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必修一第一章集合与函数概念同步练习(含答案)


第一章
1.1.1 集合的含义与表示 一. 选择题:
1.下列对象不能组成集合的是( A.小于 100 的自然数 C.立方体内若干点的全体 2.下列关系正确的是( )

集合与函数概念同步练习

) B.大熊猫自然保护区 D.抛物线 y ? x 2 上所有的点

A.N 与 Z ? 里的元素都一样

B. {a, b, c}与{b, a, c} 为两个不同的集合 D.数集 Q 为无限集

C.由方程 x( x ? 1) 2 ? 0 的根构成的集合为 {0,1,1} 3.下列说法不正确的是( A. 0 ? N * B. 0.1 ? Z ) C. {(?1,1)} ) C. 0 ? N

D. 2 ? Q

?x ? 2 y ? 1 4.方程 ? 的解集是( ?2 x ? y ? ?3
A. {?1,1} B. (?1,1)

D. ? 1,1

二.填空题:
5.不大于 6 的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被 3 除余 2 的自然数的集合____________. 7.已知集合 M ? {0,2,3,7} ,由 M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合 M ? {x ? R ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0} 只含有一个元素,则实数 a ? ______,若 M 为空集, 可 a 的取值范围为_________.

三.解答题:
9.代数式 ( x 2 ? x ? 8) ?{x} ,求实数 x 的值。 10.设集合 A= {( x, y) y ? ?x ? 2, x, y ? N} ,试用列举法表示该集合。 11.已知 1?{x ? 2, x 2 ? 3x ? 3} 试求实数 x 的值。

1

1.1.2
一. 选择题:

集合的含义与表示

1.集合 ? 与 {0} 的关系,下列表达正确的是( A. ? = {0} B. ? ? {0} C. {0} ? ?

) D. ? ? {0} )

2.已知集合 A= {1,2,3} ,则下列可以作为 A 的子集的是( A. {1,4} B. {2,3} C. {2,4} ) C.7 D.8 ) D. N ? ? M D. {1,3,4}

3.集合 {a, b, c} 的非空真子集个数是( A.5 B.6

4.已知集合 M={正方形},N={菱形},则( A. M ? N B. M ? N C. M ? ? N

二.填空题
5.用适当的符号填空 ① 0 _____{ x x ? 2n, n ? Z}
a, b, c} ③ {a} _____{

② 1 _____{ 质数} ④ {a, b} _____{ x ( x ? a)(x ? b) ? 0}

⑤ {x x ? 4k ? 1, k ? N ? } ______{ x x ? 2k ? 1, k ? N ? } 6.写出集合 {x x 2 ? 1} 的所有子集_______________________ 7.设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 6}, B ? {x x ? a} ,且满足 A ? ? B, 则实数 a 的取值范围是_________

三.解答题
8.已知集合 B 满足 {1,2} ? ? B ? {1,2,3,4,5} ,试写出所有这样的集合 9.已知 A ? {x x ? 5} , B ? {x 3 ? x} ,试判断 A 与 B 的关系 10.已知 A= {1, a ? 2}, B ? {1,4,3a} ,且 A ? B , 求 a 的值

2

1.1.3 集合的基本运算(一)
一.选择题
1.已知集合 A= {1,2,3,4} , B ? {1,4,6} ,则 A ? B ? ( A. {1,2,4} B. {1,2,3,4,6} C. {1,4} D. {1,3,4} ) )

2.设 A= {x x ? ?2} , B ? {x ? 1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( A.R B. {x x ? 2} C. {x x ? ?1} D. {x x ? ?2}

3.设 A ? { 等腰三角形} ,B={等边三角形},C={直角三角形}, ( A ? B) ? C ? ( A.{等腰三角形} B.{直角三角形} C. ? D.{等腰直角三角形} )



4.已知集合 M ? {x ? Z 0 ? x ? 9} , N ? {x x ? 2n, n ? N ? } ,则 M ? N ? ( A. ?2,4,6? B. ?2,4,6,8? C. ?2,3,4,5,6,7? D. ? 1,2,3,4,5,6,7,8?

二.填空题
5.{偶数} ? {奇数}=__________. 6.已知集合 A ? {x ? 1 ? x ? 3} , B ? {x ? 3 ? x ? 1} ,则 A ? B ? __________. 7.若集合 A ? B ? A ,则 A ? B ? ___________. 8.已知集合 A ? {x ? 3 ? x ? 3} , B ? {x x ? 2} ,则 A ? B ? ___________.

