: 解:根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样. 五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90, 方差= [(86﹣90) +(94﹣90) +(88﹣90) +(92﹣90) +(90﹣90) ]=8. 五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91, 方差= [(88﹣91) +(93﹣91) +(93﹣91) +(88﹣91) +(93﹣91) ]=6. 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差. 故选 C. 点评: 本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法,要想求方差,必须先求出这组数据的平均数,然后再根据 方差公式求解.
x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6.(5 分)(2013?安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> },则 f(10 )>0 的解集为( A.{x|x<﹣1 或 x>﹣lg2} B.{x|<﹣1<x<﹣lg2} C.{x|x>﹣lg2} D.{x|x<﹣lg2}

)

考点: 其他不等式的解法;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: x x 由题意可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < ,由指数函数的单调性可得解集. 解答: 解:由题意可知 f(x)>0 的解集为{x|﹣1<x< },

故可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < , 由指数函数的值域为(0,+∞)一定有 10 >﹣1, 而 10 < 可化为 10 <
x x x

x

x

,即 10 <10

x

﹣lg2



由指数函数的单调性可知:x<﹣lg2 故选 D 点评: 本题考查一元二次不等式的解集,涉及对数函数的单调性及对数的运算,属中档题. 7.(5 分)(2013?安徽)在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A. θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 B. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=2 C. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1 )

考点: 专题: 分析: 解答:

简单曲线的极坐标方程;圆的切线方程. 直线与圆. 利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出. 解:如图所示,在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 是以(1,0)为圆心,1 为半径的圆. 故圆的两条切线方程分别为 故选 B. (ρ∈R),ρcosθ=2.

点评: 正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》 8.(5 分)(2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[A,b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,?,xn,使得 =?= ,则 n 的取值范围是( )

A.{3,4}

B.{2,3,4}

C.{3,4,5}

D.{2,3}

考点: 变化的快慢与变化率. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 解答:

由 解:∵

表示(x,f(x))点与原点连线的斜率,结合函数 y=f(x)的图象,数形结合分析可得答案. 表示(x,f(x))点与原点连线的斜率



=?=



则 n 可以是 2,如图所示:

n 可以是 3,如图所示:

n 可以是 4,如图所示:

但 n 不可能大于 4 故选 B 点评: 本题考查的知识点是斜率公式,正确理解 表示(x,f(x))点与原点连线的斜率是解答的关键.

9.(5 分)(2013?安徽)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足

=

=2,则点集

{P| A.

, B.

,λ、μ∈R}所表示的区域面积是( C.

) D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义;二元一次不等式(组)与平面区域;向量的模. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由两定点 A,B 满足 = =2,说明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等边三角形,设出两个

定点的坐标,再设出 P 点坐标,由平面向量基本定理,把 P 的坐标用 A,B 的坐标及 λ,μ 表示,把不等式 |λ|+|μ|≤1 去绝对值后可得线性约束条件,画出可行域可求点集 P 所表示区域的面积. 解答: 解:由两定点 A,B 满足 不妨设 A( 由 ),B( ,得: . = =2,说明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等边三角形.

).再设 P(x,y).

所以

,解得

① .

由|λ|+|μ|≤1.

所以① 等价于









可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域,

则区域面积为 . 故选 D. 点评: 本题考查了平面向量的基本定理及其意义,考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域,考查了数学转化 思想方法,解答此题的关键在于读懂题意,属中档题. 10.(5 分)(2013?安徽)若函数 f(x)=x +Ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x)) +2Af(x)+b=0 的不同实根个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考点: 函数在某点取得极值的条件;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 求导数 f′(x),由题意知 x1,x2 是方程 3x2+2Ax+b=0 的两根,从而关于 f(x)的方程 3(f(x))2+2Af(x)+b=0 有两个 根,作出草图,由图象可得答案. 解答: 解:f′(x)=3x2+2Ax+b,x1,x2 是方程 3x2+2Ax+b=0 的两根, 2 由 3(f(x)) +2Af(x)+b=0,则有两个 f(x)使等式成立,x1=f(x1),x2>x1=f(x1),
3 2 2

如下示意图象:

如图有三个交点, 故选 A. 点评: 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解,考查数形结合思想. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡上 11.(5 分)(2013?安徽)若 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 A=
4



考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用二项式定理的通项公式即可得出. 解答: 解:由通项公式 Tr+1=

=





的展开式中 x 的系数为 7,∴

4

,解得



故答案为 . 点评: 熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键.

