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初高中数学衔接教材


初高中数学 衔接教材

德江县第二中学数学组

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乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 ; (2)完全平方公式 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 . (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b3 ; (2)立方差公式 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b3 ; (3)三数和平方公式 (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ; (4)两数和立方公式 (a ? b)3 ? a3 ? b3 ? 3a2b ? 3ab2 ; (5)两数差立方公式 (a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 . 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x ? x ? 1)( x ? x ? 1) . 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a2 ? b2 ? c2 的值.
2 2

1.填空: a 2 ? b 2 ? ( b ? a) ( 2.选择题: (1 若 x 2 ? mx ? k 是一个完全平方式, k 等于 则 (A) m 2 (B) m 2 第一讲
1 4

1 9

1 4

1 2

1 3

) ;

1 2

( (D)
1 2 m 16



(C) m 2 因式分解

1 3

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法,另外还应了解求根法及待定系数法. 一般二次三项式 ax2 ? bx ? c 型的因式分解 大家知道, (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 . 反过来,就得到: a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项 c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成

a1 a2

c ?c12 ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a c ? a c ,如果它正好等于
1 2 2 1

ax 2 ? bx ? c 的一次项系数 b ,那么 ax2 ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ,其中

a1 , c1 位于上一行, a2 , c2 位于下一行.
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这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫 做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次 尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解. 例1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby2 ; (2)x2+4x-12;

(4) xy ?1 ? x ? y .

一、填空题: 1、把下列各式分解因式: (1) x 2 ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 (2) x 2 ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 (3) x 2 ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 (4) x 2 ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 2、若 x 2 ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ? ,b ? 2.提取公因式法 例2 分解因式: (1)
a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b?

(2) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x

= [( x ?1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x2 ? 3) 课堂练习: 一、填空题: 1、多项式 6 x 2 y ? 2 xy2 ? 4 xyz 中各项的公因式是_______________。 2、 m?x ? y? ? n? y ? x? ? ?x ? y? ? __________________。 3:公式法 例3 分解因式: (1) ? a 4 ? 16 (2) ?3x ? 2 y?2 ? ?x ? y?2

课堂练习 一、 a 2 ? 2ab ? b2 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 的公因式是______________________________。 二、把下列各式分解 1、 ? 9?m ? n?2 ? ?m ? n?2 3、 4 ? ?x2 ? 4x ? 2? 4.分组分解法
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2

2、 3 x 2 ?

1 3

4、 x 4 ? 2 x 2 ? 1

例4

(1) x 2 ? xy ? 3 y ? 3x

(2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 .

课堂练习:用分组分解法分解多项式(1) x 2 ? y 2 ? a2 ? b2 ? 2ax ? 2by (2) a 2 ? 4ab ? 4b2 ? 6a ? 12b ? 9

第二讲 2.1

函数与方程

一元二次方程

2.1.1 根的判别式 {情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,
如求方程的根(1) x ? 2 x ? 3 ? 0 (2) x ? 2 x ? 1 ? 0 (3) x ? 2 x ? 3 ? 0 }
2 2 2

我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变 形为
(x ? b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2



因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不 相等的实数根
?b ? b2 ? 4ac x1,2= ; 2a

(2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数 根

x1=x2=-

b ; 2a b 2 ) 2a

(3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ?

一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别 式,通常用符号“Δ ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根

x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a
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(2)当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根

x1=x2=-

(3)当 Δ <0 时,方程没有实数根.

例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实 数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化,于是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分 类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的 解题中会经常地运用这一方法来解决问题. 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1 ? ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

则有
?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ? ,x1·x2 = .这一关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其 两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1·x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于 x1,x2 是一 元二次方程 x2+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x +x1·x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0. 例 2 已知方程 5x2 ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值, 再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来 解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利 用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值. 例3 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值.
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b a

c a

分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得 到关于 m 的方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给 的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1·x2=m2+4. ∵x12+x22-x1·x2=21, ∴(x1+x2)2-3 x1·x2=21, 即 [-2(m-2)]2-3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ >0,满足题意; 当 m=17 时, 方程为 x2+30x+293=0, =302-4×1×293<0, Δ 不合题意, 舍去. 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所 对应的 m 的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的 判别式 Δ 是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根. 、 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求
1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3)x13+x23. 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会 遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则 ?b ? b ? 4ac , ?b ? b ? 4ac , x ? x ?
2
2

