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3.函数奇偶性与周期性

第三讲:函数的奇偶性、周期性 一.奇偶性
1.定义:
若函数定义域关于原点对称,则 对于定义域内的任意 x,都有 f(x) -f(-x)=0 成立 ? f(x) =f(-x) ? f(x)为偶函数; f 对于定义域内的任意 x,都有(x)+f(-x)=0 成立 ? f(x) =-f(-x) ? f(x)为奇函数。

2.判别方法:定义法, 3.性质:

图像法 ,复合函数法

(0)f(x)与-f(x)有相同的奇偶性; f ( x)与

1 有相同的奇偶性;奇 ? 奇=奇;偶 ? 偶=偶;奇 ? f ( x)

奇=偶;偶 ? 偶=偶;若 f(x)是偶函数,则只要g(x)具有奇偶性,f(g(x))都是偶函数;若g(x)是偶 函数,则不论 f(x)有没有奇偶性,f(g(x))都是偶函数;若 f(x)和g(x)都是奇函数,则 f(g(x))是奇函 数; ⑴奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; ⑵若奇函数 f(x)在 x=0 时有意义,则 f(0)=0,; ⑶奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数相反; ⑷若奇函数在区间(a,b)上的值域为(m,M) ,则其在(-b,-a)上的值域必为(-M,-m) ;若偶 函数奇函数在区间(a,b)上的值域为(m,M) ,则其在(-b,-a)上的值域也为(m,M) ; ⑸若奇函数在区间(a,b)上的最大值为 M,则其在(-b,-a)上的最小值必为-M;若偶函数奇函 数在区间(a,b)上的最大值为 M,则其在(-b,-a)上的最大值也为 M; ⑹奇函数(偶函数)在对称区间上的零点的个数相同。

二.周期性
1.定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。
其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期.

2. 性 质 : ⑴ 若 对 任 意 的
f ( x) ?

x , f(x) = - f(x + a ) ( a > 0 ) 则 T = 2 a ; 若 对 任 意 的 x , ,

1 1 (或) ,则T=2a; f ( x ? a) f ( x ? a)
1

⑵若对任意的 x f ( x +a) ?

1 ? f ( x) ,则T=4a; 1 ? f ( x)

⑶若 f(x)的图像关于 x=a和x=b对称,则T=2 a ? b ;若 f(x)的图像关于(a,0)和(b,0) 对称,则T=2 a ? b ; ⑷若 f(x)的图像关于 x=a和(b,0)对称,则T=4 a ? b 。

三.函数图像的对称性问题:
定理 1 若对于任意 x 都有 f(a-x)=f(b+x) ,则函数 f(x)的图像关于直线 x=

a?b 对称。 2

特别的,若对于任意 x 都有 f(a-x)=f(a+x) (或者 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x) ) 的图像关于直线 x= a 对称。 定理 2 若若对于任意 x 都有 f(a-x)+f(a+x)=2b(或者,则函数 f(x)的图像关于点 (a, b) 对称。特别的,若对于任意 x 都有 f(a-x)+f(a+x)=2b(或者 f(2a-x)+f(x)=2b) , 则函数 f(x)的图像关于点 (a, b) 对称。

五.练习:
1.判断下列函数的奇偶性:

?1n( x ? 1 ? x )( x ? 0) ? 16 x ? 1 ? 2 x (1) f ( x) ? ;(2) f ( x) ? ?0 ( x ? 0) x 2 ? ?1n( 1 ? x ? ? x )( x ? 0)
(3) f ( x) ? 1og 2 ( 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ? 1)
(1)函数定义域为 R,

f (? x) ?

16 ? x ? 1 ? 2 ? x 1 1 ? 16 x 16 x ? 1 ? 2 x ? 2x ?1 ?1 ? 2x ? ?1 ? ? f ( x) , 2?x 16 x 4x 2x

∴f(x)为偶函数; (另解)先化简: f ( x) ?

16 x ? 1 ? 1 ? 4 x ? 4 ? x ? 1 ,显然 f (x) 为偶函数; x 4

从这可以看出,化简后再解决要容易得多. (2)须要分两段讨论:
2

①设 x ? 0,? ? x ? 0,? f (? x) ? 1n( 1 ? x ? x ) ? 1n ②设 x ? 0,? ? x ? 0,? f (? x) ? 1n( ? x ? 1 ? ? x ) ? 1n

1 x ?1 ? x
1

? ?1n( x ? 1 ? x ) ? ? f ( x);
? ?1n( 1 ? x ? ? x ) ? ? f ( x)

1? x ? ? x

③当 x=0 时 f(x)=0,也满足 f (-x)=-f (x); 由①、②、③知,对 x∈R 有 f (-x) =-f (x), ∴f (x)为奇函数;

?1 ? x 2 ? 0 ? ? x 2 ? 1 ,∴函数的定义域为 x ? ?1 , (3)? ? 2 ?x ? 1 ? 0 ?
∴f(x)=log21=0(x=±1) ,即 f(x)的图象由两个点 A(-1,0)与 B(1,0)组成,这两点既关于 y 轴 对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数; 2.函数 y ? 1 ? x ? A.奇函数

x ?1 是

(

D ) D.非奇非偶函数

B.偶函数
2

C.既是奇函数又是偶函数

3.已知 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 [a ? 1, 2a] .则 a ? _ 4.若 f ( x) ?

1 ,b ? 3

0

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x



1 2

解析

1 2x 解法 1 f (? x) ? ? x ?a ? ? a, f ( ? x ) ? ? f ( x ) 2 ?1 1 ? 2x ? 2x 1 1 2x 1 ? a ? ?( x ? a ) ? 2a ? ? ? 1故a ? x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2
.-3

5.设函数 y ? f (x) 是奇函数. 若 f (?2) ? f (?1) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? 3 ,则 f (1) ? f (2) ?

6. 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则 当

x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ?

-x-x . .

4

7.已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? x( x ? 1) .若 f (a) ? ?2 , 当 则实数 a ?

?1
a (a ? R) ,则下列结论正确的是( ) x A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数
8.若函数 f ( x) ? x ?
2

C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数 9 已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( (A) ( A ) D.[

1 3

1 2 , ) 3 3

B.[

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

1 2 , ) 2 3

10.已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数, 若对于 x ? 0 , 都有 f ( x ? 2) f ( x) , 且当 x ? [0, 2) 时, ?

3

f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 )
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2



C )

11.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则 ( D A. f ?6? ? f ?7 ? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7 ? ? f ?9? )

D. f ?7? ? f ?10 ? 则

12.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, f ? x?

f ? f ? 5 ? ? ? _______ - 1 ___。
5

13.定义在 R 上的函数 f ? x ? 是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则

f ?1? ? f ?4? ? f ?7? 等于
A.-1 B.0

( B ) C.1 D.4

14.设 f(x)是定义在 R 上的函数,且在(-∞,+∞)上是增函数,又 F(x)=f(x)-f(-x),那么 F(x)一 定是 ( A ) B.奇函数,且在(-∞,+∞)上是减函数 D.偶函数,且在(-∞,+∞)上是减函数

A.奇函数,且在(-∞,+∞)上是增函数 C.偶函数,且在(-∞,+∞)上是增函数

4


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