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2016届高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; 2.理解全称量词与存在量词 的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知 识 梳 理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断

p
真 真 假 假 2.全称量词与存在量词

q
真 假 真 假

p且q
真 假 假 假

p或q
真 真 真 假

非p 假 假 真 真

(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“? ”表 示;含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)存在量词: 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词, 用“? ” 表示;含有存在量词的命题叫做特称命题. 3.含有一个量词的命题的否定 命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0) 命题的否定 ? x0∈M,?p(x0) ? x∈M,?p(x) 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)命题 p∧q 为假命题,则命题 p,q 都是假命题.(×) (2)若命题 p,q 至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.(√) (3)已知命题 p:? n0∈N,2n0>1 000,则?p:? n0∈N,2n0≤1 000.(×) (4)命题“? x∈R,x ≥0”的否定是“? x∈R,x <0”.(×) 2.(2014·重庆卷)已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;
2 2

q:x=1 是方程 x+2=0 的根.则下列命题为真命题的是(
A.p∧?q C.?p∧?q

) B.?p∧q D.p∧q

解析 由题意知,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,故?q 为真命题,所以 p∧?q 为
1

真命题. 答案 A 3.(2014·湖南卷)设命题 p:? x∈R,x +1>0,则?p 为( A.? x0∈R,x0+1>0 C.? x0∈R,x0+1<0
2 2 2 2 2

) B. ? x0∈R, x0+1≤0 D. ? x∈R, x +1≤0
2 2

解析 “? x∈R,x +1>0”的否定为“? x0∈ R,x0+1≤0”,故选 B. 答案 B 4.若命题“? x∈R,ax -ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析
? ?a<0, 当 a=0 时, 不等式显然成立; 当 a≠0 时, 由题意知? 2 ?Δ =a +8a≤0, ?
2

得-8≤a

<0.综上,-8≤a≤0. 答案 [-8,0] 5.(人教 A 选修 1-1P26A3 改编)给出下列命题: ①? x∈N,x >x ; ②所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0; ③? x0∈R,x0-x0+1≤0; ④存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 则以上命题的否定中,真命题的序号为________. 答案 ①②③
2 3 2

考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断 【例 1】 (1)(2014·辽宁卷)设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c =0,则 a·c=0;命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q C.(?p)∧(?q) B.p∧q D.p∨(?q) )

(2)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”,

q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
( ) A.(?p)∨(?q) C.(?p)∧(?q) 解析 (1)由于 a,b,c 都是非零向量, ∵a·b=0,∴a⊥b.∵b·c=0,∴b⊥c.如图,则可能 a∥c,∴a·c≠0,∴命题 p 是 假命题,∴?p 是真命题.命题 q 中,a∥b,则 a 与 b 方向相同或相反;b∥c,则 b 与 c 方 B.p∨(?q) D.p∨q

2

向相同或相反.故 a 与 c 方向相同或相反,∴a∥c,即 q 是真命题,则?q 是假命题,故 p ∨q 是真命题,p∧q,(?p)∧(?q),p∨(?q)都是假命题.

(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况:“甲、乙均没有 降落在指定范围”“甲降落在指定范围, 乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围, 甲 没有降落在指定范围”.选 A.或者,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于 命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题,即“p∧q”的否定.选 A. 答案 (1)A (2)A 规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假, 需先判断构成这个命题的每个 简单命题的真假, 再依据“或”——一真即真, “且”——一假即假, “非”——真假相反, 做出判断即可. 【训练 1】 (1)若命题 p:函数 y=x -2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q:函数
2

y=x- 的单调递增区间是[1,+∞),则( x
A.p∧q 是真命题 C.?p 是真命题

1

) B.p∨q 是假命题 D.?q 是真命题

(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件. 解析 (1)因为函数 y=x -2x 的单调递增区间是[1,+ ∞),所以 p 是真命题; 1 因为函数 y=x- 的单调递增区间(-∞, 0)和(0, +∞),
2

深度思考

常常借助集合的“并、

交、 补”的意义来理解由“或、 且、 非” 三个联结词构成的命题问题,你清楚 吗?

x

所以 q 是假命题.

