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广东省揭阳市2011届高三第一次模拟考试(数学文)(word版,含答案)


揭阳市 2011 年高中毕业班高考第一次模拟考

数 学 (文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V = 参考公式

1 Sh ,其中 S 表示底面积,h 表示高. 3

选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 U = {0,2, 4,6,8,10} , A = {2,4,6} ,则 CU A = A. {2, 4,6} B. {0,8,10} C. {6,8,10} D. {8,10}

2. 函数 f ( x) = 2 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是 A. ( ?∞, 2] 3. 已知复数 z = A.充要条件 B. (2, +∞ ) C. (1, 2] D. (1, +∞ )

(tan θ ? 3)i ? 1 π ,则“ θ = ”是“ z 是纯虚数”的 i 3
B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 设向量 a = (1, 2), b = ( ?2, y ), 若a / / b, 则 | 3a + b | 等于 A. 5 B. 6 C. 17 D. 26

r

r

r

r

r r

5. 已知双曲线

x2 y2 ? = 1 ( a >0, b >0)的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y 2 = 16 x 的焦点 a2 b2

相同,则双曲线的渐近线方程为. A. y = ±

3 x 2

B. y = ±

3 x 2

C. y = ±

3 x 3

D. y = ± 3x

-1-

6. 已知函数 y = ? 的 图象大致是
y

? f ( x), x > 0 是偶函数, f ( x) = log a x 的图象过点 (2,1) ,则 y = g ( x ) 对应 ? g ( x), x < 0.

y

y

y

o

x

o

x

o

x

x o

A. 7. 已知 α 为锐角,且 cos(α +

B.

C.

D.

π

4 ) = , 则 cos α 的值为. 6 5

A.

4?3 3 10

B.

4+3 3 10

C.

4 3 ?3 10

D.

4 3+3 10

8. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图 (又称主视图) 、侧视图(又称左视图)如右图 所示,则其俯视图为.
正侧侧 侧侧侧

9. 已知函数 f ( x ) = sin ω x ? 3 cos ω x (ω > 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

A

B

C

D

π
2

,则为得到函数 y = f ( x) 的图象可以把函数 y = sin ω x 的图象上所有的点. A.向右平移

π
6

,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的 2 倍; ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的 2 倍; ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的

B. 向右平移 C.向左平移 D.向左平移

π
3

π

12

π

1 倍; 2

12

,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的 2 倍.

10. 直线 y = kx + 3 与圆 ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 4 相交于 M、N 两点,若 MN ≤ 2 3 ,则 k 的 取值范围是

-2-

A. [ ? 3, 3]

B. (0, 3]

C. (?∞, ?

3 3 ] U [ , +∞) 3 3

D. [ ?

3 3 , ] 3 3

填空题: 小题, 小题, 二. 填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 必做题(11~ (一)必做题(11~13 题) 11. 已 知 α ∈ {?1, ,1, 2} , 则 使 函 数 y = x 为 . .

1 2

α

在 [0, +∞ ) 上 单 调 递 增 的 所 有

α 值

12. 已知函数 f ( x ), g ( x ) 分别由下表给出:则满足 f ( g ( x)) = g ( f ( x )) 的 x 值为

x

1 1

2 3

3 1

4 3

x g ( x)

1 3

2 2

3 3

4 2

f ( x)

13. 某市新年第一个月前 10 天监测到空气污染指数如下表 (主要污染物为可吸入颗粒物)(第 i 天监测得到的数据记为 ai ) :

开开 S=0

i =1 输输a i S=S+(a i-a)2 否 i =i+1

i ai

1 61

2 59

3 60

4 57

5 60

6 63

7 60

8 62

9 57

10 61

i ≥10?

在对上述数据的分析中,一部分计算见右图所示的算法流程图, 则这 10 个数据的平均数 a = ,输出的 S 值是_ ,

是 S=S/10 输输S 结结

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14、 14.(几何证明选做题)如图所示,圆的内接三角形 ABC 的角平分线 BD 与 AC 交于点 D,与圆交于点 E,连结 AE,已知 ED=3,BD=6 , 则线段 AE 的长= .