三.解答题
9.集合 A ? {( x, y) 3x ? 2 y ? 5, x, y ? R} B ? {( x, y) 2x ? 3 y ? ?1, x, y ? R},求 10.已知集合 A ? {1,3, a} , B ? {1, a 2 ? a ? 1},且 A ? B ? A ,求 a 的值 11.已知集合 A ? {x ? R 2 x 2 ? ax ? b ? 0}, B ? {x ? R 6 x 2 ? (a ? 2) x ? 5 ? b ? 0}
1 且 A ? B ? { } ,求 A ? B 2
A? B

3

1.1.3 集合的基本运算(二)
一.选择题
1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? 1} ,则 C u M 为( A. {x x ? 1} B. {x x ? 1} C. {x x ? 1} )

D. {x x ? 1} )

2.设全集 U ? {2,3,4} , A ? { a ? 3 ,2}, Cu A ? {3} ,则 a 的值是( A.7 B. ? 1 C. 7或 ? 1 D. 1或 ? 7 )

3.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ? 2 ? x ? 3} ,则 Cu A =( A. {x x ? ?2或x ? 3} B. {x x ? ?2或x ? 3} C. {x x ? ?2或x ? 3}

D. {x x ? ?2或x ? 3}

4.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} ,集合 A ? {3,4,5} , B ? {1,3,6},那么集合 C={2,7,8}可 以表示为( A. Cu B B. A ? B ) C. Cu A ? Cu B D. Cu A ? Cu B

二.填空题
5.设全集 U ? R , A ? {x 2 ? x ? 6} , B ? {x x ? 4} ,则 A ? B =__, A ? Cu B ? __ ,

Cu A ? B ? __ .
6.全集 U ? {三角形}, A ? {直角三角形},则 Cu A =____________. 7.设全集 U ? {0,1,2,3,4} A ? {0,1,2,3} , B ? {2,3,4} ,则 Cu A ? B ? ____ 8.已知全集 U ? {0,1,2}, 且 Cu A ? {2} ,则 A 的真子集共有___个.

三.解答题
9.设全集 U ? R , 集合 M ? {x ? 3 ? x ? 4, x ? R} , N ? {x ? 1 ? x ? 5, x ? R} ,求① M ? N ②

Cu M ? Cu N
10.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A ? B ? {2} ,

Cu A ? Cu B ? {1,9} , Cu A ? B ? {4,6,8} ,求 A, B
2 11.已知 U ? {2,4, x ? x ? 1} , B ? {2, x ? 1} , Cu B ? {7} ,求 x 的值

4

1.2.1 一.选择题
1.函数 f ( x) ? 3x ? 1 的定义域为(
1 A. (?? ,? ) 3 1 B. (? ,?? ) 3

函数的概念(一)


1 C. [? ,?? ) 3 1 D. ( ?? ,? ] 3

2.已知函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q 满足 f (1) ? f (2) ? 0 ,则 f (?1) 的值为( A.5 B. ? 5 C.6 D. ? 6 )
x2 x



3.下列函数中 f ( x)与g ( x) 表示同一函数的是( A. f ( x) ? x 0与g ( x) ? 1 C. f ( x) ? x 2与g ( x) ? ( x ? 1) 2

B. f ( x) ? x与g ( x) ?

D. f ( x) ? x与g ( x) ? 3 x 3 )
y

4.下列各图象中,哪一个不可能为 y ? f ( x) 的图象(
y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

(A)

(B)

(C)

(D)

二 .

填空题
5.已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 f ( 2 ) ? ______________. 6.已知 f ( x ? 1) ? 2x 2 ? 1 ,则 f ( x) ? ______________. 7.已知 f ( x) 的定义域为 [ 2,4], 则 f (3x ? 2) 的定义域为_______________. 8.函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的定义域为______________.

三.解答题

5

?2 x ? 1( x ? 0) 9.设 f ( x) ? ? 2 ,求 f (?2) 和 f ( 3) ?2 x ? 2( x ? 0)
10.求下列函数的定义域 (1) f ( x) ?
1 2x ? 3

(2) g ( x) ? ( x ? 10) 0 ? 1 ? x

11.已知 f ( x) 为一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x)

6

1.2.1 一、 选择题

函数的概念(二)

1.函数 y ? x 2 ? 2 x 的定义域为 {0,1,2,3} ,其值域为( A. {?1,0,3} 2.函数 f ( x) ? A. (0,1) B. {0,1,2,3} C. {y ? 1 ? y ? 3} )



D. {y 0 ? y ? 3}

1 ( x ? R) 的值域是( 1 ? x2

B. (0,1] )

C. [0,1)

D. [0,1]

3.下列命题正确的有(

①函数是从其定义域到值域的映射 ② f ( x) ?

x ? 3 ? 2 ? x 是函数

③函数 y ? 2 x( x ? N ) 的图象是一条直线 ④ f ( x) ? A.1 个 4.函数 y ?
( 2 x ? 3) 0 x ?x

x2 与g ( x) ? x 是同一函数 x

B.2 个 的定义域为( B. ?x x ? 0?