1

2a

2

2a

∴| x1-x2|= ?b ?
?

b ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? 2a 2a 2a
2

b2 ? 4ac ? ? |a| |a|


? (其 |a|

于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0 a≠0) 则| x1-x2|= ( ,

中 Δ =b2-4ac) . 今后, 在求一元二次方程的两根之差的绝对值时, 可以直接利用上面的结论. 2 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x -x+a-4=0 的一根大于零、另一根小
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于零,求实数 a 的取值范围. 练 习 1.方程 x2 ? 2 3kx ? 3k 2 ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 2.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等 的实数根? 3.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值. 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质

{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象, 如作图(1) y ? x2 (2) y ? ? x2 (3) y ? x2 ? 2x ? 3 教师可采用计算机绘图软件 辅助教学} 问题 1 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y= x2,y=-2x2 的图象,通 过这些函数图象与函数 y=x2 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax2 与 y=x2 的 图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? 2 x ? 9 4 1 0 1 4 9 ? 2 2x ? 18 8 2 0 2 8 18 2 从表中不难看出,要得到 2x 的值,只要 把相应的 y 2 2 y=x2 y=2x x 的值扩大两倍就可以了. 2 再描点、 连线, 就分别得到了函数 y=x , y = 2x2 的 图象(如图 2-1 所示) ,从图 2-1 我们可 以得到这 2 两个函数图象之间的关系: 函数 y=2x 的图 象可以由 2 函数 y=x 的图象各点的纵坐标变为原来的 两 倍 得 到. x O 同学们也可以用类似于上面的方法画出 函数 y=
1 2

1 2

x2,y=-2x2 的图象,并研究这两个函数

图 2.2-1

图象与函

数 y=x2 的图象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到. 在二次函数 y=ax2(a≠0)中, 二次项系数 a 决定了图象的开口方向和
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在同一个坐标系中的开口的大小. 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系? 同样地, 我们可以利用几个特殊的函 数图象之 y 间的关系来研究它们之间的关系.同学 们可以作 y=2(x+1)2+1 2 2 出函数 y=2(x+1) +1 与 y=2x 的图象 (如图 2- 2 y=2(x+1) 2 所示) ,从函数的同学我们不难发现, 只要把函 2 y=2x2 数 y=2x 的图象向左平移一个单位,再 向上平移 2 一个单位,就可以得到函数 y=2(x+1) +1 的图 象.这两个函数图象之间具有“形状相 同, 位置不 同”的特点. 类似地,还可以通过画函数 y =- 3x2,y=- 3(x-1)2+1 的图象,研究它们图象之间 的相互关 x -1 O 系. 图 2.2-2 通过上面的研究, 我们可以得到以下 结论: 2 二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方 向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定 了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的 方法: 由于 y=ax2+bx+c=a(x2+ x )+c=a(x2+ x +
? a( x ? b 2 b2 ? 4ac ) ? , 2a 4a
b a b a

b2 b2 )+c- 4a 4a 2

所以, =ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平 y 移、上下平移得到的,于是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当 a >0 时,函数 y = ax2 + bx + c 图象开口向上;顶点坐标为
b b b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小; 2a 2a 2a 4a b b 4ac ? b 2 ? ? 当 x> 时, 随着 x 的增大而增大; x= y 当 时, 函数取最小值 y= . 2a 2a 4a

(?

(2)当 a <0 时,函数 y = ax2 + bx + c 图象开口向下;顶点坐标为
b b b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大; 2a 2a 2a 4a b b 4ac ? b 2 当 x> ? 时, 随着 x 的增大而减小; x= ? 时, y 当 函数取最大值 y= . 2a 2a 4a

(?

上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出 来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合 的思想方法来解决问题. y b 4ac ? b2 y
x=-

b 2a

A (?

2a

,

4a

)

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O

x

O

x

b 4ac ? b2

b

例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)? 并画出该函数的图象. 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, A( - y ∴函数图象的开口向下; 1,4) 对称轴是直线 x=-1; 顶点坐标为(-1,4); D(0,1) 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x >-1 O B x C 时,y 随着 x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)),与 x 轴交 x=-1 于点 B (
2 3 ?3 , 0) 和 3

C (?