第 13 题图

15. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1 : ?

? x = 1 ? 2t , ? x = s, (t为参数) , l2 : ? ? y = 2 + kt. ? y = 1 ? 2 s.
C

B

( s 为参数) ,若 l1 // l2 ,则 k = 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是首项为2,公比为 (1)求数列 {an } 的通项 an 及 Sn ;

;若 l1 ⊥ l2 ,则 k =


E

D A

1 的等比数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和. 2

(2)设数列 {bn + an } 是首项为-2,公差为2的等差数列,求数列 {bn } 的通 项公式及其前 n 项和 Tn .
-3-

第 14 题图

17. (本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量值落在 (495, 510] 的产品为合格品,否 则为不合格品.表 1 是甲流水线样本频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图.
0.09

频频/组组

产产重重(克)

频频 6 8 14 8

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03

(49 0,49 5] (49 5,50 0] (50 0,50 5] (50 5,51 0] (51 0,51 5]

0.02 0.01 0

490 495 500 505 510

515

4

(重重/克)

表1: (甲流水线样本频数分布表)

图 1: (乙流水线样本频率分布直方图)

(1)根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线分别任取1件产品,该产品恰好是合格品 的概率分别是多少; (3)由以上统计数据完成下面 2 × 2 列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量 与 两条自动包装流水线的选择有关” . 甲流水线 合格品 不合格品 合 计 乙流水线 合计

a= c=

b= d=

n=

附:下面的临界值表供参考:
p( K ≥ k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式: K =
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n = a + b + c + d ) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
E F

18.(本小题满分 14 分) 已知如图:平行四边形 ABCD 中, BC = 6 ,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD = 2, DB = 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积. 19. (本小题满分 14分)
-4C

H

G

D B

A

A

C B

如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水 平面内沿南偏西 60°的方向以每分钟 100 米的速度步行了 1分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已 知沿途塔的仰角 ∠AEB = α , α 的最大值为 60 . (1)求该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了 几分钟; (2)求塔的高 AB. 20.(本小题满分 14 分)
o

在直角坐标系 xoy 上取两个定点 A1 ( ?2, 0), A2 (2, 0) ,再取两个动点 N1 (0, m), N 2 (0, n) , 且 mn = 3 . (1)求直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 G (1, 0) 和 G '( ?1, 0) ,点 P 在轨迹 M 上运动,现以 P 为圆心,PG 为半径作 圆P,试探究是否存在一个以点 G '( ?1, 0) 为圆心的定圆,总与圆 P 内切?若存在, 求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =

1 3 x ? (2a + 1) x 2 + 3a (a + 2) x + 1 , a ∈ R . 3

(1)当 a = 0 时,求曲线 y = f ( x) 在点(3, f (3) )处的切线方程; (2)当 a = ?1 时,求函数 y = f ( x) 在 [0, 4] 上的最大值和最小值; (3)当函数 y = f '( x) 在 0, 4) ( 上有唯一的零点时,求实数 a 的取值范围.

揭阳市 2011 年高中毕业班高考第一次模拟考

数学(文科)参考答案及评分说明

-5-

一. 解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二. 计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续 部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三. 答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 给整数分数. 选择题: 一.选择题:BCCAD BDCAC 解析: 解析: 3. z =

(tan θ ? 3)i ? 1 π = (tan θ ? 3) + i ,当 θ = 时, z = i 是纯虚数,反之当 z 是 i 3

纯虚数时, θ 未必为

π
3

,故选 C.

4. a / / b ? y = ?4 ? 3a + b = (1, 2) ?| 3a + b |=

r

r

r

r

r

r

5 ,选 A.