12. 分)(2013?安徽)设△ABC 的内角 A, C 所对边的长分别为 A, c, b+c=2A, (5 B, b, 若 3sinA=5sinB, 则角 C=



考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理;正弦定理. 解三角形. 由 3sinA=5sinB,根据正弦定理,可得 3A=5b,再利用余弦定理,即可求得 C. 解:∵3sinA=5sinB,∴由正弦定理,可得 3A=5b, ∴A= ∵b+c=2A, ∴c=

∴cosC= ∵C∈(0,π) ∴C=

=﹣

故答案为: 点评: 本题考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 13.(5 分)(2013?安徽)已知直线 y=A 交抛物线 y=x 于 A,B 两点,若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 A 的取值范围为 [1,+∞) . 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,可知 A ,B 直角,可得 =0.即可得到 A 的取值范围. ,B , , .
2

,设 C(m,m ),由该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为

2

解答: 解:如图所示,可知 A 设 C(m,m ),
2

∵该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角, ∴
2

=
2 2



化为 m ﹣A+(m ﹣A) =0. 2 ∵m ,∴m =A﹣1≥0,解得 A≥1. ∴A 的取值范围为[1,+∞). 故答案为[1,+∞).

点评: 本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识,考查了推理能力和计算能力. 14. 分)(2013?安徽)如图, (5 互不相同的点 A1, 2, A 别在角 O 的两条边上, 所有 AnBn 相互平行, 且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等,设 OAn=An,若 A1=1,A2=2,则数列{An}的通项公式是 .

考点: 数列的应用;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 设 , 利用已知可得 A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线, 得到 = = , 梯形 A1B1B2A2

的面积=3S.由已知可得梯形 AnBnBn+1An+1 的面积=3S.利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方 可得: , , ,?,已知 , ,可得 ,?.因此数列{ }是一

个首项为 1,公差为 3 等差数列,即可得到 An. 解答: 解:设 ,∵OA1=A1=1,OA2=A2=2,A1B1∥A2B2,

∴A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线,∴ 故梯形 AnBnBn+1An+1 的面积=3S.

=

= ,∴梯形 A1B1B2A2 的面积=3S.

∵所有 AnBn 相互平行,∴所有△OAnBn(n∈N )都相似,∴ ∵ ∴数列{ ∴ ,∴ , ,?.

*





,?,

}是一个等差数列,其公差 d=3,故 . .

=1+(n﹣1)×3=3n﹣2.

因此数列{An}的通项公式是 故答案为 .

点评: 本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能, 考查了推理能力和计算能力. 15.(5 分)(2013?安徽)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是 ① ③ (写出所有正确命题的编号). ②⑤ ① 0<CQ< 时,S 为四边形 当 ② CQ= 时,S 为等腰梯形 当 ③ CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 当 ④ <CQ<1 时,S 为六边形 当 ⑤ CQ=1 时,S 的面积为 当 .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意作出满足条件的图形,由线面位置关系找出截面可判断选项的正误. 解答:

解:如图 当 CQ= 时,即 Q 为 CC1 中点,此时可得 PQ∥AD1,AP=QD1= 故可得截面 APQD1 为等腰梯形,故② 正确; 由上图当点 Q 向 C 移动时,满足 0<CQ< ,只需在 DD1 上取点 M 满足 AM∥PQ, 即可得截面为四边形 APQM,故① 正确; = ,

③ CQ= 时,如图, 当 延长 DD1 至 N,使 D1N= ,连接 AN 交 A1D1 于 S,连接 NQ 交 C1D1 于 R,连接 SR, 可证 AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得 C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得 C1R= ,故正确; ④ 可知当 <CQ<1 时,只需点 Q 上移即可,此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS,显然为五边形, 由③ 故错误;

⑤ CQ=1 时,Q 与 C1 重合,取 A1D1 的中点 F,连接 AF,可证 PC1∥AF,且 PC1=AF, 当 可知截面为 APC1F 为菱形,故其面积为 AC1?PF= = ,故正确.

故答案为:① ③ ②⑤ 点评: 本题考查命题真假的判断与应用,涉及正方体的截面问题,属中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16.(12 分)(2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. )(ω>0)的最小正周期为 π.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先利用和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的形式,通过函数的周期, 求实数 ω 的值; (2)由于 x 是[0, 上的单调性. 解答: 解:(1)f(x)=4cosωxsin(ωx+ = (sin2ωx+cos2ωx)+ =π,∴ω=1. )+ , ≤ , 时,f(x)是增函数, 时,f(x)是减函数, , ]上单调减. )=2 sinωx?cosωx+2 )+ , cos ωx
2

]范围内的角,得到 2x+

的范围,然后通过正弦函数的单调性求出 f(x)在区间[0,

]

=2sin(2ωx+

所以 T=

(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ 因为 0≤x≤ 当 当 ≤2x+ ≤2x+ ,所以 ≤ ≤

