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2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件:第一章 导数及其应用1.7定积分的简单应用


第一章 导数及其应用

§ 1.7 定积分的简单应用

学习 目标

1.理解定积分的几何意义,会通过定积分求由两条或多条曲线围 成的图形的面积. 2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法. 3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用,会求变速直线运动 的路程和变力做功的问题.

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知识梳理

自主学习

知识点一 形的面积S.

定积分在求几何图形面积方面的应用

1.求由一条曲线 y=f(x)和直线x=a ,x=b(a<b)及y=0所围成的平面图
b (1)如图①,f(x)>0,? ? f(x)dx>0,所以 S= ?a

?bf(x)dx. ? ?a

.

b (2)如图②,f(x)<0,? ? f(x)dx<0,所以 S= ?a

??b ? ?? f?x?dx? ?? ? ? a ?

b =-? ? f(x)dx. ?a
答案

c (3)如图③,当 a≤x≤c 时,f(x)≤0,? f(x)dx<0; ? ?a

b 当 c≤x≤b 时,f(x)≥0,? ? f(x)dx>0.

?c f(x)dx+?bf(x)dx. - ??c ? ? ? ?? f?x?dx? b ? ?c a 所以 S=?? f ( x )d x = . ?+? ?
? a ? ?c

?a

答案

2.求由两条曲线 f(x)和g(x)(f(x)>g(x)) ,直线x=a,x= b(a<b)所围成平 面图形的面积S. (1)如图④,当f(x)>g(x)≥0时,S=
?b[ f(x)-g(x)]dx. ? ?a

.

?b[ f(x)-g(x)] dx ? ??b ? ?a ?? g?x?dx? b ? (2)如图⑤,当 f(x)>0,g(x)<0 时,S=? f(x)dx+?? . ?= ? a ? ?a ?b[ f(x)-g(x)]dx ? 3.当g(x)<f(x)≤0时,同理得S= ?a
答案

思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积? 答案 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下限,用定积 分来表示面积,然后计算定积分即可. (2)当f(x)<0时,f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示?

答案
所以

如图,因为曲边梯形上边界函数为g(x)=0,下边界函数为f(x),

b ?bf(x)dx. S=? (0 - f ( x ))d x =- ? ? ?a ?a

答案

4.利用定积分求平面图形面积的步骤:
(1)画出图形:在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;

(2) 确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标 ( 或纵坐标) ,确定
积分上、下限;

(3)确定被积函数;
(4)写出平面图形面积的定积分表达式;

(5)利用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积,写出答案.

知识点二

定积分在物理中的应用

1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和,从时刻t=a到时刻t=b 所经过的路程s和位移s′分别为: ?bv(t)dt ? (1)若v(t)≥0,则s= ?a ,s′= b -? ? v(t)dt (2)若v(t)≤0,则s= ?a ,s′=
?bv(t)dt ? ?a ?bv(t)dt ? ?a

. .

(3)若在区间[a,c]上v(t)≥0,在区间[c,b]上v(t)<0, ?bv(t)dt ?c v(t)dt-?bv(t)dt ? ? ? ?c 则s= ?a ,s′= ?a .
答案

2.定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)
?bv(t)dt s = 在时间区间[a,b]上的定积分,即 . ? ?a

(2)一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同 的方向移动了s(单位:m),则力F所做的功为W=Fs;而若是变力所做的 ?bF(x)dx ? 功W,等于其力函数F(x)在位移区间[a,b]上的定积分,即W= ?a .

答案

思考

下列判断正确的是 (1)(3).
t2

(1)路程是标量,位移是矢量,路程和位移是两个不同的概念;
(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子?t v (t )dt;
1

(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子?t v (t )dt .
1

t2

解析

(1)显然正确.对于(2)(3)两个判断,由于当 v(t)≥0 时,求某一时间
t2
1

段内的路程和位移均用 ?t v (t )dt 求解;
当 v(t)<0 时,求某一时间段内的位移用 ?t v (t )dt 求解,这一时段的路程 是位移的相反数,即路程为-
t2

?

t2

1

t1

v (t )dt .所以(2)错(3)正确.
答案 返回

题型探究

重点突破

题型一 利用定积分求平面图形的面积问题

反思与感悟

解析答案

解析答案

题型二 运用定积分求解物理问题 例2 求: (1)此点在t=4 s时的位置; (2)此点在t=4 s时运动的路程. 一点在直线上从时刻 t = 0(s) 开始以速度 v = t2 - 4t+ 3(m/s) 运动,

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶,在B处

需要减速停车.设汽车以2 m/s2的加速度刹车,问:从开始刹车到停车,汽

车行驶了多远?
解 设从开始刹车到停车,汽车经过了t s.

v0=36 km/h=10 m/s,v(t)=v0-at=10-2t. 令v(t)=0,解得t=5. 所以从开始刹车到停车,汽车行驶的路程为
?5 2 ? 5 s=? (10 - 2 t )d t = (10 t - t )? ? ?0 ?0

=25(m).

