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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编3:三角函数


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山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 .(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知 ? , ? ? (0,

?
2

) ,满足 tan(? ? ? ) ? 4 tan ? ,

则 tan ? 的最大值是 A.
1 4

( B.
3 4



C.

3 4

2

D.

3 2

【答案】B

由 tan(? ? ? ) ? 4 tan ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
3 1 tan ?

? 4 tan ? , 得 tan ? ?

3 tan ? 1 ? 4 tan ?
2

,因为

? ? (0,

?
2

) , 所 以 tan ? ? 0 . 所 以 tan ? ?

? 2 1

3 tan ? ? 4 tan ?

?

3 4

,当且仅当

? 4 tan ?

1 tan ?

? 4 tan ? ,即 tan ? ?
2

1 4

, tan ? ?

1 2

时,取等号,所以 tan ? 的最大值是

3 4

,所以选 B.

2 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 定 义

a1 a3

a2 a4

? a1a4 ? a2 a3 , 若 函 数

f ( x) ?

sin 2 x 1

cos2x 3

, 则 将 f ( x) 的 图 象 向 右 平 移

?
3

个单 位 所 得 曲线 的 一 条对称 轴 的 方 程是 ( )

A. x ?

?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
2

D. x ? ?
?
6 ) ,将 f ( x ) 的图象向右平移 ?

【答案】A

由定义可知, f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?
?
3 )?

?
3

个单

位 得 到 y ? 2 sin[2( x ?
x? 2? 3 ? k? 2

?
6

] ? 2 sin(2 x ?

5? 6

) , 由 2x ? ?

5? 6

?
2

? k? , k ? Z 得 对 称 轴 为

, k ? Z ,当 k ? ?1 时,对称轴为 x ?

2? 3

?
2

?

?
6

,选





A.
3 . (【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )关于函数 f (x)=2( sin x - cos x ) cos x 的

四个结论:P1:最大值为 2 ;P2:把函数 f (x) ?

2 sin 2 x ? 1 的图象向右平移

?
4

个单位后可得到函数 ], k ? Z ; P4:图象的 ( )

f ( x ) ? 2(sin x ? cos x )cos x 的图象;P3:单调递增区间为[ k? ?

7? 8

,k? ?

11? 8

对称中心为( A.1 个
【答案】B

k 2

??

?
8

, ?1 ), k ? Z .其中正确的结论有

B.2 个

C.3 个

D.4 个

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【解析】因为 f (x)=2 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?
2 ?1 , 所 以
f (x ) ?

2 sin (2x ?

?
4

) ? 1 ,所以最大值为

P1 错 误 . 将 f (x) ?
?
4 ) ?1 ? 2 sin (2 x ? 3? 8 k 2

2 sin 2 x ? 1 的 图 象 向 右 平 移

?
4

个 单 位 后 得 到
?
4 ?

2 sin 2(x ?

?
2

) ? 1 ,所以 P2 错误.由 ?

?
2

? 2 k ? ? 2x ?

?
2

? 2 k? ,

解得增区间为 ?
2x ?

?
8

? k? ? x ?

? k? ,k ? Z , 即 [ ?

?
8

? k? ,

3? 8

? k? ]k ? Z , 所 以 p3 正 确 . 由 k 2

?
4

? k? ,k ? Z ,得 x ?

??

?
8

, k ? Z ,所以此时的对称中心为 (

??

?
8

, ?1) ,所以 p4 正确,所

以选

B. ( C.
3 4 1 2

4 .(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 一已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线
x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为



A.

4 5

B.

4 3

D.

2 3 1 2

【答案】B

【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为
2? 1

, 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? tan ? ?

, 所 以

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

?

2 ? 1 ? 4 ,选 1 2 3 3 1? ( ) 2 4

B.

? ? ? ? 5 .(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2, sin ? ? ,若 a ? b ,
? ?

则 tan ? ? ? A. ?
1 3

??

? 等于 4?


1 3



B.

C. ?3

D.3

【答案】B
b 【 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 a ? ? 2 cos? ? sin? ? 0 , 即 tan ? ? 2
tan(? ?

?

?

? ?

. 所 以

?
4

)?

tan ? ? 1 1 ? tan?

?

2? 1 1? 2

?

1 3

,选

B. ) ?
) 2

6 .(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 ( ?

A. y ? sin( 2 x ?

)

B



y ? cos(2 x ?

2

C. y ? sin( x ?
【答案】A
y ? sin(2 x ?

?
2

) D. y ? cos( x ?

?
2

)

?
2

) ? ? cos 2 x 为偶函数,且周期是 ? ,所以选





A.
7 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 (二模) (理) 数学 试题) 函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ?
?
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?

? ??
, ? 2 2?

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上的图象大致为

【答案】C
x?

函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 A, C.

B





?
2

时, y ? 0 ,所以排除 D,选

8 .(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 3 4 ? A.)已知 ? ? (? , ? ), cos ? ? ? , 则 tan( ? ? ) 等于
2 5 4





( D. ? 7



A.7
【答案】B

B.

1 7 3 2

C. ?

1 7

【 解 析 】 因 为 ? ? (? , ? ), cos ? ? ?
?
4 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1? ? 1+ 3

3 3 .所以 , 所 以 sin ? ? 0 , 即 sin ? ? ? , ? ? tan 5 5 4

4

tan(

?? ) ?

4 ? 1 ,选 B. 3 7 4

9 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中
A >0, ? <

π 2

的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 3 x 的图象,只需将 f ( x) 的图象

( A.向右平移 C.向右平移
π 4 π 12



个单位长度 个单位长度
T 4

B.向左平移 D.向左平移
? 5? 12 ?