5. 依题意得双曲线的半焦距 c = 4 ,由 e =

c = 2 ? a = 2 ,∴ b = c 2 ? a 2 = 2 3 ,∵双曲 a

线的焦点在 x 轴,∴双曲线的渐近线方程为 y = ± 3 x .选 D. 6. 依题意易得 f ( x) = log 2 x ( x > 0 )因函数的图象关于 y 轴对称,可得 g ( x) = log 2 ( ? x) ( x < 0 ),选 B. 7. cos α = cos ?? α +

??

π? π?

??

=L = ?? 6 ? 6? ?

4 3+3 .选 D. 10

8. 依题意可知该几何体的直观图如右,其俯视图应选 C. 9. 依题意知 ω = 2 ,故 f ( x) = 2 sin(2 x ?

π

) = 2 sin 2( x ? ) ,故选 A. 3 6 3 ,再结合图形可得答案 C. 3

π

10.当|MN|= 2 3 时,圆心到直线的距离为 1,可求出 k = ±

或设圆心到直线 y = kx + 3 的距离为 d ,则 d =

| 2k | k 2 +1

,由 (

| MN | 2 ) = 4? d2 2

且 MN ≤ 2 3 得 3k ≥ 1 ? k ≥
2

3 3 或k ≤ ? . 3 3

-6-

填空题: 二. 填空题:11. 解析: 解析:

1 ,1, 2 ;12. 2, 4、 13. 60、3.4、 ; ;14. 3 3 ;15. 4、-1. 2
C D

B

12. 将 x = 1, 2, 3, 4 依次代入方程 f ( g ( x)) = g ( f ( x )) 检验,易得 x = 2, 4
E

A

14. ∵ ∠E = ∠E , ∠EAD = ∠EBA ∴ ?EDA ∽ ?EAB ?

AE ED = BE AE

? AE 2 = ED ? BE = 3 × 9 ? AE = 3 3 .
15. 将 l1 、 l2 的方程化为直角坐标方程得: l1 : kx + 2 y ? 4 ? k = 0 , l2 : 2 x + y ? 1 = 0 ,

由 l1 // l2 得 三.解答题: 解答题: 解答题

k 2 4+k = ≠ ? k = 4 ,由 l1 ⊥ l2 得 2k + 2 = 0 ? k = ?1 2 1 1

16. 解: (1)∵数列 {an } 是首项 a1 = 2 ,公比 q =

1 的等比数列 2

∴ an = 2 ? ( )

1 2

n ?1

= 22 ? n ,------------------------------ 分 ------------------------------3

Sn =

2(1 ?

1 ) 2 n = 4(1 ? 1 ) .------------------------------------- 分 -------------------------------------6 ------------------------------------1 2n 1? 2

(2)依题意得: bn + an = ?2 + 2( n ? 1) = 2n ? 4 ------------------------------- 分 -------------------------------7 ∴ bn = 2n ? 4 ? an = 2n ? 4 ? 2
2?n

---------------------------------------9 --------------------------------------- 分

设数列 {bn + an } 的前n项和为 Pn 则 Pn =

n(?2 + 2n ? 4) = n(n ? 3) ------------------------------------- 分 -------------------------------------10 2 1 ) = n 2 ? 3n ? 4 + 22 ? n .------------------ 分 ------------------12 -----------------2n

∴ Tn = Pn ? S n = n( n ? 3) ? 4(1 ?

17. 解: (1)甲流水线样本的频率分布直方图如下:
-7-

----------------------4 ---------------------- 分 (2)由表1知甲样本中合格品数为 8 + 14 + 8 = 30 ,由图1知乙样本中合格品数为

(0.06 + 0.09 + 0.03) × 5 × 40 = 36 ,故甲样本合格品的频率为

30 = 0.75 40

乙样本合格品的频率为

36 = 0.9 , 40

据此可估计从甲流水线任取1件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.75 从乙流水线任取1件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.9 .---------------- 分 ----------------6 ---------------(3) 2 × 2 列联表如下: 甲流水线 合格品 不合格品 合 计 乙流水线 合计 66 14

a = 30 c = 10
40

b = 36 d =4
40

n = 80
------10 ------ 分

n(ad ? bc) 2 80 × (120 ? 360) 2 ∵K = = ≈ 3.117 > 2.706 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 66 × 14 × 40 × 40
2

