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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练11(含解析)新人教A版必修4

双基限时练(十一)
π ? π? 1.把函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数 y=sin?x+ ?的图象,则 f(x)为 3? 12 ? ( ) 7 ? ? A.sin?x+ π ? 12 ? ?

? 3 ? B.sin?x+ π ? ? 4 ?
5 ? ? D.sin?x- π ? ? 12 ?

? 5π ? C.sin?x+ ? 12 ? ?

π ? π? 解析 用 x- 代换选项中的 x,化简得到 y=sin?x+ ?的就是 f(x),代入选项 C, 3? 12 ?

? π 5π ? ? π? 有 f(x)=sin?x- + ?=sin?x+ ?. 3? ? 12 12 ? ?
答案 C π 2. 下列四个函数中, 同时具有: ①最小正周期是 π , ②图象关于 x= 对称的是( 3 )

x π A.y=sin( + ) 2 6
π C.y=sin(2x- ) 3 π 解析 当 x= 时, 3

π B.y=sin(2x+ ) 6 π D.y=sin(2x- ) 6

y=sin?2x- ?=sin?2× - ?=sin =1. 6 3 6

? ?

π?

?

? ?

π

π?

?

π 2

π? π 2π ? ∴函数 y=sin?2x- ?的图象关于 x= 对称,且周期 T= =π . 6? 3 2 ? 答案 D π? π? ? ? 3.要将 y=sin?2x+ ?的图象转化为某一个偶函数图象,只需将 y=sin?2x+ ?的图 4? 4? ? ? 象( ) π A.向左平移 个单位 4 π B.向右平移 个单位 4 π C.向左平移 个单位 8 π D.向右平移 个单位 8

1

解析

π? π ? ? π? π? ? 把 y = sin ?2x+ ? 的图象向左平移 个单位即得 y = sin ?2?x+ ?+ ? = 8? 4? 4? 8 ? ? ?

π? ? sin?2x+ ?=cos2x 的图象.因为 y=cos2x 为偶函数,所以符合题意. 2? ? 答案 C π? ? 4.函数 y=3sin?-x+ ?的相位和初相分别是( 6? ? π π A.-x+ , 6 6 5π 5π C.x+ , 6 6 )

π π B.x- ,- 6 6 5π π D.x+ , 6 6

π? π ?? ? ? ? 解析 因为 y=3sin?-x+ ?=3sin?π -?-x+ ?? 6? 6 ?? ? ? ? 5π 5π ? 5π ? =3sin?x+ ?,所以相位和初相分别是 x+ , . 6 6 6 ? ? 答案 C 5.如下图是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 在一个周期内的图象,那么这个函数的一个解 析式为( )

?x π ? A.y=2sin? + ?-1 ?2 6 ?
π? ? B.y=2sin?2x+ ?-1 6? ? π? ? C.y=3sin?2x+ ?-1 3? ? π? ? D.y=3sin?2x+ ?-1 6? ? 2- - 解析 由图象知 A= 2 =3,b=-1,

T=

5π ? π ? -?- ?=π . 6 ? 6? 2π

∴ω =

T

=2,故可设解析式为 y=3sin(2x+φ )-1,代入点?

?7π ,-4?,得-4= ? ? 12 ?

? 7π 3sin?2× +φ 12 ?

?-1, ? ?
2

即 sin?

?7π +φ ?=-1,∴φ +7π =2kπ -π (k∈Z). ? 6 2 ? 6 ?

π? π ? 令 k=1,解得 φ = ,所以 y=3sin?2x+ ?-1. 3? 3 ? 答案 C π 6.将函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象向左平移 个单位长度,若所得图象与原图象重 2 合,则 ω 的值不可能等于( A.4 C.8 ) B.6 D.12

? ? φ π ?? 解析 由题意可得,sin?ω ?x+ + ?? ? ? ω 2 ??
π ? π ? =sin?ω x+φ + ω ?,则 ω =2kπ ,k∈Z,所以 ω =4k,k∈Z,因为 6 不是 4 的 2 2 ? ? 整数倍,所以 ω 的值不可能是 6,故选 B. 答案 B 7.使函数 f(x)=3sin(2x+5θ )的图象关于 y 轴对称的 θ 为________. 解析 ∵函数 f(x)=3sin(2x+5θ )的图象关于 y 轴对称, ∴f(-x)=f(x)恒成立,∴3sin(-2x+5θ )=3sin(2x+5θ ), ∴sin(-2x+5θ )=sin(2x+5θ ),∴-2x+5θ =2x+5θ +2kπ (舍去)或-2x+5θ +2x+5θ =2kπ +π (k∈Z),即 10θ =2kπ +π ,故 θ = 答案



π + (k∈Z). 5 10



π + ,k∈Z 5 10

π 8.若函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R(其中 ω >0,|φ |< )的最小正周期为 π ,且 2

f(0)= 3,则 ω =________, φ =________.
π 解析 由原函数的最小正周期为 π , 得到 ω =2(ω >0). 又由 f(0)= 3且|φ |< 得到 2 π φ= . 3 答案 2 π 3

2π ? 5 ? 9 .函数 y =- sin ?4x+ ? 的图象与 x 轴的各个交点中,离原点最近的一点是 3 ? 2 ? __________.

