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函数的应用解答题训练(1)

函数的应用 解答题训练(1)

1.定义:对于函数 数”. (1)已知二次函数 求出满足

, 若在定义域内存在实数

, 满足

, 则称

为“局部奇函

, 试判断 的 的值;若不是,请说明理由;

是否为定义域

上的“局部奇函数”?若是,

(2)若

是定义在区间

上的“局部奇函数”,求实数

的取值范围;

(3)若

为定义域

上的“局部奇函数”,求实数

的取值范围.

2.. 定义在 R 上的函数

及二次函数

满足:



(1)求



的解析式;

(2 )



(3)设

, 讨论方程

的解的个数情况.

3. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点 径为 , 圆心角为 (弧度).

为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点

的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半 (1)求 关于 的函数关系式;

(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部分的装饰费用为 9 元/ 米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 , 求 关于 的函数关系式,并求出 为何值时, 取得最大值?

4. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用一个单位的水可洗掉蔬菜上

残留农药的

, 用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用 .

单位量的水清洗一次以后,

蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数

⑴试规定

的值,并解释其实际意义;

⑵试根据假定写出函数

应满足的条件和具有的性质;

⑶设

, 现有

单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成两份后清洗两次.试问

用那种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.

答案与解析
1. 答案:(1)是“局部奇函数”;(2) ;(3) .

解析:试题分析: (1 ) 利用局部奇函数的定义,建立方程关系,然后判断方程是否有解,有解则是“局部奇函数”, 若无解,则不是;(2) (3)都是利用“局部奇函数的定义”,建立方程关系,并将方程有解的问题转化成二次方 程根的分布问题,从而求出各小问参数的取值范围. 试题解析:(1)当 所以 为“局部奇函数” 时, ,所以方程 可化为 在 上有解 ,方程 即 ,有解

(2)法一:当 因为 的定义域为



,则

,设

,则



上为减函数,在

上为

增函数,所以当 法二:当 因为 的定义域为

时, 时, ,所以方程

,所以 可化为 即

,即





上有解



,则关于 的二次方程



上有解即可保证

为“局部奇函数”



,当方程



上只有一解时,须满足



,解之得

(舍去,因为此时方程在区间

有两解,不符合这种情况)或



当方程



上两个不等的实根时,须满足

参考答案

,综上可知 (3)当 ,可化为 令 从而 令 ①当 时, 则 ,

; 为定义域 上的“局部奇函数”时 ,

在 ,则

有解,即可保证

为“局部奇函数”



有解,即

,解得

②当 解得

时, ;综上可知



有解等价于 .

考点:1.新定义;2.函数与方程;3.一元二次方程根的分布问题. 2. 当 答案:(1) 时,方程有 个解;当 ,(2) ,(3)当 时,方程有 个解; 时,方程有 个解.

时,方程有 个解;当

解析:试题分析: (1 ) 求函数解析式有不同的方法.

满足

可利用方程组求解,

由 设

解得: ,再根据三个条件

,而 且

为二次函数,其解析式应用待定系数法求解可 ,列三个方程组解得

,(2)不等式恒成立问题常转化为最值问题,本题转化为左边最小值不小于右边最大值,右
参考答案

边函数无参数,先根据导数求出其最大值

,这样就转化为二次函数恒不小于零的问题,利用

实根分布可得到充要条件 ,实际有两层 个解,由

所以 ,由

(3)研究解的个数问题,需先研究函数图像,解方程 解得 ;再由 得两

得三个解,结合这些解的大小,可得到原方程解得情况.

试题解析:(1)

,①

即 由①②联立解得: 是二次函数, 且 由 . (2)设 , 依题意知:当 ,在 上单调递减, 6分 时, ,解得 4分 . .

② 2分 ,

,可设

,

在 解得:

上单调递增,

实数 的取值范围为

.

9分

参考答案

(3)设

,由(2)知,

的图象如图所示:

设 当 当 有 个解; ,即

,则 时, ,即 & 时, , 有两个解, 且 , 有 个解;

3.

答案:(1)

;(2)

,当

时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 满足的关系式,再由此关系式进一

解析:试题分析:(1)根据已知条件,将周长

米为等量关系可以建立

步得到函数解析式:

,即可解得

;(2)根据题意及(1)可得花坛的面

积为

,装饰总费用为

,因此可得函数解析式

,而要求

的最大值,即求函数

的最大值,可以考虑采用换元法令

,从而



再利用基本不等式,即可求得

的最大值:

,当且仅当



时取等

号,此时



,因此当

时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.

参考答案

试题解析:(1)扇环的圆心角为 ,则

,∴



3分

(2)由(1)可得花坛的面积为 装饰总费用为 , 8分



6分

∴花坛的面积与装饰总费用的



10 分



,则

,当且仅当



时取等号,

此时





12 分 13 分

答:当 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 考点:1.扇形公式的运用;2.利用基本不等式函数求极值. 4. 答案:⑴

表示没有用水洗时,蔬菜上的农药将保持原样;⑵函数

应满足的条件:



;具有的性质:在 量较少;当

上单调递减,且

;⑶当

时,清洗两次后残留的农药 时,清洗一次后残留的农药量较少. 应满足的条件:

时,两种清洗方法具有相同的效果;当

解析:试题分析:(1)

表示没有用水洗时,蔬菜上的农药将保持原样;⑵函数



;具有的性质:在

上单调递减,且

;⑶由

,若用

单位量的水,清洗一次,则清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为:

;若用

单位量的水,平均分成两份后清洗两次,则清洗后蔬菜上残留的农药量与本

次清洗前残留的农药量之比为: 的大小即可. 试题解析:(1) 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药将保持原样;⑵函数

,然后用比差法比较

应满足的条件:



参考答案

;具有的性质:在

上单调递减,且

;⑶设清洗前蔬菜上的农药量为 1,由

,若用

单位量的水,清洗一次,则清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药

量之比为:

;若用

单位量的水,平均分成两份后清洗两次,则清洗后蔬菜上残留的

农药量与本次清洗前残留的农药量之比为:

,然后用比差法

比较 当 当 当

的大小: 时, 时, 时,

. ,因此把 a 单位的水平均分成 2 份后,清洗两次,残留的农药量较少; ,因此两种清洗方法具有相同的效果; ,因此清洗一次后残留的农药量较少.

考点:1.函数的应用;2.比较大小:作差法;3.分类讨论.

参考答案


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