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.--------- 分 ---------12 --------18. (1)证法1:∵ EF // AD , AD // BC ∴ EF // BC 且 EF = AD = BC ∴四边形 EFBC 是平行四边形 ∴H 为 FC 的中点-------- 分 --------2 -------H G

E

F

又∵G 是 FD 的中点 ∴ HG // CD ---------------------------------------- 分 ----------------------------------------4 ∵ HG ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE
D C B A

-8-

∴GH∥平面 CDE -------------------------------------------------- 分 --------------------------------------------------7 证法2:连结 EA,∵ADEF 是正方形 ∴G 是 AE 的中点-------------------- 分 --------------------1 --------------------

∴在⊿EAB 中, GH // AB ------------------------------------------ 分 ------------------------------------------3 又∵AB∥CD,∴GH∥CD,----------------------------------------- 分 -----------------------------------------4 ----------------------------------------∵ HG ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE ------------------------------------------------ 分 ------------------------------------------------7 (2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD, ∴FA⊥平面 ABCD. ----------------------------------------------------9 分 -----------------------------------------------------------------------∵ BC = 6 , ∴ FA = 6 又∵ CD = 2, DB = 4 2 , CD + DB = BC
2 2

2

∴BD⊥CD----------------------------------------------------------- 分 -----------------------------------------------------------11 -----------------------------------------------------------

∴ S

ABCD

= CD ? BD = 8 2
1 S 3 1 ? FA = × 8 2 × 6 = 16 2 ------------------------- 分 -------------------------14 3
o o o o

∴ VF ? ABCD =

ABCD

19.解: (1)依题意知在△DBC 中 ∠BCD = 30 , ∠DBC = 180 ? 45 = 135 CD=100(m), ∠D = 180 ? 135 ? 30 = 15 ,------------ 分 ------------3 -----------o o o o

A

由正弦定理得

CD BC = sin ∠DBC sin ∠D

C B E D

∴ BC =

CD ? sin ∠D 100 × sin15 = sin ∠DBC sin135o

o

100 ×


6? 2 50( 6 ? 2) 4 -----------------6 = = 50( 3 ? 1) (m)----------------- 分 ----------------2 2 2

-9-

在 Rt△ABE 中, tan α =

AB BE

∵AB 为定长 ∴当 BE 的长最小时, α 取最大值 60°,这时 BE ⊥ CD -------- 分 --------8 当 BE ⊥ CD 时,在 Rt△BEC 中

EC = BC ? cos ∠BCE = 50( 3 ? 1) ?

3 = 25(3 ? 3) (m), ---------------- 分 ----------------9 2

设该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟, 则t =

EC 25(3 ? 3) 3 ? 3 = = (分钟)------------------------------- 分 -------------------------------10 ------------------------------100 100 4

(2)由(1)知当 α 取得最大值 60°时, BE ⊥ CD , 在 Rt△BEC 中, BE = BC ? sin ∠BCD ----------------------------------- 分 -----------------------------------12 ∴ AB = BE ? tan 60 = BC ? sin ∠BCD ? tan 60 = 50( 3 ? 1) ?
o o

1 ? 3 = 25(3 ? 3) (m) 2

即所求塔高为 25(3 ? 3) m. -------------------------------------------- 分 --------------------------------------------14

20.解: (1)依题意知直线 A1 N1 的方程为: y =

m ( x + 2) ---------------- -------- 分 ----------------①---------------2 2

直线 A2 N 2 的方程为: y = ?

n ( x ? 2) --------------------------- ------- 分 ---------------------------②-------------4 2
2

设 Q ( x, y ) 是直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点,①×②得 y = ?