所以 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,?p 为假命题,?q 为真命题,故选 D. (2)若命题“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题. 若命题“p∧q”为真命题,则 p,q 都为真命题,因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为 真命题的必要不充分条件. 答案 (1)D (2)必要不充分 考点二 全(特)称命题的否定及其真假判定 【例 2】 (1)(2014·安徽卷)命题“? x∈R,|x|+x ≥0”的否定是( A.? x∈R,|x|+x <0
2 2

)

B . ? x ∈ R , |x| +

x2≤0
C.? x0∈R,|x0|+x0<0
2

D.? x0∈R,|x0|+

3

x2 0≥0
(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中,真命题的是( A.? x∈R,x >0
2

) B. ? x∈R, -1<sin

x<1
C.? x0∈R,2 0<0 =2 解析 (1)全称命题的否定是特称命题, 即命题“? x∈R, |x|+x ≥0”的否定为“? x0 ∈R,|x0|+x0<0”.故选 C.(2)? x∈R,x ≥0,故 A 错;? x∈R,-1≤sin x≤1,故 B 错;? x∈R,2 >0,故 C 错,故选 D. 答案 (1)C (2)D 规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有:①找到命题所含的量词,没有量词 的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命 题“? x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立;要判断特称 命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立. 【训练 2】 命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 解析 “存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”.故选 C. 答案 C 考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 【例 3】 已知 p:? x∈R,mx +1≤0,q:? x∈R,x +mx+1>0,若 p∨q 为假命题, 则实数 m 的取值范围是( A.[2,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2 2 2 2 2 2

x

D.? x0∈R,tan x0

x

)

) B.(-∞,-2] D.[-2,2]

解析 依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,mx +1>0 恒成立,则有 m≥0; 当 q 是假命题时,则有 Δ = m -4≥0, m≤- 2 或 m≥2.因此由 p , q 均为假命题得
? ?m≥0, ? ?m≤-2或m≥2, ?
2

即 m≥2.

答案 A 规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简, 然后依据“p∨q”“p∧q”“?p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可. 【训练 3】 已知命题 p:“? x∈[0,1],a≥e ”;命题 q:“? x∈R,使得 x +4x+a
4
x
2

=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题 p,q 都是真命题.由? x∈[0,1],a≥e , 得 a≥e;由? x∈R,使 x +4x+a=0,知 Δ =16-4a≥0,a≤4,因此 e≤a≤4. 答案 [e,4] 微型专题 利用逻辑关系判断命题真假 2014 年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题,这也是今后高 考命题的新趋向,大家应加以重视,解决问题的关键是弄清实际问题的含义,结合数学的逻 辑关系进行转化. 【例 4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个 城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲:中国非第一名,也非第二名; 乙:中国非第一名,而是第三名; 丙:中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第 ________名. 点拨 找出符合命题的形式,根据逻辑分析去判断真假. 解析 (1)由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同 一城市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知, 乙去过的城市为 A. (2)由上可知:甲、乙、丙均为“p 且 q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”, 即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一 点评 在一些逻辑问题中, 当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时, 应从语句的 陈述中搞清含义, 并根据题目进行逻辑分析, 找出各个命题之间的内在联系, 从而解决问题.
2

x

[思想方法] 1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字 眼,要结合语句的含义理解.