π 4 π

个单位长度 个单位长度 ,即 T?
2? 3 ? ? ) ? sin( π 2 5? 4 ? 2?

12

【 答 案 】 C 由 图 象 可 知 , A ? 1,
f ( x ) ? sin(3x ? ? )

?
4

?

?
6

?

, 所 以 ? ?3 , 所 以 , 所
?
4 π 12

,


?

f(

5? 12

) ? sin(3 ?

5? 12

? ? ) ? ?1


).

5? 4

?? ?

3? 2

? 2k? , k ? Z ,即 ? ?

? 2k? , k ? Z ,又 ? <

,所以 ? ?

?
4

,即 f ( x) ? sin(3 x ?

4

因为 g ( x) ? sin 3 x ? sin(3 x ?

?
4

?

?
4

) ? sin[3( x ?

?
12

)?

?
4

] ,所以只需将 f ( x ) 的图象向右平移
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单位长度,即可得到 g ( x) ? sin 3 x 的图象,选

C.
?
4

10 . ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 当 x ?
? 3? ? f ? x ? ? A sin ? x ? ? ?? A ? 0 ? 取得最小值,则函数 y ? f ? ? x? 是 ? 4 ?

时,函数





A.奇函数且图像关于点 ?

??

? , 0 ? 对称 ?2 ?

B.偶函数且图像关于点 ?? , 0 ? 对称
??

C.奇函数且图像关于直线 x ?
【答案】C ?

?
2

对称

D.偶函数且图像关于点 ?

? , 0 ? 对称 ?2 ?

当 x?
? ??

4 3? 4 y ? f( 3?

时 , 函 数 f ? x ? ? A sin ? x ? ? ?? A ? 0 ? 取 得 最 小 值 , 即
? 2 k? , k ? Z

?
4

?? ? ? ) A? 0 ? ?

?
2

? 2 k? , k ? Z , 即

,





f

? x? ?

Asi n( x ?

3? 4

,





3? 3? ? ,所以函数为奇函数且图像关于直线 x ? 对称,选 ? x) ? Asi n( ? x? ) ? ? A si nx 4 4 4 2

C.
11. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知函数 f ( x ) ? e
2 x ?1
2

,若 f [cos(

?
2

? ? )] ? 1 ,

则 ? 的值为 ? A. k? ?
4

( B. k? ? 由
?
4
2 x ?1
2



C.

k? 2

?

?
4
2

D. k? ?

?
4

(其中 k∈Z)
2

【 答 案 】 C
cos 2(

f ( x) ? e

? 1 , 得 2 x ? 1 ? 0 , 即 2 cos (

?
2

? ? ) ?1 ? 0 k? 2 ?

, 所 以

?
2

,所以 2? ? ? ? ) ? cos( ? 2 ) ? ? cos 2 ? 0 ? ? ?

?
2

? k? , k ? Z ,即 ? ?

?
4

, k ? Z ,选 C.

12.(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为
g ( x ) ,则函数 y ? x g ( x ) 的部分图象可以为.
2

【答案】C

y ' ? cos x ,即 g ( x ) ? cos x ,所以 y ? x g ( x ) ? x cos x ,为偶函数,图象关于 y 轴对称,
2 2

所以排除 A,

B.当 y ? x cos x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?
2

?
2

? k? , k ? Z ,即函数过原点,所以选

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C.
13.(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)在△ABC 中,内角





A. 是 A.钝角三角形 【答案】A 【 解 析 】

B. 的对边分别为 a、 c,且 2c 2 ? 2a 2 ? 2b 2 ? ab ,则△ABC C b、 ( ) C.锐角三角形 得 ,

B.直角三角形 由
? ? 1

D.等边三角形
a ?b ?c ? ?
2 2 2

2c ? 2a ? 2b ? ab
2 2 2

1 2

ab

,





cosC ?

a ?b ?c
2 2

2

2ab

ab 1 ? 0 2 ? ? ? 0,所以 90 ? C ? 180 ,即三角形为钝角三角形,选 ( 2ab 4



A.
14.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)函数 y ? cos ( x ?
2

?
4

) 的图象沿 x 轴向右平移 a 个

单位 (a ? 0) ,所得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为 A. ? B.
?
4
3? 4

( D.
?
4



C.
1 ? cos(2 x ?

?
2

?

【答案】 y ? cos ( x ? D
2

)? 2
1 2 ? 1 2 k? 2

) 2 ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? 1 sin 2 x ,函数向右平移 a 个单位得到 2 2 2

函数为 y?
?2a ?

1 2

?

1 2

sin 2( x ? a ) ?

sin(2 x ? 2a ) , 要 使 函 数 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 有 , k ? Z ,所以当 k ? ?1 时,得 a 的最下值为

?
2

? k? , k ? Z ,即 a ? ?

?
4

?

?
4

,选 D.
?
2

15.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? (其中 A ? 0, ? ?

)

的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ? x ? 的图象

( A.向右平移 C.向左平移
【答案】A



?
6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

?
12

个长度单位 个长度单位

?
6

?
12

【解析】由图象可知 A ?1 ,
f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ?

T 4

?

7? 12

?

?
3

?

?
4

,即周期 T ? ? ?
7? 12 ? ? ) ? ?1

2?

?

,所以 ? ? 2 ,所以函数为
sin(

.



f(

7? 12

) ? sin(2 ?

,



?
6

??) ? 1

,

所 以

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?
6

?? ?

?
2

? 2 k? , k ? Z , 即 ? ?