C.3 个 ) C. ?x x ? 0?

D.4 个

? 3? A. ? x x ? 0且x ? ? ? 2? ?

? 3? D. ? x ? R x ? 0且x ? ? ? 2? ?

二.填空题
? x ? 2, x ? ?1 ? 5.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2 ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值为__________. ?2 x , x ? 2 ?

6.设函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 3 ,则 f (a) ? f (?a) 等于____________. 7.设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ,则 f [ f (1)] ? ____________. 8.函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? ?1,3?的值域是________________.

三.解答题
7

9.求函数 y ? 2 ? 4 x ? x 2 的值域 10.已知函数 y ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ,求 x 2008 ? y 2007 的值 11.已知函数 f ( x) ?
x ( a . b为常数, 且a ? 0 )满足 f (2) ? 1 , f ( x) ? x 有唯一解,求 ax ? b

函数 y ? f ( x) 的解析式和 f [ f (?3)] 的值.

8

1.2.2 函数表示法(一) 一、 选择题
1.设集合 A ? ?a, b, c?, 集合 B=R, 以下对应关系中, 一定能成建立 A 到 B 的映射的是 ( A.对 A 中的数开 C.对 A 中的数取算术平方 B.对 A 中的数取倒数 D.对 A 中的数开立方 )

2.某人从甲村去乙村,一开始沿公路乘车,后来沿小路步行,图中横轴表示走的时间,纵 轴表示某人与乙村的距离,则较符合该人走法的图是(
d d0 d d0


d d0

d d0

0 A

t0

t

0 B

t0

t

0 C

t0

t

0 D

t0

t
3. 已 知 函

数 f (2 x ? 1) ? 3x ? 2 ,且 f (a) ? 2 ,则 a 的值等于( A.8 B.1 C.5 D. ? 1



1 x 4.若 f ( ) ? ,则当 x ? 0且x ? 1 时, f ( x) 等于( ) x 1? x 1 1 1 1 A. B. C. D. ? 1 x x ?1 1? x x

二.填空题
5.若 f ?g ( x)? ? 6 x ? 3 ,且 g ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) ? ______________. 6.二次函数的图象如图所示,则此函数的解析式为___________.
x 1 0 1 2 y

? x, x ? 0 7.已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f (?2) ? ________, f (4) =_______ ?x , x ? 0
9

8. 集 合 B ? {?1,3,5} , f ( x) ? 2 x ? 1 是 A 到 B 的 函 数 , 则 集 合 A 可 以 表 示 为 ____________________

三.解答题
9.已知函数 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式 10.等腰三角形的周长为 24,试写出底边长 y 关于腰长 x 的函数关系式,并画出它的图象 11.作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 3 的图象,并求出相应的函数值域

10

1.2.2 函数表示法(二) 一、 选择题
1.已知集合 A ? ?x 0 ? x ? 4? , B ? ?y 0 ? y ? 2?,按对应关系 f ,不能成为从 A 至 B 的映射 的一个是( A. f : x ? y ? C. f : x ? y ?
1 x 2

) B. f : x ? y ? x ? 2 D. f : x ? y ? x ? 2 )

x

2.如图,函数 y ? x ? 1 的图象是(
y -1 o x

y -1 o x

A y o 1 C x y

B

1 -1o

x

D

1 3.设 A ? {0,1,2,4}, B ? { ,0,1,2,6,8} ,下列对应关系能构成 A 到 B 的映射的是( 2



A. f : x ? x 3 ? 1

B. f : x ? ( x ? 1) 2

C. f : x ? 2 x?1
? 5 ? f ? f ( )? =( ? 2 ?

D. f : x ? 2 x )

? x ? 1, x ? 1 4.已知函数 f ( x) ? ? ,则 ?? x ? 3, x ? 1
A.
1 2

B.

3 2

C.

5 2

D.

9 2

二.填空题

11

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? 1 3 ? 5.设函数 f ( x) ? ?? x,0 ? x ? 2 ,则 f ( ? ) 的值为______, f ( x) 的定义域为_____. 4 ? 2 ? ?3, x ? 2 y 6. f ( x) 的图象如图,则 f ( x) =____________.
1 -1 o
o

3 x(1 ? x), 则 f (?1.5) 的值 )? 7.对于任意 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x? 2 是____________.

2

x

8. f ( x ? 1) ? 3x ? 2 ,且 f (a) ? 2 ,则 a 的值等于____________.