5

2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p 与?p→ 真假相反. 3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写, 否定的规律是“改量词,否结论”. [易错防范] 1.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既 否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. 2.命题的否定包括:(1)对“若 p,则 q”形式命题的否定;(2)对含有逻辑联结词命题 的否定;(3)对全称命题和特称命题的否定,要特别注意下表中常见词语的否定. 词语 等于 大于 小于 是 一定是 都是 必有一个 任意的 且 或 至多有一个 词语的否定 不等于 不大于(或小于等于) 不小于(或大于等于) 不是 不一定是 不都是(至少有一个不是) 一个也没有 某一个 或 且 至少有两个

基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2014·湖北卷)命题“? x∈R,x ≠x”的否定是( A.? x?R,x ≠x C.? x?R,x ≠x 解析 原命题的否定为“? x∈R,x =x”. 答案 D 2.(2014·天津卷)已知命题 p:? x>0,总有(x+1)e >1,则?p 为( A.? x0 ≤0,使得(x0+1)e 0≤1
x x
2 2 2 2

) B.? x∈R,x =x D.? x∈R,x =x
2 2

)

6

B.? x0 >0,使得(x0+1)e 0≤1 C.? x>0,总有(x+1)e ≤1 D.? x≤0,总有(x+1)e ≤1 解析 命题 p 为全称命题,所以?p:? x0 >0,使得(x0+1)e 0≤1. 答案 B 3.(2015·海淀区模拟)已知命题 p:? x∈R,x +x-1<0,则?p 为( A.? x∈R,x +x-1>0 1≥0 C.? x?R,x +x-1≥0 >0 解析 含有存在量词的命题的否定, 需将存在量词改为全称量词, 并将结论否定, 即?p: ? x∈R,x +x-1≥0. 答案 B 4.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为 真命题的是( A.?p∨q C.?p∧?q ) B.p∧q D.?p∨?q
2 2 2 2

x

x

x

x

)
2

B.? x∈R,x +x-

D.? x?R,x +x-1

2

解析 不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,从而上面叙述中只有?p∨?q 为真 命题. 答案 D 5 2 5.(2014·湖北七市(州)联考)已知命题 p:? x∈R,cos x= ;命题 q:? x∈R,x 4 -x+1>0,则下列结论正确的是( A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题(?p)∧(?q)是真命题 D.命题(?p)∨(?q)是真命题 解析 易判断 p 为假命题,q 为真命题,从而只有选项 D 正确. 答案 D 6.下列命题中的假命题是( A.? x0∈R,lg x0=0 = 3 C.? x∈R,x >0
3

)

) B.? x0∈R,tan x0

D.? x∈R,2 >0

x

7

π 解析 当 x=1 时,lg x=0,故命题“? x0∈R,lg x0=0”是真命题;当 x= 时,tan 3

x= 3,故命题“? x0∈R,tan x0= 3”是真命题;由于 x=-1 时,x3<0,故命题“? x
∈R,x >0”是假命题;根据指数函数的性质,对? x∈R,2 >0,故命题“? x∈R,2 >0” 是真命题. 答案 C π 7.设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于 2 π 直线 x= 对称.则下列判断正确的是( 2 A.p 为真 C.p∧q 为假 解析 p 是假命题,q 是假命题,因此只有 C 正确. 答案 C 8.(2015·武汉调研测试)已知命题 p:? φ ∈R,使 f(x)=sin(x+φ )为偶函数;命题 ) B.?q 为假 D.p∨q 为真
3

x

x

q:? x∈R,cos 2x+4sin x-3<0,则下列命题中为真命题的是(
A.p∧q C.p∨(?q)

) B.(?p)∨q D.(?p)∧(?q)

π ? π? 解析 利用排除法求解.? φ = ,使 f(x)=sin(x+φ )=sin?x+ ?=cos x 是偶函 2? 2 ? π 数,所以 p 是真命题,?p 是假命题;? x= ,使 cos 2x+4sin x-3=-1+4-3=0,所 2 以 q 是假命题,?q 是真命题.所以 p∧q,(?p)∨q,(?p)∧(?q)都是假命题,排除 A,B,D,

p∨(?q)是真命题,故选 C.
答案 C 二、填空题 9.(2014·合肥质量检测)命题 p:? x≥0,都有 x -1≥0,则?p 是________. 答案 ? x0≥0,有 x0-1<0.
3 3

? π? 10.命题“? x0∈?0, ?,tan x0>sin x0”的否定是________. 2? ? ? π? 答案 ? x∈?0, ?,tan x≤sin x 2? ?
11.若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等 式(x-a)(x-b)<0 的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”、“p∨q”、“?p”、“?q” 中,是真命题的有________.