mn 2 ( x ? 4) 4

由 mn = 3

整理得

x2 y 2 + = 1 --------------------------------6 分 4 3

∵ N1 , N 2 不与原点重合 ∴点 A1 ( ?2, 0), A2 (2, 0) 不在轨迹 M 上--------- 分 --7 --

x2 y 2 ∴轨迹 M 的方程为 + = 1 ( x ≠ ±2 )----------------------- 分 ---8 -4 3

- 10 -

(2)由(1)知,点 G (1, 0) 和 G '( ?1, 0) 为椭圆

x2 y 2 + = 1 的两焦点,------9 分 4 3

由椭圆的定义得 | PG ' | + | PG |= 4 ,即 | PG ' |= 4? | PG | 分 ∴以 G ' 为圆心,以 4 为半径的圆与

-----------------11

P 内切,

即存在定圆

G ' ,该定圆与 P 恒内切,其方程为: ( x + 1)2 + y 2 = 16 -----14 分 -

21.解: (1)当 a = 0 时, f ( x ) =

1 3 x ? x 2 + 1, 3

∴ f (3) = 1 ,

∵ f '( x ) = x 2 ? 2 x ----------------------------- 分 -----------------------------2

曲线在点 (3,1) 处的切线的斜率 k = f '(3) = 3

∴所求的切线方程为 y ? 1 = 3( x ? 3) ,即 y = 3 x ? 8 ---------------- 分 ----------------3

(2)当 a = ?1 时,函数 f ( x ) =

1 3 x + x 2 ? 3x + 1 3

2 ----------------∵ f '( x ) = x + 2 x ? 3 ,令 f '( x ) = 0 得 x1 = 1, x2 = ?3 -----------------5 分

x2 ? [0, 4] ,当 x ∈ (0,1) 时, f '( x) < 0 ,即函数 y = f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,
当 x ∈ (1, 4) 时, f '( x ) > 0 ,即函数 y = f ( x) 在 (1, 4) 上单调递增

∴函数 y = f ( x) 在 [0, 4] 上有最小值, f ( x )最小值 = f (1) = ?

2 ,--------------- 分 ---------------7 --------------3

又 f (0) = 1, f (4) = 26

1 3 1 3 2 .----- 分 -----8 ----3

∴当 a = ?1 时,函数 y = f ( x) 在 [0, 4] 上的最大值和最小值分别为 26 , ?

- 11 -

(3) ∵ f '( x) = x ? 2(2a + 1) x + 3a ( a + 2) = ( x ? 3a )( x ? a ? 2)
2

-----------------------------------------------10 ∴ x1 = 3a, x2 = a + 2 ----------------------------------------------- 分

①当 x1 = x2 时, 3a = a + 2 ,解得 a = 1 ,这时 x1 = x2 = 3 ,函数 y = f '( x) 在 (0, 4) 上 有 唯一的零点,故 a = 1 为所求;------------------------------------- 分 -------------------------------------11 ------------------------------------②当 x1 > x2 时,即 3a > a + 2 ? a > 1 ,这时 x1 > x2 > 3 ,

又函数 y = f '( x) 在 (0, 4) 上有唯一的零点,

∴?

?3 < x2 < 4, ?3 < a + 2 < 4, 4 ?? ? ≤ a < 2 ,----------------------- 分 -----------------------12 ----------------------3 ?3a ≥ 4. ? x1 ≥ 4.

③当 x1 < x2 时,即 a < 1 ,这时 x1 < x2 < 3

又函数 y = f '( x) 在 (0, 4) 上有唯一的零点,

∴?

? x1 ≤ 0, ?3a ≤ 0, ?? ? ?2 < a ≤ 0 ------------------------ 分 ------------------------13 ?0 < x2 < 3. ?0 < a + 2 < 3.

综上得当函数 y = f '( x) 在 (0, 4) 上有唯一的零点时,

?2 < a ≤ 0 或

4 ≤ a < 2 或 a = 1 .--------------------------------- 分 ---------------------------------14 --------------------------------3

- 12 -


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