三.解答题
9.作出下列函数的图象 (1) y ? 1 ? x , ( x ? Z且 x ? 2) (2) y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 , (0 ? x ? 3)

? x ? 4, x ? 4 10.已知函数 f ( x) ? ? ,求 f (?1) 的值 ? f (3 ? x), x ? 4
11.求下列函数的解析式 (1)已知 f ( x) 是二次函数,且 f (0) ? 2, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,求 f ( x) (2)已知 3 f ( x) ? f (? x) ? 5x ,求 f ( x)

12

1.3.1 函数单调性与最大(小)值(一) 一.选择题
1.若 ( a, b) 是函数 y ? f ( x) 的单调递增区间, x1 , x2 ? ?a, b? ,且 x1 ? x2 , ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) B.函数 y ? x 2 在 R 上是增函数 D. y ? ) B.在 (?1,??) 内单调递减 D.在 (1,??) 内单调递减 ) D. y ?
2 x 1 在 (??,0) 上为减函数 x



C. f ( x1 ) ? f ( x2 )

D.以上都不正确

2.下列结论正确的是( A.函数 y ? ? x 在 R 上是增函数 C. y ? x 在定义域内为减函数 3.函数 y ? 1 ?
1 ( x ?1

A.在 (?1,??) 内单调递增 C.在 (1,??) 内单调递增

4.下列函数在区间 (0,??) 上为单调增函数的是( A. y ? 1 ? 2 x B. y ? x 2 ? 2 x C. y ? ? x 2

二.填空题
3 5.已知函数 f ( x) 在 (0,??) 上为减函数,那么 f (a 2 ? a ? 1) 与 f ( ) 的大小关系是________. 4

6.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则该函数的单调递减区间 为____________. y

?2

o

1

2

x

3 7.已知 f ( x) ? ax2 ? 3ax ? a 2 ? 1 (a ? 0) ,则 f (3), f (?3), f ( ) 从小到大的顺序为______. 2

8. 函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 的单调递增区间为 _______, 当 x ? _______ 时 , y 有最 ______ 值为 ____.

三.解答题
9.已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上为减函数,且 f (1 ? a) ? f (a 2 ? 1) 求 a 的取值范围。 10.证明 f ( x) ? x ?
1 在 (1,??) 上为增函数 x
13

11.证明 f ( x) ? 2x 2 ? 4 x ? 3 , (1)若 x ? [?1,4] ,求 f ( x) 的单调区间 (2 ) 若 x ? [0,5] ,求函数的最大值和最小值

14

1.3.1 函数单调性与最大(小)值(二) 一.选择题
1.函数 y ? x ? 1 在 ?? 2,0? 上的最大值为( A.0 B.1 C.2 ) D.3 )

?2 x ? 6, x ? ?1,2? 2.函数 f ( x) ? ? 则 f ( x) 的最大值,最小值为( ?x ? 7, x ? ?? 1,1?
A.10,6 B.10,8 C.8,6 ) D.以上都不对

3.下列命题正确的是(

A.函数 y ? 3x ? 4 的最大值为 4 B.函数 y ? ?( x ? a) 2 ? b 的最大值为 ? b C.函数 y ?
6 的最小值为 0 x
2

(a, b ? R)

4ac ? b 2 (a ? 0) D.函数 y ? ax ? bx ? c 的最大值为 4a

4.函数 y ? f ( x) 在 R 上单调递增,且 f (m 2 ) ? f (?m) 则实数 m 的取值范围是( A. ?? ?,?1? B. ?0,??? C. ?? 1,0? D. ?? ?,?1? ? ?0,???



二.填空题
5.已知 y ? ax ? 1在 ?1,3?上的最小值为 4,则 a =____________. 6.函数 y ? ?
2 , x ? ?? 4,?1? 则函数 y 的最大值为_______,最小值为______ x

7.函数 f ( x) ? 9 ? ax2 (a ? 0) 在 ?0,3? 上的最大值为___________. 8. 已知 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 x ? ?1,5? 上的最小值为 f (5) ,则 a 的取值范围是 ________.

三.解答题
9.求 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 x ? ?? 1,1? 上的值域 10.判断函数 y ?
2x ? 1 , x ? ?3,5? 的单调性,并求出最值 x ?1
15

11.已知 f ( x) 是定义在 ?0. ? ?? 上的减函数,且满足 f(1/3)=1 f ?xy? ? f ( x) ? f ( y) ①求 f (1) ②若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围

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1.3.2 奇偶性 一、 选择题
1.奇函数 y ? f ( x) , x ? R 的图象必定经过点( A. ?a, f (?a)? B. ?? a, f (a)? C. ?? a,? f (a)? )
1 ? ? D. ? a, f ( ) ? a ? ?