?
3

? 2 k? , k ? Z , 因 为 ? ?

?
2

,所以当 k ? 0 时, ? ?

?
3

,所以
?
6

f ( x ) ? sin(2 x ?

?
3

) . g ? x ? ? sin 2 x ? sin[2( x ?

?
6

)?

?
3

] ,所以只需将 f

? x ? 的图象向右平移


,即

可得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图象,所以选 A.
16.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)将函数 f ( x) ? sin(2 x ?



?
6

) 的图象向右平移

?
6

个单位后,所得的图象对应的解析式为 A. y ? sin 2x B. y ? cos 2x
?
6

( C .
y?


2? 3 )

sin(2 x ?

D. y ? sin(2 x ?
【答案】D

)



解 析 】 将 函 数
?
6

f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) 的 图 象 向 右 平 移

?
6

个 单 位 得 到

f ( x ) ? sin[2(x ?

)?

?
6

] ? sin(2 ? x

?
6

),选

D.

17.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C

的对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面 积为 S,且 2 S ? ? a ? b ? ? c 2 , 则 tan C 等于
2





A.

3 4

B.

4 3
2

C. ?

4 3

D. ?

3 4 1 2 ab sin C ? a ? b ? 2ab ? c ,
2 2 2

【答案】 C

由 2S ? ? a ? b ? ? c 2 得 2 S ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? c 2 ,即 2 ?
a ?b ?c
2 2 2

所 以 ab sin C ? 2ab ? a2 ? b2 ? c2 , 又 cos C ?

?

ab sin C ? 2ab 2ab

?

sin C 2

?1 , 所 以

2ab

cos C ? 1 ?

sin C 2

,即 2 cos 2

C 2

? sin

C 2

cos

C 2

,所以 tan

C 2

2 tan
? 2 ,即 tan C ?

C 2 ? 2? 2 ? ? 4 , 2 1? 2 3 2 C 2

1 ? tan



C.

18.(山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理))要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函

数 y ? sin 3 x 的图象 A.向左平移 2 个单位 C.向左平移
2 3

( B.向右平移 2 个单位 D.向右平移
2 3
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个单位

个单位

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【答案】D

【 解析】因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平移
3

2

2 3

个单位,

即可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选

D.
2

19.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)函数 y ? 1 ? 2 sin ( x ?

?
4

)是





A.最小正周期为 ? 的偶函数 ? C.最小正周期为 的偶函数
2

B.最小正周期为 ? 的奇函数 ? D.最小正周期为 的奇函数
2

【答案】B

【解析】 y ? 1 ? 2 sin 2 ( x ? 所以函数为奇函数,所以选

?
4

) ? cos 2( x ?

?
4

) ? cos(2 x ?

?
2

) ? sin 2 x ,所以周期 T ?

2?

?

?

2? 2

?? ,

B.
π 6

20.山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) ( 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(?>0) 的最小正周期为 4 , π

则 A.函数 f ( x) 的图象关于点(
π 3 , 0 )对称 π 3





B.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? C.函数 f ( x) 的图象向右平移
π 3

对称

个单位后,图象关于原点对称

D.函数 f ( x) 在区间 (0,π ) 内单调递增
【答案】C 因为函数的周期 T ?
2? ? 4? , 所 以 ? ? 1 2

?
3

, 所 以 f ( x ) ? sin( x ?
2

1

?
6

)

.当 x ?

?
3

时, f ( ) ? sin( ?
3 2

?

1

?
3

?

?
6

) ? sin

?
3

?

,所以 A
?
6 ] ? sin( 1 2

,B 错误.将函数 f ( x) 的图象向右平移
x) ,此时为奇函数,所以选

2

π 3

个单位后得到 f ( x) ? sin[ ( x ?
2

1

?
3

)?

C.
4 5

21. (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) 已知 ? ? ? ? , )
?

?

3 2

? ?, cos ? ? ?
?

?

,

则 tan( (

?
4

??)

等于 A.7
【答案】B



B.

1 7

C. ?

1 7

D. ? 7



解 析 】 因 为 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?
? 2 ?

?

3

?

4 5

,

所 以 sin ? ? ?

3 5

, tan ? ?

3 4

. 所 以

tan(

?
4

tan ??) ?

?
4

? tan?

1? ? 1?

3 4 ? 1 ,选 3 7 4
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1 ? tan

?
4

B.

tan ?

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?
4

22.(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知 sin( x ?

)??

5 13

, 则 sin 2 x 的值等于

( A.
120 169



B.

119 169

C. ?

120 169

D. ?

119 169

【答案】D

【解析】因为 sin( x ?
sin 2 x ? ? 119 169

?
4

)??

5 13

, 所以

2 2

(sin x ? cos x) ? ?

5 13

,两边平方得

1 2

(1 ? sin 2 x) ?

25 169

,解得

,选 D.
?
2

23. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) (其中 A>0, | ? |?

)的部

分图象如图所示,为了得到 g( x ) ? cos 2 x 的图象,则只要将 f ( x ) 的图象

( A.向左平移 C.向左平移
?
12



个单位长度 个单位长度
T 4 ?

B.向右平移 D.向右平移
7? 12 f( 7? 12 ?

?
12

个单位长度 个单位长度
2? ? ? ,所以 ? ? 2 ,即

?
6

?
6

【答案】A 由图象可知 A ?1 ,
f ( x ) ? sin(2 x ? ? )

?
3

?

?
4

,所以 T ?? .又 T ?
7? 12 ? ? ) ? sin( 7? 6

?

.