b a

8

解析 依题意可知命题 p 和 q 都是假命题,所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“?p” 为真、“?q”为真. 答案 ?p、?q 12.下列结论: ①若命题 p:? x∈R,tan x=1;命题 q:? x∈R,x -x+1>0.则命题“p∧?q”是假 命题; ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ③命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题:若“x≠1,则 x -3x+2≠0”.其 中正确结论的序号为________. 解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题, 所以 p∧?q 为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确.所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③ 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) 13.(2014·衡水中学调研)给定命题 p:函数 y=ln[(1-x)(1+x)]为偶函数;命题 q: e -1 函数 y= x 为偶函数.下列说法正确的是( e +1 A.p∨q 是假命题 题 C.p∧q 是真命题 题 解析 对于命题 p:令 y=f(x)=ln[(1-x)(1+x)],由(1-x)(1+x)>0,得-1<x D.(?p)∨q 是真命
x
2 2 2

a b

) B.(?p)∧q 是假命

<1,∴函数 f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又∵f(-x)=ln[(1+x)(1-x)]=

f(x),∴函数 f(x)为偶函数,∴命题 p 为真命题;对于命题 q:令 y=f(x)=
1 x-1 -x x e -1 e 1-e f(x)的定义域为 R,关于原点对称,f(-x)= -x = = x=-f(x), e +1 1 1+e x+1 e ∴函数 f(x)为奇函数,∴命题 q 为假命题,∴(?p)∧q 是假命题,故选 B. 答案 B 14.(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( A.? α ,β ∈R,使 sin(α +β )=sin α +sin β )

e -1 ,函数 x e +1

x

9

B.? φ ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ )都不是偶函数 C.? m∈R,使 f(x)=(m-1)·xm -4m+3 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减 D.? a>0,函数 f(x)=ln x+ln x-a 有零点 解析 对于 A, 当 α =0 时, sin(α +β )=sin α +sin β 成立; 对于 B, 当φ = π 时, 2
2 2

f(x)=sin(2x+φ )=cos 2x 为偶函数;对于 C,当 m=2 时,f(x)=(m-1)·xm2-4m+3= x-1= ,满足条件;对于 D,令 ln x=t,? a>0,对于方程 t2+t-a=0,Δ =1-4(-a) x
>0,方程恒有解,故满足条件.综上可知,选 B. 答案 B 15.(2014·北京海淀区测试)若命题“? x0∈R,使得 x0+mx0+2m-3<0”为假命题, 则实数 m 的取值范围是________. 解析 由已知得“? x∈R,x +mx+2m-3≥0”为真命题,则 Δ =m -4×1×(2m-3) =m -8m+12≤0,解得 2≤m≤6,即实数 m 的取值范围是 2≤m≤6. 答案 [2,6] 16.已知命题 p:“? x∈R,? m∈R,4 -2 的取值范围是__________. 解析 若?p 是假命题,则 p 是真命题, 即关于 x 的方程 4 -2·2 +m=0 有实数解, 由于 m=-(4 -2·2 )=-(2 -1) +1≤1, ∴m≤1. 答案 (-∞,1]
x x x
2 2 2 2 2

1

x

x+1

+m=0”,若命题?p 是假命题,则实数 m

x

x

?1 ? x 17.已知 c>0,设命题 p:函数 y=c 为减函数.命题 q:当 x∈? ,2?时,函数 f(x) ?2 ?
1 1 =x+ > 恒成立. 如果“p∨q”为真命题, “p∧q”为假命题, 则 c 的取值范围是________.

x c

解析 由命题 p 为真知,0<c<1, 1 5 由命题 q 为真知,2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,需 <2,即 c> , c 2 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, 则 p,q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ; 2 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1.
10

? 1? 综上可知,c 的取值范围是?0, ?∪[1,+∞). ? 2? ? 1? 答案 ?0, ?∪[1,+∞) ? 2?

11


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