1 ? x2 2.已知 f ( x) ? ( x
A.是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数

) B.是奇函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 )

3.对定义域为 R 的任意奇函数 f ( x) 均有( A. f ( x) ? f (? x) ? 0 C. f ( x) ? f (? x) ? 0

B. f ( x) ? f (? x) ? 0 D. f ( x) ? f (? x) ? 0 )

4.已知函数 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) 等于( A.-26 B.-18 C.-10 D.10

二.填空题
5.已知 f ( x) 为偶函数, f (?3) ? 1 ,则 f (3) ? ________ 6.若函数 f ( x) ? kx ? b 为奇函数,则 b ? _________ 7.若 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3m ? 3 为偶函数,则实数 m 的值为_________
1 7 8.已知偶函数 y ? f ( x) 在 (0,4) 上为增函数,则 f (?1), f ( ), f (? ) 的大小关系是(用小于 2 2

号连接)______

三.解答题
9.判断下列函数的奇偶性 ① f ( x) ? x 4 ? 2x 2 ? 3, x ? ?? 4,4? ② f ( x) ? x ?
17

1 x

10.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 为偶函数,其定义域为 ?a ? 1,2a? ,求 a, b 值

11. 已 知 f ( x) 为 偶 函 数 , g ( x) 为 奇 函 数 , 且 在 公 共 定 义 域 ?x x ? ?1? 上 满 足
f ( x) ? g ( x) ? 1 ,求 f ( x) 和 g ( x) 的表达式 x ?1

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第一章集合与函数单元练习 一、 选择题
1.下列不能构成集合的是( A.某校高一(4)班的学生 C.某校高一(4)班的学生 ) B.某校高一(4)班的男学生 D.某校高一(4)班喜欢学习数学的学生 ) D.R

2.函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域是( A. ?? 1,??? B. ?? ?,?1? C. ?0,???

3.已知集合 P ? {x 0 ? x ? 4} , Q ? {y 0 ? y ? 2} ,下列从 P 到 Q 的对应关系 f 不是映射的 是( A. f : x ? y ? )
1 x 3 1 D. f : x ? y ? x 2 8

1 x 2 2 C. f : x ? y ? x 3

B. f : x ? y ?

? x 2 , x ? ?? 1,1? 4.已知 f ( x) ? ? ,则 f (2) ? ( ? x, x ? ?1,6?
A.4 B.2 C.0



D.无法确定 )

5.点集 M ? {( x, y) xy ? 0} 是指( A.第一.三象限的点集 C.第二.四象限的点集

B.不在第一.三象限的点集 D.不在第二.四象限的点集 )
x2 x

6.下列各组函数 f ( x), g ( x) 表示同一函数的是( A. f ( x) ? x ? 2, g ( x) ? ( x ? 2 ) 2

B. f ( x) ? x, g ( x) ?

C. f ( x) ? ( x ) 2 , g ( x) ? 7.函数 f ( x ) ? A. {y y ? 2}

x2

? x, x ? 0 D. f ( x) ? x , g ( x) ? ? ?? x, x ? 0
) C. {y y ? 3}
1 D. { y y ? } 3

3x ? 1 的值域是( x?2

1 B. { y y ? ? } 3

8. 定义在 R 上的偶函数在 ?0,7? 上是增函数,在 ?7,??? 上是减函数且 f (7) ? 6 ,则 f ( x)
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A.在 ?? 7,0? 上是增函数,且最大值为 6 B.在 ?? 7,0? 上是减函数,且最大值为 6 C.在 ?? 7,0? 上是增函数,且最小值为 6 D.在 ?? 7,0? 上是减函数,且最小值为 6

二.填空题
9.已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 3,则 f (2) ? ________ 10.设集合 A ? {x ? 1 ? x ? 2} , B ? {x x ? a},若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围是_______ 11.已知 f ( x) 是奇函数,且 f (3) ? ?1, 则 f (?3) ? ________ 12.函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 的单调递增区间是___,当 x =___时,有最__值为____.

三.解答题
13.已知集合 A ? {1,3, a} , B ? {1, a 2 ? a ? 1} ,若 B ? ? A ,求 a 的值 14.求下列函数的定义域 (1) f ( x) ?
x?2 x ?1

(2) f ( x) ?

( x ? 1) 0 x ?x

15.已知函数 f ( x) ? ?2 x ? m ,其中 m 为常数 (1)证明函数 f ( x) 在 R 上为减函数 (2)当函数 f ( x) 为奇函数时,求实数 m 的值 16.已知函数 f ( x) 是正比例函数,函数 g ( x) 是反比例函数,且 (1)求函数 f ( x)和g ( x) (2)判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性
f (1) ? 1 , g (1) ? 2

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第一章集合与函数概念参考答案 1.1.1 集合的含义与表示 一、选择题
1、C,2、D,3、A,4、C,

二、填空题
5、{0、1、2、3、4、5},6、 ?X X ? 3n ? 2, n ? N 7、{0、6、14、21},8、0 或 1
a ? 1,

?