≤2x+

时,即 0≤x≤ 时,即 ≤x≤

所以 f(x)在区间[0,

]上单调增,在区间[

点评: 本题考查三角函数的化简求值,恒等关系的应用,注意三角函数值的变换,考查计算能力,常考题型. 17.(12 分)(2013?安徽)设函数 f(x)=Ax﹣(1+A )x ,其中 A>0,区间 I={x|f (x)>0} (Ⅰ I 的长度(注:区间(A,β)的长度定义为 β﹣α); )求 (Ⅱ )给定常数 k∈(0,1),当 1﹣k≤A≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 考点: 导数的运算;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ )解不等式 f(x)>0 可得区间 I,由区间长度定义可得 I 的长度; (Ⅱ )由(Ⅰ )构造函数 d(A)= ,利用导数可判断 d(A)的单调性,由单调性可判断 d(A)的最小值必定在 A=1
2 2

﹣k 或 A=1+k 处取得,通过作商比较可得答案.

2 2 解答: 解:(Ⅰ )因为方程 Ax﹣(1+A )x =0(A>0)有两个实根 x1=0,

>0,

故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2}, 因此区间 I=(0, ),区间长度为 ;

(Ⅱ d(A)= )设

,则 d′(A)=



令 d′(A)=0,得 A=1,由于 0<k<1, 故当 1﹣k≤A<1 时,d′(A)>0,d(A)单调递增;当 1<A≤1+k 时,d′(A)<0,d(A)单调递减, 因此当 1﹣k≤A≤1+k 时,d(A)的最小值必定在 A=1﹣k 或 A=1+k 处取得,



=

<1,故 d(1﹣k)<d(1+k),

因此当 A=1﹣k 时,d(A)在区间[1﹣k,1+k]上取得最小值

,即 I 长度的最小值为



点评: 本题考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能,考查分类讨论思想和综合运 用数学知识解决问题的能力.

18.(12 分)(2013?安徽)设椭圆 E: (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程;

的焦点在 x 轴上

(2)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q, 证明:当 A 变化时,点 P 在某定直线上. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出 ,解出即可; (2)设 P(x0,y0),F1(﹣c,0),F2(c,0),其中 .利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线 F1P

的斜率

=

, 直线 F2P 的方程为

. 即可得出 Q

. 得到直线 F1Q

的斜率

=

.利用 F1Q⊥F1P,可得

=

.化为

.与椭圆的方程联立即可解出点 P 的坐标. 解答: 解:(1)∵椭圆 E 的焦距为 1,∴ ,解得 .

故椭圆 E 的方程为

. .

(2)设 P(x0,y0),F1(﹣c,0),F2(c,0),其中

由题设可知:x0≠c.则直线 F1P 的斜率

=

,直线 F2P 的斜率

=



故直线 F2P 的方程为



令 x=0,解得

.即点 Q



因此直线 F1Q 的斜率

=



∵F1Q⊥F1P,∴ 化为

=





联立

,及 x0>0,y0>0,

解得

.



即点 P 在定直线 x+y=1 上. 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质,直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技 能,看出数形结合的思想、推理能力和计算能力. 19.(13 分)(2013?安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5°,AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用线面平行的判定与性质,可证平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)先作出 OP 与平面 PCD 所成的角, 再求出 OC, 求出 cos∠COF, OF, 利用二倍角公式, 即可求得 cos∠COD. 解答: (1)证明:设平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l,则 ∵AB∥CD,AB?平面 PCD,∴AB∥平面 PCD ∵AB?面 PAB,平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l,∴AB∥l ∵AB 在底面上,l 在底面外 ∴l 与底面平行; (2)解:设 CD 的中点为 F,连接 OF,PF 由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD ∵OP⊥底面,CD?底面,∴OP⊥CD

∵OP∩OF=O ∴CD⊥平面 OPF ∵CD?平面 PCD ∴平面 OPF⊥平面 PCD ∴直线 OP 在平面 PCD 上的射影为直线 PF ∴∠OPF 为 OP 与平面 PCD 所成的角 由题设,∠OPF=60° 设 OP=h,则 OF=OPtan∠OPF= ∵∠OCP=22.5°,∴ ∵tan45°= ∴tan22.5°= ∴OC= = =
2

=1

在 Rt△OCF 中,cos∠COF=

=

∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos ∠COF﹣1=17﹣12

点评: 本题考查线面平行的判定与性质,考查空间角,考查学生的计算能力,正确找出线面角是关键.

20.(13 分)(2013?安徽)设函数 fn(x)=﹣1+x+ (1)对每个 n∈N+,存在唯一的 xn ,满足 fn(xn)=0;

),证明:

(2)对于任意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满足 0<xn﹣xn+p< .