故从开始刹车到停车,汽车行驶了25 m.
解析答案

题型三 用定积分解决变力做功问题 例3 设有一个长为25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 解 设x表示弹簧伸长的长度,f(x)表示加在弹簧上的力, 则f(x)=kx(其中常数k为比例系数). 因为当f(x)=100时,x=5,所以k=20. 所以f(x)=20x. 弹簧由25 cm伸长到40 cm时,弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm,
故所做的功
?15 2? 15 W=? 20 x d x = 10 x ? ? ?0 ?0

=2 250(N· cm)=22.5(J).
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3

如图所示,设气缸内活塞一侧存在一定量气体,气体做等

温膨胀时推动活塞向右移动一段距离,若气体体积由V1变为V2,求气体 压力所做的功.

解析答案

易错易混

用定积分求平面图形面积时,因对图形分割不当致误 求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的

例4 面积.

防范措施

解析答案

返回

当堂检测

1

2

3

4

5

1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中,正确的有(

)

a S=? [ f(x)-g(x)]dx ? ?b

8 S=? (2 2x-2x+8)dx ? ?0





1

2

3

4

5

4 ?7f(x)dx S=? f ( x )d x - ? ? ?1 ?4

a ?b[f(x)-g(x)]dx S=? [ g ( x ) - f ( x )]d x + ? ? ?0 ?a

③ A.①③ C.①④ B.②③ D.③④



解析答案

1

2

3

4

5

3 2.曲线 y=cos x(0≤x≤2π)与坐标轴所围图形的面积是( B ) 5 A.2 B.3 C.2 D.4

解析

3π ? ?π 2 cos xdx S=?2cos xdx-? ? ? ?π ?0 ?
π

? ?2 =sin x? ? ?0

? ?2 ? - sin x ? π ? ?2



2

π 3π π =sin 2-sin 0- sin 2 +sin 2=1-0+1+1=3.
解析答案

1

2

3

4

5

3. 一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度 v(t) = 27 - 0.9t ,则列车刹 车后前进多少米才能停车 ( A ) A.405 B.540 C.810 D.945

解析 停车时v(t)=0,由27-0.9t=0,得t=30,
30 ?30 ∴s=? v ( t )d t = ? ? ?0 ?0
? 2 ?30 (27-0.9t)dt=(27t-0.45t )? ?0

=405.

解析答案

1

2

3

4

5

4. 由曲线 y = x2 + 4 与直线 y = 5x , x = 0 , x = 4 所围成平面图形的面积 19 是 3 .
解析 由图形可得
1 2 ?4(5x-x2-4)dx S=? ( x + 4 - 5 x )d x + ? ? ?0 ?1
?1 ??1 5 ? 3 2?? ? x +4x- x ?? 2 ??0 ?3 ?5 ??4 1 ? 2 ?? 3 ? x - x -4x?? 3 ?2 ??1





1 5 5 1 5 1 19 2 3 =3+4-2+2×4 -3×4 -4×4-2+3+4= 3 .
解析答案

1

2

3

4

5

5.一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力,把它从自然长度压缩到比自然长

度短5 cm,求弹簧克服弹力所做的功.
解 设F(x)=kx, ∵弹簧压缩x cm可产生4x N的力, ∴k=4. ∴弹簧克服弹力所做的功为
5 W=4? ? xdx=4× ?0 ?1 ??5 ? 2?? ? x ?? ?2 ??0

=50(N· cm)=0.5(J).

解析答案

课堂小结

1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤:
(1)在平面直角坐标系中画出图形;

(2)通过解方程求出交点坐标;
(3)写出平面图形面积的定积分表达式,当被求平面区域较复杂时,可

分割求和;
(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.

2.路程问题.
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化

为数学问题是关键.

(2)路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间
内是否恒正,若符号不定,应求出使速度恒正或恒负的区间,然后分

别计算.
3.变力做功问题.

(1)变力做功问题,首先要将变力用其方向上的位移表示出来,这是关
键一步.

(2)根据变力做功的公式,将其转化为求定积分的问题.

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