) ? sin(2 ?

? ? ) ? ?1

,
?
3





7? 6

?? ?

3? 2

? 2 k? , k ? Z , 即 ? ?

?
3

? 2 k? , k ? Z , 所 以 ? ?

?
3

, 即 f ( x) ? sin(2 x ?
?
12

) .因为

g ( x ) ? cos 2 x ? sin(

?
2

? 2x ) ? sin[2(x ?

?
12

)?

?
3

],所以直线将 f ( x ) 向左平移

个单位长度即可得 ( )

到 g ( x) 的图象,选 A.
24 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学
x

)现有四个函

数:① y ? x?sin x ② y ? x? 2 | cos x ③ y ? x ? cos x | ④ y ? x ? 的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按 照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

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( A.④①②③ 【答案】C B.①④③② C.①④②③ D.③④②①



【解析】①为偶函数,②为奇函数,③为奇函数,且当 x ? 0 时 y ? 0 ,④为非奇非偶函数.所以对应的顺 序为①④②③,选 么顶角的余弦值为 A.
5 18

C. ( B.
3 4

25.(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那



C.

3 2

D.

7 8

【答案】D

【解析】设底边长为 x ,则两腰长为 2x ,则顶角的余弦值 cos ? ?

(2 x) ? (2 x) ? x
2 2

2

2 ? 2x ? 2x
x 3

?

7 8

.选 D.

26.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)函数 y ?

? sin x 的图象大致是

【答案】C

【 解析】函数 y ? f ( x) ?
x ? ?? 时, y ? 0 ,排除
cos x ? ? 1 3

x 3

? sin x 为奇函数,所以图象关于原点对称,排除

B
1 3





D . f '( x) ?
x 3

1 3

? cos x , 由 f '( x ) ?

? cos x ? 0 , 得

,所以函数 y ? f ( x) ?

? sin x 的极值有很多个,所以选
?

C.

27. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学 (理) 试题) ?ABC中,?A=60 , AB ? 2 ,且 ?ABC 在
3 2

的面积为

,则 BC 的长为





A. 3
【答案】A

B.3

C. 7

D.7

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S?

1 2
2

? AB ? AC sin 60 ?

?

1 2

? 2?

3 2

AC ?

3 2

,





AC ? 1

,





,,所以 BC ? BC ? AB ? AC ? 2 AB? AC cos 60 ? 3
2 2 ?

3 ,选


?
4



A.
28.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 sin(
? x) ? 3 5

,则 sin 2 x 的值 ( )

为 A. ?
24 25

B.

24 25

C. ?

7 25

D.

7 25

【答案】C

【 解析】

sin 2 x ? sin[2( x ?

?
4

)?

?
2

] ? ? cos 2( x ?

?
4

) ? ?[1 ? 2 sin ( x ?
2

?
4

)] ? ?

7 25 ,选

29.(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)若函数 f(x)=2sin ?x(? ? 0) 在区间 [ ?

C. ? ? )

, ] 3 4

上单调递增,则 ? 的最大值等于 A.
2 3

( C.2 D.3

B.

3 2

【答案】B 因为函数在 [ ?

T T ? ? , ] 上递增,所以要使函数 f(x)=2sin ?x (? ? 0) 在区间 [ ? , ] 上单调递 4 4 3 4 4? 3

增,则有 ?

?
3

??

T 4

,即 T ?

,所以 T ?

2?

?

?

4? 3

,解得 ? ?

3 2

,所以 ? 的最大值等于

3 2

,选

B.

30 . ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 ? ( ) ? , ? ? ( , ? ), 且 tan ? ? cot ? , 那么必有
2

A. ? ? ? ?
【答案】B

?
2

B. ? ? ? ?

3 2

?

C. ? ? ?

D. ? ? ?

【 解 析 】 因 为 cot ? = tan (
?

?
2

? ?) tan ? ? = (

?
2

? ?) tan = (

3? 2

? ?), 因 为

?
2

? ? ?? , 所 以

?
2

? ? ? ? ?? ,

?
2

?

3? 2

? ? ? ? ,而函数 y ? tan x 在 x ? ( 3? 2 ? ? ,即 ? ? ? ? 3? 2

?
2

, ? ) 上单调递增,所以由 tan ? ? cot ? ,

即 tan ? ? tan (

3? 2

可得 ? ? ? ?)

,选 B.
?
2

31.山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 ( (理) 试题) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? <

)

的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象


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A.向右平移 C.向左平移
【答案】A

?
6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

?
3

个长度单位 个长度单位

?
6

?
3

【 解 析 】 由 图 象 可 知 A ? 1,
f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) ,由 f (

T 4

?

7? 12

?

?
3

?

?
4

,即 T ?? ,又 T ?? ?
7? 6

2?

?

,所以 ? ?2 ,所以
7? 6 ?? ? 3? 2 ? 2 k? ,

7? 12

) ? sin(2 ?

7? 12

? ? ) ? ?1 ,得 in(

? ? ) ? ?1 ,即

即 ??

?
3

? 2 k?

, 因 为 ? ?
?
6 )?

?
2

, 所 以 ??

?
3

, 所 以

f ( x ) ? sin(2x ?

?
3

) . 因 为

g ( x ) ? sin 2x ? sin[2( ? x

?
3

], 所 以 只 需 将 f ( x ) 的 图 象 向 右 平 移

?
6

个长度单位,即可得到 ( )

g ( x ) ? sin 2 x 的图象,所以选

A.
32.山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学) ( 右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R ) 在区间 [? ? , 5? ]
6 6

上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将
y ? sin x ( x ? R ) 的图象上所有的点


?
3



A.向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变

D. 向左平移 变
【答案】A
5? 6

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不

由图象知 A ? 1 , T ?

