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九年级数学下册第二单元回顾与思考


九年级数学下册
二次函数回顾与思考
灵宝市一中 荀青松

二次函数
? 定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常

数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 ? 图象:是一条抛物线。 ? 图象的特点:(1)有开口方向,开口大小。 (2)有对称轴。(3)有顶点(最低点或最 高点)。 y y

o

x

o

x

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2
? 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2

的图象向上(或向下)平移得到: ? 当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k ? 当k<0时,抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系

? 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图

象向左(或向右)平移得到: ? 当h>0时,抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2 ? 当h<0时,抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系

? 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线

y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.

二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法
?

1.

2.

因为二次函数的图象是一条抛物线,它的基本特 征是:(1)有开口方向;(2)有对称轴;(3) 有顶点。所以,画二次函数的图象通常采用简化 了的描点法——五点法,其步骤是: 先根据函数解析式,求出顶点坐标和对称轴,在 直角坐标系中描出顶点m并用虚线画出对称轴; 求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点;当抛物线 与x轴有两个交点时,描出着两个交点A、B及抛 物线与 y轴的交点 C,再找到点C的对称点D。将这 五个点按从左到右的顺序连结起来,并向上或向 下延伸,就得到二次函数的图象。

二次函数y=ax2+bx+c的性质
? 当a﹥0时:抛物线开口向上。

4ac-b2 b b ? 对称轴是x=,顶点坐标是 (- 2a , 4a ) 2a b ? 当a﹥0时,在对称轴的左侧,即当x<时, 2a y随x的增大而减小; b 在对称轴的右侧,即当x ﹥ - 2a 时, y随x的 增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低 b 2 4ac-b y y最小值= 点,当x=时, 2a 4a
o

x

? 当a < 0时:抛物线开口向下。

2 4ac-b b b ? 对称轴是x=,顶点坐标是(- 2a , ) 2a 4a b ? 在对称轴的左侧,即当x <时,y随x的增 2a 大而增大; b 在对称轴的右侧,即当x ﹥ - 2a 时, y随x的 增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高 2 b 4ac-b 点, 当x=时, y最大值= 2a 4a y

o

x

二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系
? 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二 ? ? ? ?

次方程ax2+bx+c=0的根。 当Δ<0时,抛物线与x轴没有交点; 当Δ=0时,抛物线与x轴只有一个交点; 当Δ >0时,抛物线与x轴有两个交点,且其解析式可 写成两根式:y=a(x-x1)(x-x2). b 2 ? 4ac 抛物线与x轴的两个交点的距离x1-x2=
a

二次函数解析式的确定
? 1. 2.

3.
?

?
?

二次函数的解析式有三种形式: 一般式: y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 顶点式: y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 两根式:y= a(x-x1)(x-x2) (a, x1,, x2是常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点时,通常解析式设为一 般式,列出三元一次方程组求出待定系数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时, 通常设解析式为顶点式求出待定系数。 当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,通 常设解析式为两根式,求出待定系数。

规律小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线, 这条抛物线的形状(开口方向、开口大小) 是由二次项系数a决定的。 1. a相同 ?抛物线的形状相同; 2. a>0 ? 抛物线的开口向上; 上正下负 3. a <0 ? 抛物线的开口向下。
?

? 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的
1、C >0 ? 抛物线与y轴 相交于正半轴; 2、C =0

位置是由常数项c决定的。

?抛物线与y轴

上正下负

相交于原点; 3、 C<0 ?抛物线与y轴 相交于负半轴;

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是 由a和b联合决定的
? a与 b同号 ? 对称轴在y轴的左侧; ? b=0

? a与 b异号 ? 对称轴在y轴的右侧; 左同右异

对称轴就是y轴。 ?