三、解答题
9、解:由题意得 x 2 ? x ? 8 ? x ,解得 x1 ? 4, x2 ? ?2 ,由元素互异得都符合题意。

?0,2?, ?1,1?, ?2,0? 10、 解: 因为 x, y ? N , 所以 x ? 0 ,y ? 2 ; x ? 1, y ? 1; x ? 2, y ? 0 .即 ?
11、解:当 x ? 2 ? 1 时 x ? ?1, 当 x 2 ? 3x ? 3 =1 时 x ? ?2,?1 。由元素互异得 x ? ?2 符合题意。

?

1.1.2 集合的含义与表示 一、选择题
1、B,2、B,3、C,4、C,

二、填空题

1 , ?? 1?, ? 1,?1?,7、 a 5、① ? ② ? ③ ? ④ ? ⑤ ? 6、 ?, ??
三、解答题

?6

8、 、解:集合 B 的元素个数大于 2 小于等于 5,而且必有 1,2 两个元素。所以集合 B 为 {1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,2,3,4} {1,2,3,5} {1,2,4,5}{1,2,3,4,5}.

9、解: 由图解得 A ? B.

3

5

10、解:由 a ? 2 =4 得 a ? 2 ,由 a ? 2 = 3a 得 a ? 1 。由元素互异得都符合题意。 a ? 1,2
21

1.1.3 集合的基本运算(一) 一、选择题
1、C,2、D,3、D,4、B,

二、填空题
5、 ? ,6、 ?X | ?1 ? X ? 1 ?,7、B,8、 ?X | X ? 3}

三、解答题
?3x ? 2 y ? 5 ?x ? 1 9、解:由题意得 ? ,解得 ? , A ? B ={(1,-1)} ?2 x ? 3 y ? ?1 ? y ? ?1
10 、解:当 a 2 ? a ? 1 ? 3得a ? 2或 ? 1 , 当 a ? a 2 ? a ? 1得a ? 1 (不合元素互异舍去) , 检验得
a ? 2或 ? 1。

?1 1 ? a?b ? 0 ? 1 ?2 2 11 、解:由 A ? B ? { } 得 方程 ? ,解得 a ? ?7, b ? ?4 。集合 A 2 ? 3 ? (a ? 2) ? 1 ? 5 ? b ? 0 ? 2 ?2

解集 {

1 1 1 1 1 , ? 4} 集合 B 解集 { , } 所以 A ? B = { , ,?4} 。 2 3 2 2 3

1.1.3 集合的基本运算(二) 一、选择题
1、A,2、C,3、D,4、C,

二、填空题
5、 {x | 2 ? x ? 4} , {x | 4 ? x ? 6}, {x | x ? 2} 6、{斜三角形},7、{4},8、3

三、解答题
9、解: M ? N = {x | ?3 ? x ? 5} , Cu M ? Cu N ? Cu (M ? N ) ? {x | x ? 3或x ? 5}

22

10、解:

A= {2,3,5,7} , B= {2,4,6,8} ,

11 、解:由 x 2 ? x ? 1 ? 7 得 x ? 3, 或 ? 2 ,当 x ? ?2, x ? 1 ? ?1,?1 ? U , 不符题意舍去,所以
x ? 3。

1.2.2 函数的概念(一) 一、选择题
1.C 2.C 3.D 4.C

二、填空题
5. 2 ? 2 2 6. 2 x 2 ? 4 x ? 3
?4 ? 7. ? ,2? ?3 ?

8.{-1,1}

三、解答题
9.解:? ?2 ? 0,? f (?2) ? 2 ? (?2) ? 1 ? ?5
? 3 ? 0,? f ( 3 ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 8
2

3 10. ①解:? 2 x ? 3 ? 0,? x ? ? ,? f ( x) ? 2

? 3? 的定义域为 ? x x ? ? ? 2? 2x ? 3 ?
1

? x ? 10 ? 0 ? x ? ?10 ②解:? ? ,? 原函数的定义域为 ?x x ? 1且x ? ?10? ,? ? ?1 ? x ? 0 ?x ? 1
11. 解:设 f ( x) ? kx ? b , f [ f ( x)] ? k (kx ? b) ? b ? k 2 x ? kb ? b ? 4x ? 3

?k 2 ? 4 ?k ? 2 ?k ? ?2 即? ,? ? , 或? ?b ? 1 ?b ? ?3 ?kb ? b ? 3
23

? f ( x) ? 2 x ? 1或f ( x) ? ?2 x ? 3

1.2.3 函数的概念(二) 一、选择题
1.A 2.B 3.A 4.A

二、填空题
5. 3 6. ? 6a 7.1 8. ?2,6?

三、解答题
9.解:? 4x ? x 2 ? ?( x 2 ? 4x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4 ? 4 又? 4 x ? x 2 ? 0 ,? 4 x ? x 2 ? ?0,2? ,? ? 4 x ? x 2 ? ?? 2,0?