考点: 反证法与放缩法;函数的零点;导数的运算;数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 题干错误:n∈N+,应该是对每个 n∈N+,

(1)由题意可得 f′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数.求得 fn(1)>0,fn( )<0,再根据函数的零点的判 定定理,可得要证的结论成立. (2)由题意可得 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0,由 fn+1(x) 在(0,+∞)上单调递增,可得 xn+1<xn,故 xn﹣xn+p >0.用 fn(x)的解析式减去 fn+p (xn+p)的 解析式,变形可得 xn﹣xn+p= 上可得要证的结论成立. 解答: 证明:(1)对每个 n∈N+,当 x>0 时,由函数 fn(x)=﹣1+x+ ),可得 + ,再进行放大,并裂项求和,可得它小于 ,综

f′(x)=1+ +

+?

>0,故函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. + +?+ >0,即 fn(1)>0.

由于 f1(0)=0,当 n≥2 时,fn(1)=

又 fn( )=﹣1+ +[

+

+

+?+

]≤﹣ + ?

=﹣

+ ×

=﹣ ?

<0,

根据函数的零点的判定定理,可得存在唯一的 xn
+

,满足 fn(xn)=0.

(2)对于任意 p∈N ,由(1)中 xn 构成数列{xn},当 x>0 时,∵fn+1(x)=fn(x)+

>fn(x),

∴fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x) 在(0,+∞)上单调递增,可得 xn+1<xn,即 xn﹣xn+1>0,故数列{xn}为减数列,即对任意的 n、 p∈N+,xn﹣xn+p>0. 由于 fn(x)=﹣1+xn+ + +?+ =0 ① ,

fn+p (xn+p)=﹣1+xn+p+

+

+?+

+[

+

+?+

]② ,

用① 减去② 并移项,利用 0<xn+p≤1,可得 xn﹣xn+p= + ≤ ≤ < = < .

综上可得,对于任意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满足 0<xn﹣xn+p< . 点评: 本题主要考查函数的导数及应用,函数的零点的判定,等比数列求和以及用放缩法证明不等式,还考查推 理以及运算求解能力,属于难题. 21.(13 分)(2013?安徽)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老 师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数),假设李老师和张老师 分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到,记该系收到李老师或张老师所 发活动通知信息的学生人数为 X. (I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 考点: 概率的应用;古典概型及其概率计算公式;计数原理的应用. 专题: 综合题;分类讨论;转化思想;概率与统计. 分析: (I)由题设,两位老师发送信息是独立的,要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率 可先计算其对立事件,该生没有接到任一位老师发送的信息的概率,利用概率的性质求解; (II)由题意,要先研究随机变量 X 的取值范围,由于 k≤n 故要分两类 k=n 与 k<n 进行研究,k=n 时易求,k <n 时,要研究出同时接受到两位老师信息的人数,然后再研究事件所包含的基本事件数,表示出 P(X=m),

再根据其形式研究它取得最大值的整数 m 即可. 解答: 解:(I)因为事件 A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B:“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立 事件,所以 与 相互独立,由于 P(A)=P(B)= = ,故 P( )=P( )=1﹣ ,

因此学生甲收到活动信息的概率是 1﹣(1﹣ ) = (II)当 k=n 时,m 只能取 n,此时有 P(X=m)=P(X=n)=1 当 k<n 时,整数 m 满足 k≤m≤t,其中 t 是 2k 和 m 中的较小者,由于“李老师与张老师各自独立、随机地 发送活动信息给 k 位”所包含的基本事件总数为( ) ,当 X=m 时,同时收到两位老师所发信息的学生人数
2

2

为 2k﹣m,仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为 m﹣k,由乘法原理知:事件{X=m}所包含的基本 事件数为

P(X=M)=

=

当 k≤m<t 时,P(X=M)<P(X=M+1)?(m﹣k+1)2≤(n﹣m)(2k﹣m)?m≤2k﹣

假如 k≤2k﹣

<t 成立,则当(k+1) 能被 n+2 整除时,

2

k≤2k﹣ 最大值;

<2k+1﹣

<t, P(X=M)在 m=2k﹣ 故

和 m=2k+1﹣

处达到

当(k+1) 不能被 n+2 整除时, P(X=M)在 m=2k﹣[

2

]处达到最大值(注: [x]表示不超过 x 的最大整数),

下面证明 k≤2k﹣

<t

因为 1≤k<n,所以 2k﹣

﹣k=



=

≥0

而 2k﹣

﹣n=

<0,故 2k﹣

<n,显然 2k﹣

<2k

因此 k≤2k﹣

<t

点评: 本题主要考查古典概率模型,计数原理,分类讨论思想等基础知识和基本技能,考查抽象的思想,逻辑推 理能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析解决实际问题的能力,本题易因为审题时不明白事件的情 形而导致无法下手,或者因为分类不清未能正确分类导致失分

参与本试卷答题和审题的老师有:minqi5;孙佑中;刘长柏;sxs123;xintrl;lincy;wyz123;cAoqz;翔宇老师(排 名不分先后)
菁优网 2013 年 6 月 24 日


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