抛物线与x轴交点的个数由b2-4ac的符 号决定
? b2-4ac>0 ? b2-4ac=0

? b2-4ac<0

?抛物线与x轴有2个交点; ? 抛物线与x轴有1个交点; ?抛物线与x轴没有交点。

二次函数y=ax2+bx+c的值恒大于0 (或恒小于0)的条件
? y恒大于0 ? y恒小于0

a>0
b2-4ac<0

a<0
b2-4ac<0

二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是

(? 顶点在x轴上 ? 顶点在 y轴上

b 2a

,

4ac-b2 4a

)

?

4ac-b2

=0 即b2-4ac=0 即b=0

4a b =0 ? 2a

结束寄语 ? 只有不断的思考,才会

有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.

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都不好了,“那个马屁精居然是我老大,话说你怎么知道我见到他了?”“你猜。”韩哲轩脸上依旧带着笑意,轻挑起帘子看看马车外, 然后光明正大的转移了话题。“我准备去醉影楼。”“蹭饭?”“我算是去凑热闹的,毕竟请客的人一番好意,不去太没礼貌了。”“哦, 请客的是谁?”慕容凌娢正在考虑要不要也去蹭饭。“我四哥和六哥。”韩哲轩露出了狡诈的笑,“你要不要去。”“哦……还是算了。” 脑补到韩皓泽的面瘫脸,慕容凌娢已经没有心情了。“这也算是‘入队仪式’啊,你不去等于把自己孤立了。”“哦……能不能给我讲讲 贵圈的混乱形式?”“那我就长话短说吧,我父皇有九个子女,我排第八。长公主韩怡廷和太子韩辉廷是皇后钱氏所生,钱皇后是功臣钱 将军的孙女,所以太子和长公主在前朝一直挺有势力。三皇子韩珺玖,这人怎么说呢,跟他的生母刘嫔一样是那种什么都不在乎的乐天派, 存在感较低。四皇子韩辰耀和五公主韩星耀是张贵妃所生,说起来还和张祁渊是表亲……张祁渊你见过,他们关系不错。”(从君行)慕容 凌娢:“笄筱玦你这段时间是不是脑子进水了?”笄筱玦:“没有啊,最多……进水银了。”慕容凌娢:“可是你这么随意的编出这么多 大众化的名字,良心不会痛吗?”笄筱玦:“词穷了而已,反正都是留给你以后升级用的,名字什么的无所谓啊。要是太复杂,我都记不 住了,那写错了更尴尬。”韩哲轩:“我还是不明白,为什么我身为男主,名字居然比女主的还要苏……”笄筱玦[小声]:“你的名字我 可是花了四分钟才决定下来……总比李狗蛋好啊……”慕容凌娢[幸灾乐祸&amp;拍桌狂笑]:“哈哈哈!才四分钟,真是够草率。”韩哲轩: “你以为你的名字笄筱玦很走心吗,除了你自己,剧组里的人都知道你的名字是笄筱玦在上历史课时走神随意YY出来的,除了重名的少, 寒碜到不能再寒碜。”笄筱玦:“表听他胡扯,他这是嫉妒……我可是在历史书上给你画好了人设图呢,绝对比韩哲轩的走心,而且实寓 意很深刻……你要信我啊~”韩哲轩:“简笔画的画风还叫走心……明明百蝶和茉莉的人设更细致吧。”慕容凌娢[画圈圈]:“我不听! 不听!绝对不听!”第084章 番外 2?1寂静的夜,百蝶独自坐在醉影楼后的一棵树上。枝叶已经十分浓密的树梢迎风轻微的摇曳,带起了 她纯白的衣衫,在风中飘动。“百蝶姐姐!”兴奋的声音打断了她的思绪。“我找你好久,原来你在这儿。”“什么事?上来说。”不用 想也知道,慕容凌。娢又脑洞大开了。“不用不用……”慕容凌娢仰望着百蝶,同时快速的摆手,她对自己的轻功可没那么自信。“我在 下面就好了……就是想问你点事儿……”“说吧。”百蝶再次扬起头,似乎


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