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高考数学(人教a版,理科)题库:离散型随机变量的分布列(含答案)

第6讲
一、选择题

离散型随机变量的分布列

1.已知随机变量 X 的分布列如下表: X 1 2 3 4 1 2 4 P m 15 15 15 则 m 的值为( ) 1 2 1 A. B. C. 15 15 5 3 1 解析 利用概率之和等于 1,得 m= = . 15 5 答案 C

5 1 3 D. 4 15

i 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=2a(i=1,2,3),则 P(X=2)等于 ( 1 A.9 解析 答案 1 B.6 1 C.3 1 D.4

).

1 2 3 2 1 ∵2a+2a+2a=1,∴a=3,P(X=2)= =3. 2×3 C

3.若随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 且 p1=2p2,则 p1 等于 1 A.2 解析 答案 1 B.3 1 C.4 1 D.6 x1 p1 x2 p2 ( ).

1 由 p1+p2=1 且 p2=2p1 可解得 p1=3. B ).

1 4. 已知随机变量 X 的分布列为: P(X=k)=2k, k=1,2, ?, 则 P(2<X≤4)等于( 3 A.16 解析 1 B.4 1 C.16 5 D.16

1 1 3 P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=23+24=16.

答案

A

5.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则 P(ξ ≤1)等于( A. 1 5 B. 2 5 ). C. 3 5 D. 4 5

解析 答案

2 C1 4 4C2 P(ξ ≤1)=1-P(ξ =2)=1- 3 = . C6 5

D

6.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后 放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于 ( ?3?10?5?2 A.C10 12?8? ?8? ? ? ? ? ?5?9?3?2 C.C9 11?8? ?8? ? ?? ? 解析
9 ?3?9?5?23 ?8? ?8? B.C12 ? ?? ?8

).

?3?10?5?2 D.C9 11?8? ?8? ? ? ? ?

“X=12”表示第 12 次取到红球,前 11 次有 9 次取到红球,2 次取到

3 ?3?9?5?2 9 ?3?10?5?2 白球,因此 P(X=12)=8C9 11?8? ?8? =C11?8? ?8? . ? ?? ? ? ? ? ? 答案 D

二、填空题 7 .设随机变量 X 的分布列为 P(X = i) = ________. 解析 答案 7? ?1 , (i= 1,2,3,4) ,则 P? <X< ? = 2? 10 ?2

i

P? <X< ?=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= .
3 5

?1 ?2

7? 2?

3 5

8. 在一个口袋中装有黑、 白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回, 再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数 η 的分布列为________. 解析
1 1 1 C1 2C2 C2 1 2C2 1 η 的所有可能值为 0,1,2.P(η=0)=C1C1=4,P(η=1)= C1C1 =2,P(η= 4 4 4 4

1 1 C2 C2 1 2)=C1C1=4. 4 4

答案 η P 0 1 4 1 1 2 2 1 4

9. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至少命中一次的 16 概率为 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25 16 3 解析 由 1 ? p 2 ? 得p? 25 5 3 答案 5 10.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个 题,没有抢到题的队伍得 0 分,抢到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答错 误的扣 1 分(即得-1 分).若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜), 则 X 的所有可能取值是________. 解析 X=-1,甲抢到一题但答错了,或抢到三题只答对一题; X=0,甲没

抢到题,或甲抢到 2 题,但答时一对一错;X=1 时,甲抢到 1 题且答对或甲 抢到 3 题,且一错两对;X=2 时,甲抢到 2 题均答对;X=3 时,甲抢到 3 题 均答对. 答案 -1,0,1,2,3

三、解答题 11.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元 的奖品;有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖.某 顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列. 解 (1)该顾客中奖, 说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张, 由于是等

可能地抽取,所以该顾客中奖的概率
1 2 C1 4C6+C4 30 2 P= C2 =45=3. 10

C2 15 2 ? 6 ? ?或用间接法,即P=1-C2 =1-45=3.? ? ? 10 (2)依题意可知,X 的所有可能取值为 0,10,20,50,60(元),且

2 1 C0 C1 4C6 1 3C6 2 P(X=0)= C2 =3,P(X=10)= C2 =5, 10 10 1 C2 1 C1 2 3 1C6 P(X=20)=C2 =15,P(X=50)= C2 =15, 10 10 1 C1 1 1C3 P(X=60)= C2 =15. 10

所以 X 的分布列为: X P 0 1 3 10 2 5 20 1 15 50 2 15 60 1 15

12. 设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相 交时,ξ=0 ;当两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面 时,ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). 解 (1)若两条棱相交, 则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个, 过任意 1 个顶点 8C2 3对相交棱,因此
2 8×3 4 8C3 P(ξ=0)= C2 = 66 =11. 12

恰有 3 条棱,所以共有

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共有 6 对,故 P(ξ 6 1 = 2)=C2 =11, 12 4 1 6 于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1-11-11=11, 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ P 0 4 11 1 6 11 2 1 11

6 1 6+ 2 因此 E(ξ)=1×11+ 2×11= 11 . 13.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军 1 1 2 的概率分别为2,3,3. (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列;

(2)若球队获得冠军,则给其所在学校加 5 分,否则加 2 分,求该高中得分 η 的分布列. 解 (1)∵X 的可能取值为 0,1,2,3,取相应值的概率分别为

1? ? 1? ? 2? 1 ? P(X=0)=?1-2?×?1-3?×?1-3?=9, ? ? ? ? ? ? 1? ? 2? ? 1? 1 ? 2? ? 1? ? 1? 2 7 1 ? P(X=1)=2×?1-3?×?1-3?+?1-2?×3×?1-3?+?1-2?×?1-3?×3=18, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 1? 1 2 1 ? 1? 2 7 1 1 ? P(X=2)=2×3×?1-3?+?1-2?×3×3+2×?1-3?×3=18, ? ? ? ? ? ? 1 1 2 1 P(X=3)=2×3×3=9. ∴X 的分布列为 X P 0 1 9 1 7 18 2 7 18 3 1 9

(2)∵得分 η=5X+2(3-X)=6+3X, ∵X 的可能取值为 0,1,2,3. ∴η 的可能取值为 6,9,12,15,取相应值的概率分别为 1 7 P(η=6)=P(X=0)=9,P(η=9)=P(X=1)=18, 7 1 P(η=12)=P(X=2)=18,P(η=15)=P(X=3)=9. ∴得分 η 的分布列为 η P 6 1 9 9 7 18 12 7 18 15 1 9

14. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有 4 次参 加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否 则就一直考到第 4 次为止. 如果李明决定参加驾照考试, 设他每次参加考试通 过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列, 并求李明在一年内领到驾照的概率. 解 X 的取值分别为 1,2,3,4.

X=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了, 故 P(X=1)=0.6. X=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了, 故 P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28. X=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了, 故 P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096. X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过, 故 P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024. ∴李明实际参加考试次数 X 的分布列为 X P 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024

李明在一年内领到驾照的概率为 1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6.

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