? (?

?
6

) ?? ,T ?

2?

?

? ? ,所以 ? ? 2 .所以 y ? f ( x) ? sin(2 x ? ? ) .由
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2 ? (?

?
6

) ? ? ? 0 ,得 ? ?

?
3

,所以 y ? f ( x) ? sin(2 x ?
?
3

?
3

) .所以为了得到这个函数的图象,只需将

y ? sin x ( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (


1 2

倍,纵坐标不变,选 A.
33.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A.)函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是




【答案】A

【解析】函数 y ? x sin x 为偶函数,所以图象关于 y 对称,所以排除
?
2 3? 4

D. x ? 当
2 4

?
2

时, y ? A.

? 0 ,排除 B.当 x ?

时, y ?

?
4

sin

3? 4

?

2 2

?

?
4

?

?
2

?

?

?
2

,排除 C,选





34.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A.)要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3 x 的图象









A.向左平移 2 个单位 C.向左平移
【答案】D
2 3

B.向右平移 2 个单位 D.向右平移
2 3 2 3 2 3

个单位

个单位

【解析】 因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平移 可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 D.
?
2

个单位,即

35. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), (| ? |?

) 向左平移

?
6



单位后是奇函数,则函数 f ( x) 在 ? 0,
?

?

??
2? ?

上的最小值为





A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.
?
2

3 2

【 答 案 】 A

函 数 f ( x) ? sin(2x ? ? ), (|? | ?
?
) ? ? ] ? sin(2 x ?

) 向 左 平 移

?
6

个 单 位 后 得 到 函 数 为
?

f (x ?

?

) ? sin[2( x ?

?

? ? ) ,因为此时函数为奇函数,所以

6 6 3 21 世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。

? ? ? k? , k ? Z ,所 3 版权所有@21 世纪教育网

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以? ??
0? x?

?
3

? k? , k ? Z . 因 为 | ? |?

?
2

,所以当 k ? 0 时, ? ? ?
?
3 ??

?
3

, 所 以 f ( x) ? sin(2 x ?
?
3

?
3

) .当

?
2

,所以 ?
3 2

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3

, 即 当 2x ?

?
3

时 , 函 数 f ( x) ? sin(2 x ?

) 有最小值为

sin(?

?
3

)??

,选





A.
二、填空题 36.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)函数 y ? sin(

?
2

x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所

示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB _______________.

【答案】 ?2

函 数 的 最 大 值 是

1, 周 期 T ?

2?

?
2

?4 , 则

AD ?

T 4

?1 ,

BD ? 3, PD ? 1 , 则

tan ?APD ? ?

AD PD

? 1, tan ?BPD ? ?

BD PD

? 3, 所以 tan ?APB ? tan(?APD ? ?BPD )

tan ?APD ? tan ?BPD 1 ? tan ?APD ? tan ?BPD

1? 3 1 ? 1? 3

? ?2 .

37 . ( 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数
f ( x ) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ?

3 cos 2 x ? 1 , x ?

?? ? ? ,则 f (x) 的最小值为_________. , ?4 2? ? ?

【答案】1

【 解析】 f ( x) ? 2 sin 2 (

?
4

? x) ?

3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos 2(

?
4

? x) ?

3 cos 2 x ? 1

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? ? cos(

?
2

? 2 x) ?

3 cos 2 x ? sin 2 x ?

3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
3

)

, 因 为
1 2

?
4

?x?

?
2

, 所 以

?
6

? 2x ?

?
3

?

2? 3

, 所 以 sin

?
6

? sin(2x ?

?
3

) ? sin

?
2

, 即

? sin(2 x ?

?
3

) ?1

, 所 以

1 ? 2 sin(2x ?

?
3

) ? 2,即 1 ? f ( x) ? 2 ,所以 f (x ) 的最小值为 1.

38.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时

间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y ? h ? A sin(? x ? ? ) 的图象.最能近似表示表 中数据间对应关系的 函数是_______. ?
【答案】 y ? 5.0 ? 2.5sin
t 6 2?

由数据可知 函数的周期 T ? 12 ,又 T ? 12 ?

?

,所以 ? ?

?
6

.函数的最大值为 7.5 ,最小值为 2.5 ,即
?
6 t ?? ) , 又

h ? A ? 7.5, h ? A ? 2.5 , 解 得 h ? 5.0, A ? 2.5 , 所 以 函 数 为 y ? f ( x) ? 5.0 ? 2.5 sin(

y ? f (3) ? 5.0 ? 2.5sin(

?
6

? 3 ? ? ) ? 7.5 ,所以 sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? 1 ,即 ? ? 2k? , k ? Z ,所以最能

近似表 示表中数据间对应关系的函数是 y ? 5.0 ? 2.5sin

?
6

t.

39.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)若 tan( ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? ? ___________. π 【 答 案 】
? 4 5


2 tan ? 1 tan ? ?
2

tan( ? ? ) ? 2 π



tan ? = ? 2

,





sin 2 ? ?

2 sin? cos ? sin ? ? cos ?
2 2

?

?

? ? 2) 2 ( ?? 2 1 ? 2) ? (

.

4

5

40.(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)在 ?ABC 中,角 A,B,C 新对的边分别为 a,b,c,

若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,
b ?c ?a ?
2 2 2

3bc ,则角 B=________.
b ?c ?a
2 2 2

【答案】 60 由 b ? c ? a ?
?

