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数学:2.3.3《直线、平面垂直的判定和性质》课件(新人教A版必修2)


思 考 ?

一条直线 与一个平面垂直 的意义是什么?
A

C C1

α

B
B1

(一)直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线 l 和平面 α互相垂直. 记作l ⊥α
l叫做α的垂线,

α叫做 l的垂面,

l

l与α的交点P叫做垂足

α

P

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线 都垂直,则直线 l和平面 α互相垂直( × )

2.b是平面α内任一直线,a⊥α,则a⊥b

(√)

(性质定理)

容易发现,当且仅当折痕AD是BC边上的高 时,AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
A A

a
B D C

B

D

C

(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平 面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平 面α,你同意他的说法吗?

(2)折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即 AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论?

判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交

直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

m ?a? ? n ?a ? ? m ? n ? B? ? l ? a ? l?m ? l?n ? ?

l

m

n
B

α α

例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有一条

长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放
在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条 直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的
A

距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么?

a

C

B

D

解 : 如图, 旗杆PO ? 8m, 两绳长PA ? PB ? 10m OA ? OB ? 6m ? A, O, B三点不共线 ? A, O, B三点确定平面 a 又 ? PO ? OA ? PA , PO ? OB ? PB P ? OP ? OA, OP ? OB ? OA ? OB ? O ? OP ? a O B A
2 2 2 2 2 2

因此, 旗杆OP与地面垂直 .

a

例2、求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面
a b

a

m ,

n

a ??

b

a ?a

?b ? a

证明 : 在平面a内作两条相交直线 , n. m 因为直线a ? a , 根据直线与平面垂直的 定义知 a ? m, a ? n 又因为b ? a, 所以b ? a 所以 b ? m, b ? n 又m ? a , n ? a , m, n是两条相交直线 ,

1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定与性质 m ?a ? ? n ?a ? ? (1) m ? n ? B ? ? l ? a l?m ? ? ? l?n ?
(2)a ? a , b ? a ? a ? a

a (3) ?? b , a ? a

?

b ?a

练习题
1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等,则这条直线和平面的位置关系是( C )

A.平行

B.相交

C.平行或相交

2、在空间,下列命题 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行; (2)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (3)平行于同一平面的两条直线互相平行; (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是( B) A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。

思考1:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考2:一个平面的垂线有多少条? 这些直线彼此之间具有什么位置关 系?
a b

c

α

O

思考3:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由观察可知a//b,从理论上如 何证明这个结论?

思考4:根据上述分析,得到一个什 么结论?
定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行

上述定理通常叫做直线与平面垂直 的性质定理.用符号语言可表述 为: ? a , b ? a ? a // b.该定理有 a 什么功能作用?

知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究

思考1:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//a,则b与α 的位置关 系如何?为什么?
a
b

α

思考2:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//α ,则a与b的位置关 系如何?为什么?
b

a
l

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?为什么?
l
b α β a

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?为什么?

l α

β

理论迁移

例1 如图,已知 a ? ? ? l , CA ? a , 于点A,CB ? ? 于点B, ? a , a ? AB, a 求证:a // l .
β B α l A a

C

例2 如图,已知 a ? b, b ? a , a ? a . 求证: // a . a
β

b
l

A

a

α

B

例3 如图,已知 PA ? 矩形ABCD所 在平面,M、N分别是AB、PC的中点 求证: (1) MN ? CD; ? (2)若 ?PDA ? 45,求证:MN ? 面PCD
P E N A M B D

PA ?

C

三垂线定理
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
P

O

A

a

a

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果它和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直
P

O

A

a

a

平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线,那么这两个平面相互垂直。
已知: ? ?,AB ? a , ?? 求证: ? ? a
α A
D

β

B

C

证明: 设a ? ? ? CD, 则 由 AB? a知 , AB与 CD共 ? AB ? ? ? CD ? ? ?
? AB ? CD, 垂 足 为 点 B. 在 平 面 内 过 点 B作 直 线 ? CD, BE 则?ABE是 二 面 角 ? CD - ?的 平 面 角 . a 又 AB ? CD, 即 二 面 角 ? CD - ? 是 直 角 . a ?a ? ? ?
B

α A
D

β
E

面面垂直的判定方法:
1、定义法: 找二面角的平面角 2、判定定理: 要证两个平面垂直,只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线 说明该平面角是直角。

(线面垂直?面面垂直)

在上述的判定定理中,直线AB,平面a ,平面? 有以下关系:

AB ? ? ? ? ?a ? ? AB ? a ?
如果仍然选取其中两个条件作为前提,另一个条件 作为结论,构造如下命题:

a ?? ? ? ? AB ? ?。 AB ? a ?
请判断命题的真假。

该命题是假命题。

由a ? ?,平面a内的直线AB不一定能 与平面 垂直. ?
α A
D

α A β
B C D

β

B C

那么还需添加什么条件,才能使命题为真?

例2、已知直线PA垂直于?O所在的平面,A为垂足,AB为?O的直径,C是圆周上 异于A、B的一点。 1)求证:平面PAC?平面PBC; 2)若PA=AB=a,

6 AC ? a, 求 二 面 角 A PB ? C的 大 小 。 ? 3

平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那 么这两个平面相互垂直。
α A
D

B
C

β

已知:直线AB?平面?,直线AB?平面a。 求证:平面a ?平面?。证明:设a ? β=CD,则AB ? β=B , 在平面β内过B点作BE⊥CD。

AB ?β ? ? ? ? AB ? CD ?ABE是二面角 α CD ?β ? ?? CD ?β ? ? α BE ? CD A AB ?β ? ? ?ABE ? 90?
D

? ? AB ? BE BE ? β ? β

B C

? 二面角α? CD ?β 为直二面角 。

? ? ?

? 平面α? 平面β 。

平面与平面垂直的性质定理是:
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

α A
D

β

B
C


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