3

解析

2π ? 5 ? 令- sin?4x+ ?=0. 3 ? 2 ?

2π kπ π 则 4x+ =kπ ,∴x= - ,k∈Z. 3 4 6 π 故取 k=1 时,x= . 12

?π ? ∴离原点最近的一点是? ,0?. ?12 ?
答案 ?

?π ,0? ? ?12 ?

π 10. 将函数 f(x)=sinω x(其中 ω >0) 的图象向右平移 个单位长度, 所得图象经过点 4

?3π ,0?,则 ω 的最小值是________. ? 4 ? ? ?
π ? ? π ?? 解析 把 f(x)=sinω x 的图象向右平移 个单位长度得:y=sin?ω ?x- ??. 4 ?? 4 ? ? 又所得图象过点? ∴sin?ω ?

?3π ,0?, ? ? 4 ?

? ?3π -π ??=0. ?? 4 ?? ? ? 4

ωπ ∴sin =0. 2 ∴ ωπ =kπ (k∈Z). 2

∴ω =2k(k∈Z). ∵ω >0,∴ω 的最小值为 2. 答案 2 π? π ? 11.设函数 f(x)=3sin?ω x+ ?,ω >0,且以 为最小正周期. 6 2 ? ? (1)求 f(x)的解析式;

? π π? (2)当 x∈?- , ?时,求 f(x)的最值. ? 12 6 ?
解 π 2π (1)∵f(x)的最小正周期为 ,∴ω = =4. 2 π 2

π? ? ∴f(x)=3sin?4x+ ?. 6? ?

? π π? (2)由 x∈?- , ?, ? 12 6 ?
4

π ? π 5π ? 得 4x+ ∈?- , ?, 6 ? 6 ? 6 π? ? 1 ? ? sin?4x+ ?∈?- ,1?. 6? ? 2 ? ? π? 1 ? ∴当 sin?4x+ ?=- , 6? 2 ? π 3 即 x=- 时,f(x)有最小值- , 12 2 π? π ? 当 sin?4x+ ?=1,即 x= 时,f(x)有最大值 3. 6? 12 ? π? π ?1 ?? 12.设函数 f(x)=sin? x+φ ??0<φ < ?,y=f(x)的图象的一条对称轴是直线 x= . 2? 4 ?2 ?? (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π (1)∵x= 是 y=f(x)图象的一条对称轴, 4

?1 π ? ∴sin? × +φ ?=±1. ?2 4 ?
∴ π π +φ =kπ + ,k∈Z. 8 2

π 3π ∵0<φ < ,∴φ = . 2 8 3π (2)由(1)知 φ = , 8

?1 3π ? ∴f(x)=sin? x+ ?. 8 ? ?2
由题意得 π 1 3π π 2kπ - ≤ x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 2 8 2 7 π 即 4kπ - π ≤x≤4kπ + ,k∈Z. 4 4 ∴函数 y=f(x)的单调增区间为

?4kπ -7π ,4kπ +π ?(k∈Z). ? 4 4? ? ?
13.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,x∈R),在一个周期内的图象如下图 所示,求直线 y= 3与函数 f(x)图象的所有交点的坐标.

5

解 7 2

由图象得 A=2,

T= π -?- ?=4π . 2
2π 1 ?1 ? 则 ω = = ,故 y=2sin? x+φ ?. T 2 ?2 ? 1 ? π? π 又 ×?- ?+φ =0,∴φ = . 2 ? 2? 4

? π? ? ?

?1 π ? ∴y=2sin? x+ ?. 4? ?2 ?1 π ? 由条件知 3=2sin? x+ ?, 4? ?2
1 π π 得 x+ =2kπ + (k∈Z), 2 4 3 1 π 2 或 x+ =2kπ + π (k∈Z). 2 4 3 π 5 ∴x=4kπ + (k∈Z),或 x=4kπ + π (k∈Z). 6 6 则所有交点的坐标为

?4kπ +π , 3?或?4kπ +5π , 3?(k∈Z). ? ? ? ? 6 6 ? ? ? ?

6


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