? y ? 2 ? (? 4 x ? x 2 ) ? ?0,2? ,即原函数的值域为 ?0,2?
2 ? ?1 ? x ? 0 10.解:由已知得: ? 2 ,? x ? ?1 , ? ?x ? 1 ? 0

当 x ? 1 时, y ? 0 x 2008 ? y 2007 = 12008 ? 1 当 x ? ?1 时, y ? 0 x 2008 ? y 2007 = (?1) 2008 ? 1 11.解:由已知得:? f (2) ? 又 ? f ( x) ?
2 ? 1 ,即 2a ? b
2a ? b ? 2

x ? x 有 唯 一 解 , 即 ax2 ? (b ? 1) x ? 0 有 唯 一 解 , ? a ? 0 , ax ? b

? ? ? (b ? 1) 2 ? 4a ? 0 ? 0
? b ? 1, a ? 1 , 2

f ( x) ?

x 1 x ?1 2

?

2x x?2

? f (?3) ?

?6 12 3 ? 6 ? f [ f (?3)] ? f (6) ? ? ?3? 2 6?2 2

1.2.4 函数表示法(一) 一、选择题
1.D 2.D 3.B 4.B
24

二、填空题
5. 3 x 6. ? x 2 ? 2 x 7. 4 , 4 8. A ? {0,2,3}

三、解答题
9.解:设 f ( x) ? kx ? b , f [ f ( x)] ? k (kx ? b) ? b ? k 2 x ? kb ? b ? 4x ? 1

?k ? 2 ?k 2 ? 4 ?k ? ?2 ? 即? ,? ? , 1 或? b ? 1 b ? ? kb ? b ? ? 1 ? ? ? 3 ?
1 ? f ( x) ? 2 x ? 或f ( x) ? ?2 x ? 1 3

?2 x ? y ? 6 ? x ? 12 10.解: y ? 24 ? 2 x ,? ? ?24 ? 2 x ? 0
y

其图像如图所示:

12

6 0

6

12

x

?4, ( x ? 3) ? 11. 解 : 由 绝 对 值 的 性 质 得 : y ? ?2 x ? 2, ( ?1 ? x ? 3) ?? 4, ( x ? ?1) ?



其图像如图所示:

25

y

4

?1

3

x

?4

? 函数值域的值域为 ?? 4,4?

1.2.2 函数表示法(二) 一、选择题
1.B 2.A 3.C 4.B

二、填空题
? x ? 1,?1 ? x ? 0 1 ? 5. , [?1,?? ) 6. f ( x) ? ? 3 2 ? x,0 ? x ? 2 ? ? 4
7.
1 16

8 .1

三、解答题
9.解: (1)列表得: x -2 -1 0 1 2 y 3 2 1 0 -1

26

y
· · 3

2 1·

? 2 ?1

0 ?1

·

1

2
·

x

27

图像是五个孤立的点。 (2) y ? 2x 2 ? 4x ? 3 ? 2( x ? 1) 2 ? 5 ,( 0 ? x ? 3) 列表得:
x y -1 3 0 -3 1 -5 2 -3 3 3

先作出开口向上的整支抛物线的图像,以 x ? 1 为对称轴,以 (1,?5) 为顶点坐标,作出图像,再根据

0 ? x ? 3 ,抹去 x ? 0及x ? 3 部分图像,再将 x ? 3 对应的图像改为空心点。

10.解:当 x ? 4 时, f ( x) ? f (3 ? x) ? f (?1) ? f (2) ? f (5) 又? 5 ? 4 , f (5) ? 5 ? 4 ? 1 ,即 f (?1) ? 1

11.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, f (0) ? c ? 2

f ( x ? 1) ? f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ? ax2 ? bx ? c ? 2ax ? a ? b ? x ? 1
?a ? 1 3 ,b ? ? ,c ? 2 2 2

即 f ( x) ?

1 2 3 x ? x?2 2 2

(2)? 3 f ( x) ? f (? x) ? 5x,? 3 f (? x) ? f ( x) ? ?5x ,消去 f (? x) 得:
3[5x ? 3 f ( x)] ? f ( x) ? ?5x ? f ( x) ?
5 x 2

1.3.1 函数单调性与最大(小)值(一) 一、选择题
1.A 2.D 3.C 4.B

二、填空题
3 5. f (a 2 ? a ? 1) ? f ( ) 6. ?? 2,0? ? ?1,2? 4
? 2 ;大; 7
28

3 7. f (?3) ? f (3) ? f ( ) 2

8 . ?? ?,?2?;

三、解答题
?1 ? a ? a 2 ? 1 ? 9、解:由已知得: ?? 1 ? 1 ? a ? 1 ,解得: 0 ? a ? 1 ?? 1 ? a 2 ? 1 ? 1 ?