2

2

2

3bc 得 cos A ?

?

3bc 2bc

?

3 2

,所以 A ? 30? .由正弦定理

2bc

得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C ,即 sin( A ? B ) ? sin C sin C ? sin C ,解得 sin C ? 1 ,所以
C ? 90 ,所以 B ? 60 .
? ?

41.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)如图,将边长为 1cm 的正方形 ABCD 的四边沿
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BC 所在直线 l 向右滚动(无滑动),当正方形滚动一周时,正方形的顶点 A 所经过的路线的长度为 _______cm.

【答案】

2 2

? ??

AB=1cm,所以 AC= AC ?

2cm 滚动一周的路程是:

1 4

? 2? ( 2) ?

1 4

? 2? ? 2 ?

2 2

? ?? .

42.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A))已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则

另两边长之积的最大值等于. 【答案】16 【解析】设另两边为 a, b ,则由余弦定理可知 42 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? ,即 16 ? a 2 ? b 2 ? ab ,又
16 ? a ? b ? ab ? 2ab ? ab ? ab ,所以 ab ? 16 ,当且仅当 a ? b ? 4 时取等号,所以最大值为 16.
2 2

43. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c,

若 a ? 3, b ?
?

2, B ? 45? ,则角 A=_______.
?

【答案】 60 或 120

【解析】由正弦定理可知

a sin A

?

b sin B

,即

3 sin A

?

2 sin 45
?

? 2 ,所以 sin A ?

3 2

,因为 a ? b ,所以

A ? 45 ,所以 A ? 60 或 A ? 120 .

?

?

?

三、解答题 44.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)
?? ?

已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x ,? y ) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f (x) ,并求 f (x) 的单调增区间; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2 , b ? c ? 4 ,求
2 A

?ABC 的面积.
?? ? 2 【答案】解:(1)由 m ? n 得 m ? n ? 0 ,? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0

即 y ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ∴?
?
2 ? 2 k? ? 2 x ?

?
6

) ?1

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

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∴?

?
3

? k? ? x ? A 2

?
6

? k? , k ? Z ,即增区间为 [ ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z

(2)因为 f ( ) ? 3 ,所以 2 sin( A ? ∴ A?
?
6 ? 2k? ?

?
6

) ? 1 ? 3 , sin( A ?

?
6

) ? 1,

?
2

,k ? Z

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 4 ? b 2 ? c 2 ? bc ∴ 4 ? (b ? c) ? 3bc ,因为 b ? c ? 4 ,所以 bc ? 4
2

∴ S? ABC ?

1 2

bc sin A ?

3

45 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数 ?x ?? ?x ?? ? 2 ? x ?? f ( x ) ? 3 sin cos ? sin ( ? 0, 0? ? ? ? ).其图象的两个相邻对称中心的
2 2 ,1) . 3 2 2

距离为

?
2

,且过点 (

?

(I) 函数 f ( x) 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 5 , S ?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角.且满
f( C 2 ?

?
12

)?

7 6

,求 c 的值.
3 2 1 2

【答案】解:(Ⅰ) f ( x ) =
π 6 1 2

sin( wx + j ) +

[1 - cos( wx + j ) ]

= sin( wx + j -

)+

Q 两个相邻对称中心的距离为
2π |w|

π 2

,则 T = π ,

\

= π, Q w>0, \ w=2 ,
π

又 f ( x ) 过点 ( ,1) ,
3

骣 骣 2π π 1 π \ sin 珑 + j 鼢 + = 1, 即 sin + j 鼢 珑 鼢 2 珑 桫 桫 3 6 2
\ cos j = Q0< j < 1 2 π 2 ,\ j = π 3 ,\ f ( x ) = sin(2 x +

=

1 2

,

,
π 6 )+ 1 2

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(Ⅱ) f 珑 珑 珑
桫 2
\ sin C = 2 3

骣 C

骣 π鼢 π π 1 1 7 , = + + = sin C + = 鼢 sin C 鼢 桫 12 6 6 2 2 6

,
5 3
1 2 ab sin C = 1 2 创 5 b? 2 3 2 5,

Q0< C <

π 2

, \ cos C =

,

又a =

5, SD ABC =

\ b = 6,

由余弦定理得 c = a + b - 2ab cos C = 21 ,
\ c= 21

2

2

2

46.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

已知 3 sin2A=1-cos2A. (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 1, B ?
【答案】

?
4

,求 b 的值.

47 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 ( A ) ) 已 知 函 数 ? ? f ( x ) ? cos(?x ? ) ? cos(?x ? ) ? sin ?x (? ? 0, x ? R ) 的最小正周期为 2? .
6 6

(I)求函数 f (x) 的对称轴方程;
6 3

(II)若 f (? ) ?

,求 cos(

?
3

? 2? ) 的值.

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【答案】

48 . ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知
?? ? x ? ? ? m ? ? A sin , A ? , n ? ? 3 ? ? ? x? 3, cos ? , f 3?

? x ? ? m ? n ,且f

?? ?

?? ? ? ?? ? 4?

2.

(1)求 A 的值; (II)设 ? 、 ? ? ? 0,
? ?

??

? 2?

, f ? 3? ? ? ? ?

7 ? 8 ? , f ? 3? ? ? ? ? ? , 求 cos ?? ? ? ? 的值. 17 2 ? 5 ? 30

【答案】由题意得

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49.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)已知函数 f ( x ) ? cos

x 2

?

3 sin

x 2

.

(I)若 x ? [ ? 2? , 2? ] ,求函数 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 f ( 2 A ? △ABC 的面积.
【答案】
2 3

? )?

