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《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第十篇 第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 ? ? x+ ?24 1.(2013· 蚌埠模拟)在? 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有( ? x? ? A.3 项 解析 Tr+1=Cr 24( B.4 项 x) 24-r? ). C.5 项 D.6 项 ? 1 ? ?r=Cr x12-5r,故当 r=0,6,12,18,24 时,幂指数为 24 ?3 ? 6 ? x? 整数,共 5 项. 答案 C 1? ? 2.设?5x- ?n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N= x? ? 240,则展开式中 x 的系数为 ( A.-150 ). B.150 C.300 D.-300 解析 由已知条件 4n-2n=240,解得 n=4, 1 ?r 3r 4-r?- ? ? =(-1)r54-rCr Tr+1=Cr 4(5x) 4x4- , 2 x? ? 3r 令 4- 2 =1,得 r=2,T3=150x. 答案 B ? a? 3.(2013· 兰州模拟)已知?x-x?8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则 ? ? 展开式中各项系数的和是 ( A.28 ). B.38 C.1 或 38 D.1 或 28 解析 由题意知 C4 (-a)4=1 120,解得 a=± 2,令 x=1,得展开式各项系数和 8· 为(1-a)8=1 或 38. 答案 C 1? ? 4.(2012· 天津)在?2x2- x?5 的二项展开式中,x 的系数为 ? ? ( A.10 40 1? 2 5-r? 5-r ?-x?r=Cr 解析 因为 Tr+1=Cr · (-1)rx10-3r,所以 10-3r=1,所以 r 5(2x ) 52 ? ? 3 5-3 =3,所以 x 的系数为 C5 2 (-1)3=-40. ). B.-10 C.40 D.- 答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1 ?18 ? ? 的展开式中含 x15 的项的系数为________(结果用数值表 5.(2011· 湖北)?x- ? 3 x? 示). 1 ?r 3 3 ?1?r 18-r?- ? ? =(-1)rCr 解析 Tr+1=Cr 18x 18?3? x18- r,令 18- r=15,解得 r=2. 2 2 ? ? ? 3 x? 2 ?1?2 ?3? =17. 所以所求系数为(-1)2· C18 ? ? 答案 17 6.(2012· 浙江)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+ x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3=________. 5-r 解析 f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为 Tr+1=Cr · (-1)r,T3=C2 5(1+x) 5(1+ x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10. 答案 10 三、解答题(共 25 分) ?3 1? 7.(12 分)已知二项式? x+ ?n 的展开式中各项的系数和为 256. x? ? (1)求 n;(2)求展开式中的常数项. 1 2 n n 解 (1)由题意,得 C0 n+Cn+Cn+…+Cn=256,即 2 =256,解得 n=8. 8-4r 8-4r 3 8-r ?1?r ? x? =Cr (2)该二项展开式中的第 r+1 项为 Tr+1=Cr · x 3 ,令 3 = 8( x) 8· ? ? 0,得 r=2,此时,常数项为 T3=C2 8=28. 8.(13 分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上 的两数之和. (1)试用组合数表示这个一般规律: (2)在数表中试求第 n 行(含第 n 行)之前所有数之和; (3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是 3∶4∶ 5,并证明你的结论. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 … 1 1 6 1 5 15 1 4 10 20 … 1 3 6 1 2 3 4 10 15 1 1 1 1 1 5 6 1 1 r r-1 解 (1)Cr n+1=Cn+Cn . (2)1+2+22+…+2n=2n+1-1. -1 r r+1 (3)设 Cr n ∶Cn∶Cn =3∶4∶5, -1 Cr 3 r 3 n 由 Cr =4,得 =4, n-r+1 n 即 3n-7r+3=0. ① 由 r+1 4 Cr 4 n = , r+1= ,得 5 Cn n-r 5 即 4n-9r-5=0. ② 解①②联立方程组,得 n=62,r=27, 27 28 即 C26 62∶C62∶C62=3∶4∶5. 亲爱的同学: 经过一番刻苦学习,大家一定跃跃欲试地 展 示了一下自己的身手吧!那今天就来小试牛刀 吧!注意哦:在答卷的过程中一要认真仔细 哦!不交头接耳,不东张西望!不紧张!养成 良好的答题习惯也要取得好成绩的关键! 祝取得好成绩!一次比一次有进步!

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