2 3 ?3 , 0) ,与 3

y 轴的交点

图 2.2- 5

为 D(0,

1),过这五点画出图象(如图 2-5 所示) . 说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直 接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. 函数 y=ax2+bx+c 图象作图要领: (1) 确定开口方向:由二次项系数 a 决定 (2) 确定对称轴:对称轴方程为 x ? ?
b 2a

(3) 确定图象与 x 轴的交点情况,①若△>0 则与 x 轴有两个交点,可由 方程 x2+bx+c=0 求出②①若△=0 则与 x 轴有一个交点,可由方程 x2+bx+c=0 求出③①若△<0 则与 x 轴有无交点。 (4) 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c,所以交点坐标为(0, c) (5) 由以上各要素出草图。 练习:作出以下二次函数的草图 (1) y ? x2 ? x ? 6 (2) y ? x2 ? 2x ? 1 (3) y ? ? x2 ? 1 练 习 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2
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(C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.2.2 二次函数的三种表示方式





通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种 表示方式, 我们先来研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有

ax2+bx+c=0.



并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵 坐标为零) ,于是,不难发现,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与 方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ =b2 -4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判 别式 Δ =b2-4ac 存在下列关系: (1) Δ >0 时, 当 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点; 反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ >0 也成立. (2)当 Δ =0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线 的顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ =0 也成立. (3)当 Δ <0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ <0 也成立. 于是, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1, 0), (x2, B 0), 2 则 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,所以
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c a b c 即 =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 所以,y=ax2+bx+c=a( x 2 ? x ? ) a a

x1+x2= ? ,x1x2= ,

b a

= a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其 函数关系式可以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一 般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题. 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且 图象经过点(3,-1) ,求二次函数的解析式. 分析:在解本例时, 要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置, 从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, 所以,2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) , 2 ∴ ?1 ? a(3 ? 2) ? 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶 点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要 充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题. 练 习 1.选择题: (1) 函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确、 1 ( 2 ) 函 数 y = - (x + 1)2 + 2 的 顶 点 坐 标 是 2 ( )
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(A)(1,2)

(B)(1,-2) 2.2.3

(C)(-1,2)

(D)(-1,-2)

二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可 以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改 变函数图象的位置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时, 只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可. 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所 对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位. 分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次 项系数) ,所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项) , 所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二 次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式. 解:二次函数 y=2x2-4x-3 的解析式可变为 y=2(x-1)2-1, 其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位 后,其函数图象的顶点坐标是(3,-2),所以,平移后所得到的函数图象对应 的函数表达式就为 y=2(x-3)2-2. (2)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位 后,其函数图象的顶点坐标是(-1, 2),所以,平移后所得到的函数图象对应 的函数表达式就为 y=2(x+1)2+2. 2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,有 什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换 时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状, 因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点 位置和开口方向来解决问题.

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例 2 求把二次函数 y=2x2 - 4x + 1 y 的图象关于下列直线对称后所 得到图象 x=-1 对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1. 解: (1)如图 2.2-7,把二 次函数 y 2 O x =2x -4x+1 的图象关于直线 x =-1 作 A(1,-1) A1(-3,-1) 对称变换后,只改变图象的顶点 位置,不 改变其形状. 图 2.2-7 由于 y=2x2-4x+1=2(x- 1)2-1, 可 2 知,函数 y=2x -4x+1 图象的顶点为 A(1,-1),所以,对称后所得到图象的 顶点为 A1(-3,1),所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x=-1 对 称后所得到图象的函数解析式为 y=2(x+3)2-1,即 y=2x2+12x+17. (2)如图 2.2-8,把二次函数 y= 2x2 - 4x + y 1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换后, 只改变图 B(1,3) 象的顶点位置和开口方向,不改变其形 状. 2 2 由于 y=2x -4x+1=2(x-1) -1, 可 知,函数 y y=1 2 =2x -4x+1 图象的顶点为 A(1,-1), 所 以, 对称后 O x 所得到图象的顶点为 B(1,3),且开口向 下,所以, 2 A(1,-1) 二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 y =1 对称 后所得到图象的函数解析式为 y=-2(x -1)2+3, 图 2.2-8 即 y=-2x2+4x+1. 练 习 1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象向左平移 2 个单位,向下平移 3 个单位, 所 得 图 象 对 应 的 解 析 式 为 ( ) (A)y= (x+1)2+1 (B)y=-(x+1)2+1 (C)y=-(x-3)2+4 (D)y=-(x-3)2+1

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