4 3

,sin B ?

5 cos C ,a ?

2 ,求

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50.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知角 ?
A? , sin B ? 3sin C. 3

(1)求 tan C 的值; (2)若 a ?
【答案】
7, 求△ABC 的面积.

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51.(山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))若函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos x ? m 在
2

区间 [0,

?
2

] 上的最大值为 2,将函数 f ( x ) 图象上所

有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移
g ( x ) 的图象.

?
6

个单位,得到函数

(1)求函数 f ( x) 解析式; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,又 g ( 积等于 3,求边长 a 的值,
【答案】

?
2

? A) ?

8 5

, b ? 2 ,△ABC 的面

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52 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 3 月 诊 断 性 测 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 平 面 向 量 a =(cos ? ,sin ? ),b=(cosx,sinx),c=(sin ? ,-cos ? ), 其 中 0< ? < ? , 且 函 数

f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点( (1)求 ? 的值; (2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移
?
12

?
6

,1).

个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标变为原来的 2 倍,
?
2

纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在[0,

]上的最大值和最小值.

【答案】

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53.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 ?ABC 的角 A、B、C,所对的边

分别是 a、b、c,且 C ? (1)若 m / /n ,求 B;
?? ? ?

?
3

,设向量 m ? (a, b), n ? (sin B, sin A), p=(b-2,a-2)

?? ?

?

?

.

(2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c.
【答案】证明:(1)? m // n,? a sin A ? b sin B

?? ?

?

由正弦定理得
a ? b 即a ? b
2 2

又? c ?

?
3

? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

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由题意可知 m. p ? 0,即a (b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
? a ? b ? ab ①

由正弦定理和①②得, 3 ?
?
3 3 2

1 2

. sin c.ab

?C ?

,? sin C ?

? ab ? 4 ②
? c ? a ? b ? ab ? ( a ? b) ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4
2 2 2 2

?c ? 2

54.(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)设 f ( x) ? 6 cos x ? 2 3 sin x cos x .
2

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间;
F ( x) ? g ( x) ? 3 2 3x
x?

(Ⅱ)将函数 f (x) 的图象向右平移 切线方程.
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? 6

?
3

?
4 处的

个单位,得 y ? g (x) 的图象,求



(1 ? cos 2 x) 2

?

3 sin 2 x ? 2 3 cos(2 x ?

?
6

)?3,

故 f(x)的最小正周期 T ? ? , ? 由 ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k?
6

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

7? 12

, k? ?

?
12

]?k ? Z ?

(Ⅱ)由题意: g ( x) ? 2 3 cos[2( x ?
F ( x) ? g ( x) ? 3 2 3x
F ( x) ?
'

?
3

)?

?
6

] ? 3 ? 2 3 sin 2 x ? 3 ,

?

sin 2 x x

,

2 x cos 2 x ? sin 2 x x
2

,

? 16 因此切线斜率 k ? F ' ( ) ? ? 2 , 4 ? ? 4 切点坐标为 ( , ) , 4 ?

故所求切线方程为 y ? 即 16 x ? ? y ? 8? ? 0
2

4

?

??

16

?

2

(x ?

?
4

),

55 . ( 山 东 省 淄 博 市 2013 届 高 三 复 习 阶 段 性 检 测 ( 二 模 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 1 ? 2 f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos ? x ? ?? ? 0 ? ,其最小正周期为 .
2 2
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(I)求 f ? x ? 的表达式; (II)将函数 f ? x ? 的图象向右平移
?
8

个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不
? ?

变),得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 ,在区间 ? 0, 求实数 k 的取值范围.
【答案】解:(I) f ( x ) ?
3 2
3 sin ? x ? cos ? x ? cos ? x ?
2

??
2? ?

上有且只有一个实数解,

1 2

?

sin 2? x ?

cos 2? x ? 1 2

?

1 2

? sin(2? x ?

?
6

)

由题意知 f (x) 的最小正周期 T ? 所以 ? ? 2 所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?
? ?

?
2

,T ?

2? 2?

?

? ?

?

?
2

??
? 6?

(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个

?
8

个单位后,得到 y ? sin( 4 x ?
?
3

?
3

) 的图象,再将所得图象所有点的横坐

标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?
?
2

) 的图象.

?
3

)

,所以 ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3

.

? ?? ? ?? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x ) 与 y ? ? k 在区间 ? 0, ? 上有且 g ( x ) ? k ? 0 在区间 0, ? 2? ? ? ? 2?

只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? 3 ? ? k ?
2 3 2 3 2

3 或 ?k ? 1 2

所以 ?

?k?

或 k ? ?1 .

56.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
A? π 4

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a .
4 4

π

π

(Ⅰ)求 B 和 C; (Ⅱ)若 a ? 2 2 ,求△ABC 的面积.
【答案】解:(Ⅰ)由 b sin(
π π ? C ) ? c sin( ? B ) ? a, 用正弦定理得 4 4
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π π sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A. 4 4

∴ sin B sin(

2 2

cos C ?

2 2

sin C ) ? sin C (

2 2

cos B ?

2 2

sin B) ?

2 2



即 sin B cos C ? cos B sin C ? 1, ∴ sin( B ? C ) ? 1. ∵ 0<B, C< π ,
4 3

∴ ? π <B ? C< π ,
4 4 π 2

3

3

∴B?C ? 又A?
π 4

.
3 4

,∴ B ? C ? π ,
5 π 8 5 π 8 .