10、证明:设任取 x1 , x2 ? (1,??) 且 x1 ? x 2 ,则有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

x ? x1 1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 x1 x2

? x1 ? x 2 ,? x1 ? x2 ? 0
又? x1 , x2 ? (1,??) ?
1 1 1 ? 1 ,1 ? ? 0 ,? ( x1 ? x2 )(1 ? )?0 x1 x 2 x1 x 2 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) ? x ?

1 在 (1,??) 上为增函数 x

已知 f ( x) ? 2x 2 ? 4 x ? 3 , (1)若 x ? [?1,4] ,求 f ( x) 的单调区间 (2 ) 若 x ? [0,5] ,求函数的最大值和最小值

11、解: f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 3 ? 2( x ? 1) 2 ? 1 ,此二次函数的图像对称轴为 x ? 1 ,开口向上,

? x ? [?1,4] ? 单调递减区间 ?? 1,1? ,单调递增区间 ?1,4? ;
(2) f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 3 ? 2( x ? 1) 2 ? 1 ,? x ? [0,5] 当 x ? 1 时, f ( x) min ? 1 , 当 x ? 5 时, f ( x) max ? 33

1.3.1 函数单调性与最大(小)值(二) 一、选择题
1.B 2.A 3.B 4.D

二、填空题
5.1 6. 2 ,
1 2

7.9

8 . a ? ?4
29

三、解答题
9、解: f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ,? x ? ?? 1,1? ,? 当 x ? 1 时, f ( x) min ? ?4 当 x ? ?1 时, f ( x) max ? 0 ,? 值域为 ?? 4.0?
2 x ? 1 2( x ? 1) ? 3 3 ? ? 2? ,? x ? ?3,5? ? 此函数为减函数. x ?1 x ?1 x ?1 3 5 当 x ? 5 时, y max ? ,当 x ? 3 时 y min ? 2 4 1 1 1 11、令 x ? y ? 1, f (1) ? 0 ;令 x ? y ? , f ( ) ? 2 f ( ) ? 2 3 9 3

10、解: y ?

1 2 2 2 2 ? f [ x(2 ? x)] ? f ( ) ,故的取值范围是 1 ? ? x ?1? 9 3 3

1.3.3 奇偶性 一、选择题
1、C 2、B 3、C 4、A

二、填空题
5、 1
7 1 6、 0 7、 0 8、 f (? ) ? f (?1) ? f ( ) ; 2 2

三、解答题
9 、 解 : ① 定 义 域 为 ?? 4,4? 关 于 原 点 对 称 , f (? x) ? (? x) 4 ? 2(? x) 2 ? 3 ? x 4 ? 2x 2 ? 3
? f ( ? x) ? f ( x) ? f ( x) 为偶函数

②定义域为 R 关于原点对称
f (? x) ? ? x ? 1 1 ? ? x ? ? ? f ( x) ?x x

? 此函数为奇函数
10、解:由已知得: f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 为偶函数,

? f (? x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b ? f ( x)
? b ? ?b , b ? 0 ,其定义域为 ?a ? 1,2a? ,? a ? 1 ? 2a ? 0 ? a ?

1 3

即 a?

1 ,b ? 0 3
30

11、解: f ( x) ?

1 x , g ( x) ? 2 x ?1 x ?1
2

第一章集合与函数单元练习 一、选择题
1、D 2、A 3、C 4 、B 5、B 6、D 7、C 8、B

二、填空题
9、 6 10、 a ? ?1 11、 1 12、 ?? ?,2? , 2 ,大, 1

三、解答题
2 2 13、解:由 B ? ? A 得: a ? a ? 1 ? 3或a ? a ? 1 ? a 解得: a ? 2或a ? ?1

?x ? 2 ? 0 14、(1)解: ? ,解得 x ? 2且x ? 1,? 原函数的定义域为 ?x x ? ?2且x ? 1? (2)解: ?x ? 1 ? 0
?x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0且x ? ?1 ,? 原函数的定义域为 ?x x ? 0且x ? ?1? ? ?x ?x ?0

15、(1)证明:设任取 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2x1 ? m ? (?2x2 ? m) ? 2( x2 ? x1 )
? x1 ? x2 ,? 2( x2 ? x1 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在 R 上为减函数
(2) 函数 f ( x) 为奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) 即 2 x ? m ? 2 x ? m ,? m ? 0 16、解:(1)由已知可设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ?
k2 , k1 , k 2 ? 0 x

? f (1) ? k1 ? 1 ? 1 ,? k1 ? 1 ? f ( x) ? x
又? g (1) ?
k2 ? 2 ,? k 2 ? 2 1
? g ( x) ? 2 ; x

(2)解:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ?

2 x

F ( x) 的定义域为 ?x x ? 0?关于原点对称

又? F (? x) ? ? x ?

2 2 ? ?( x ? ) ? ? F ( x) ? 函数 f ( x) ? g ( x) 为奇函数 x x
31


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