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有理函数和可化为有理函数的不定积分


§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 一 有理函数的不定积分 有理函数的一般形式为: 。 其中为非负整数, 与都是常数,且。若,则称为真分式;若,则称为假分式。 结论: 假分式=多项式+真分式。 因此,对有理函数的积分,只要讨论真分式的积分即可。 重要结论:任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如(称为部分分式) : (1) ; (2) ; (3) ; (4) 。 的真分式之和,其中 A,B,为常数,为正整数。 因此,对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可。 (1) 。 (2) , 。 (3) ,令,并记, ,则 。 (4) 同(3)可得 , 。 记 ,则 = ,于是,有递推公式 。 将这些结果代回,即可求得所求积分。 例1 求 。 解:因本题中,被积函数的分母不能再分解,故 ; 而 ; ; 又 ; 故 。 课堂练习: (3) 、 (5) 。 二 三角有理式的不定积分 由,及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于,的有理式,并记为 。对于三角 有理式的不定积分 。 一般通过变换(万能变换) ,可把它化为有理函数的积分: ; ; ; 故 。 例2 求 。 注意:上述变换对三角有理式的不定积分总是有效的,但并不一定是最好的变换,在实

际计算中要注意选择不同的变换。 1) 若 则可令如求 2) 若,则可令,如求 。 3) 若,则可令,如 P195 例 4。 三 某些无理根式的不定积分 1. 型的不定积分。只要令就可有理化。 例3 求 。 说明:用下面的方法计算本题较为简单 。 例4 求 。 解:令即可有理化, (略) 。 说明:用下面的方法计算本题较为简单 。 2.型不定积分时, ,时, 。 一般地,当时,令即可将积分有理化之;当时,令即可将积分有理化之。以上两种变换 均称为欧拉变换。 注意:初等函数的原函数不一定是初等函数,因此,在初等函数的范围内,某些初等函 数的原函数是不存在的,即使该函数可积(见教材 P198) 。 ?? ?? ?? ?? 《数学分析》教案


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