解得 B ? π , C ?
8

(Ⅱ)由(Ⅰ) B ? π , C ?
8

,由正弦定理,

5 2 2 ? sin π 8 ? 4 sin 5π. 得b ? ? π sin A 8 sin 4 a sin B

∴△ABC 的面积 S ?

1 2

ab sin C ?

1

5 π ? 2 2 ? 4 sin π sin 2 8 8

5 π π π ? 4 2 sin π sin ? 4 2 cos sin 8 8 8 8 π ? 2 2 sin ? 2. 4

57.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为a, b, c ,且
a sin A ? b sin B ? c sin C ?

2a sin B

(I)求角 C; (II)求 3 sin A ? cos ? B ?
? ?

??

? 的最大值. 4?

【答案】

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58.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )在△ABC 中,已知 A=

?
4

, cos B ?

2 5 5

.

(I)求 cosC 的值;

(Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.
2 5 5

【答案】解:(Ⅰ) ? cos B ?

且 B ? (0 ,180 ) ,∴ sin B ?
3? 4

?

?

1 ? cos

2

B ?

5 5

cos C ? cos(? ? A ? B ) ? cos(
3? 4 3? 4
1 ? cos

? B)

? cos

cos B ? sin

sin B ? ?

2 2
2

?

2 5 5

?

2 2

?

5 5

??

10 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 由正弦定理得
BC ?

C ?

1 ? (?

10 10

)

2

?

3 10 10

AB

,即
2 5 2 2 ? 3 AB 10 10

,解得 AB ? 6

sin A sin C

在 ?BCD 中, CD 2

? (2 5 ) ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 5 ?

2

2

2 5 5

? 5 ,所以 CD ?

5

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59. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?
3

]上

单调递增,在区间 [

? 2?
, 3 3

] 上单调递减;如图,四边形 OACB 中, a , b , c 为 △ ABC 的内角 A,B,C

4?

的对边,且满足

sin B ? sin C sin A

? cos B ? cos C

?

3 cos A

.

(Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ?AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 ,求四边形 OACB 面积的最大值.
C

B

?
O
A

【答案】解:(Ⅰ)由题意知:
? sin B ? sin C sin A ?

2?

?

?

4? 3

,解得: ? ?

3 2

,

2 - cos B - cos C cos A

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A
? sin ( A ? B ) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A

? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a

(Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形
SOACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? 1 2 OA ? OB sin ? ? 3 4 AB
2

? sin ? ?

3 4

(OA ? OB -2OA ? OB cos ? )
2 2

? sin ? -

3 cos ? ?

5 3 4

? 2 sin (? -

?
3

)?

5 3 4

,

?? ? (0,? ) ,?? -

?
3

?(-

? 2?
3

, ), 3

当且仅当 ? -

?
3

?

?
2

即 , ? ?

5? 6

时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ?

5 3 4

60.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为

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a, b, c , A, B 为锐角且 B ? A , sin A ?

5 5

,

sin 2 B ?

3 5

.

(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ? 5 ? 1 ,求 a, b, c 的值.
5 5

【答案】解:(Ⅰ)∵ A 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ?

1 5

?

2 5

∵ B ? A , sin A ?

5 5

?

2 2

,∴ B ? 45

?

∵ sin 2 B ?

3 5

,∴ cos 2 B ? 1 ?

9 25

?

4 5
1 10
2 5 3 10 1 5 1 10 2 2

∴ cos B ?

1 ? cos 2 B 2

?

3 10

, sin B ?

cos C ? ? cos( A ? B ) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ?

?

?

?

??

∴ C ? 135

?

(Ⅱ)由正弦定理

a sin A
1

?

b sin B
2 2

?

c sin C

?k

∴ b ? c ? 5 ? 1=(

+

)k ,解得 k ?

10

10

∴a ?

2, b ? 1, c ?

5.

61 . 山 东 省 滨 州 市 2013 届 高 三 第 一 次 ( 3 月 ) 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量 (
m ? ( 3 cos x 4 , cos x 4 ), n ? (sin x 4 , cos x 4 ), 函数 f ( x ) ? m ? n .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)在锐角 ? ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 a cos C ?
【答案】
1 2 c ? b, 求 f (2 B ) 的取值范围.

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62.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 且

满足 ? 2b ? c ? cos A ? a cos C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2, c ? 3 ,求 | AB ? AC | .
【答案】解:(1)由正弦定理可得: 2 sin B cos A ? sin C cos A ? cos C sin A,
? 2 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

??? ?

??? ?

? sin B ? 0,? cos A ?

1 2

.

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?A?

?
3

.

??? ??? 2 ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? (2) AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB AC cos A

? 7 ? 2 3.

??? ??? ? ? ? AB ? AC ?

7?2 3

63 . ( 山 东 省 潍 坊 市 ?
f ( x ) ? 2 2 cos(x ? 4

) cos( ? x

2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数 ?
)? 2 2 sinx cos . x 4

(I)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数 y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的图象,并说明 y ? f ( x) 的图象 是由 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到的.
【答案】

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64 . ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数
?? ? f ( x ) ? a.b, 其中向量a ? (2 cos x1), b ? (cos x, 3 sin 2 x), x ? R

(1)求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)若 x ? [?
【答案】

?
4

, 0] ,求函数 f ( x ) 的值域;

65 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数
f ( x) ? 3 sin(? ? ? x ) ? sin(

?
2

? ? x )( >0 ) 的 图 像 上 两 相 邻 最 高 点 的 坐 标 分 别 为 ?
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?? ? 4? , 2? ? , 2? 和? ?3 ? 3

(1)求 ? 的值; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 2 求
【答案】
b ? 2c a

的取值范围.

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