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广西北海市高中毕业班2012届高三第一次质量检测试文科数学试题


2012 年北海市高中毕业班第一次质量检测

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 箱子内有 4 个白球, 个黑球, 个红球, 3 5 从中任取一球, 取到的是红球的概率为 ( ) A.

1 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12
( ) D.既不充分又不

2.已知条件 p :| x ? 1 |? 2 ,条件 q : ?3 ? x ? 2 ,则 p 是 q 的 A.充要条件 必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

3.函数 y ?| x | 的定义域为 A ,值域为 B ,若 A ? {?1,0,1} ,则 A ? B 为 A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {?1,0,1}





4.给定两个向量 a ? (3,4) , b ? ( 2,1) ,若 (a ? xb) //(a ? b) ,则 x 的值等于 A.





3 2
3

B. ? 1
2

C. 1

D. ?

3 2
( ) D. x ? y ? 0 ( )

5.函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 6.若 ? ? (0, ? ) ,且 sin
2

B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

?
2

? cos? ?

1 ,则 tan? 的值等于 4
C. ?

A.

3 3

B. 3

3 3

D. ? 3

7.等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ?

1 a10 的值为 2





A.10 B.11 C.12 D.14 8.棱长为 4 的正四面体 P-ABC,M 为 PC 的中点,则 AM 与平面 ABC 所成的角的正弦值为 ( ) A.

2 2

B.

2 3

C.

3 2

D.

2 2 3

9. 设椭圆 C:

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 , 上顶点为 A, 过点 A 与 AF2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2
( )

垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q,且 2 F1 F2 ? F2 Q ? 0 ,则椭圆 C 的离心率为 A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5
?

10.过正四棱柱的底面 ABCD 中顶点 A,作与底面成 30 角的截 面 AB1C1D1 ,截得的多面体如图,已知 AB ? 1 ,错误!不能通
过编辑域代码创建对象。,则这个多面体的体积为

D1
D A B

C1
B1
C





A.

6 2

B.

6 3

C.

6 6

D.

6 4

11. 现有四个函数① y ?| sin x | ② y ? x? | sin x | ③ y ?| x | ? cos x ④ y ? x ? 2 的部分图像
x

如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是
y y y




y

x

x

x

x

A.①③②④ ②

B.①③④②

C.③①②④

D.③①④

12.定义一种运算 (a, b) * (c, d ) ? ad ? bc ,若函数 f ( x) ? (1, log3 x) * (1, ( ) ), , x0 是方
x

1 5

程 f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值是 A.恒为正值 B.等于 0



) D.不大于 0

C.恒为负值

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡对应题号的横线 上。 13.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项, 16 9
.

则 P 点到左焦点的距离为 14. ( x ?

1 9 ) 的展开式中 x 3 的系数是 x

.

15 . 若 不 等 式 | x ? 3 | ? | x ? 1 |? 3a ? a 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
2



.

16 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f (x) , 对 任 意 不 等 的 实 数 x1 , x2 都 有

[ f ( x1 ) ? f ( x2 )]( x1 ? x2 ) ? 0 成 立 , 若 不 等 式 f ( x 2 ?2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 成 立 , 则 当

1 ? x ? 4 时,

y 的取值范围为 x

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题 10 分)已知 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (I)求数列 {an } 的通项; (II)记 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .
a

18.(本题 12 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 ?ABC 的周长 为 3,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 c 的长; (II)若 ?ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的余弦值.

2 5

19.(本题 12 分)某企业招聘中,依次进行 A 科、B 科考试,当 A 科合格时,才可考 B 科, 且两科均有一次补考机会,两科都合格方通过。甲参加招聘,已知他每次考 A 科合格的概率 均为

2 1 ,每次考 B 科合格的概率均为 。假设他不放弃每次考试机会,且每次考试互不影 3 2

响。 (I)求甲恰好 3 次考试通过的概率; (II)求甲招聘考试通过的概率.

20.(本题 12 分)如图(1)在等腰 ?ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC 和 BC 边的中点,

?ACB ? 120 ? ,现将 ?ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B.(如图(2))
(I)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (II).求二面角 E-DF-C 的余弦值; (III)在线段 BC 是否存在一点 P,但 AP ? DE?证明你的结论. A E E D C A

F B 图(1)
3 2

D B F 图(2)

C

21.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图像在与 x 轴交点处的切线方程是

y ? 5 x ? 10 .
(I)求函数 f (x) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g (x) 存在极值,求实数 m 的取值范围以及函数 3

g (x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.

22.(本题 12 分)如图,ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD ? AB,Q 为线段 OD 的中点, 已知|AB|=4, 曲线 C 过 Q 点, 动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 (I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (II)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、 N.两点, OD 所在直线交于 E 点,EM ? ?1 MB , 与

EN ? ?2 NB 证明: ?1 ? ?2 为定值.

D

?Q
A
O B

2012 年北海市高中毕业班第一次质量检测

文科数学参考答案及评分标准

说明: 1、本参考答案提供一至两种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则; 2、解答题右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分; 3、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数。 一、选择题: (每小题只有一个选项符合要求,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B 9 A 10 C 11 D 12 A

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.13 14. ?84 15. [1,2] 16. [? ,1]

1 2

三、解答题: (共 70 分) 17. 【解】 (I)设公差为 d ,则 (a1 ? 2d )2 ? a1 (a1 ? 8d ) 即 d 2 ? d ? 0

解 得 或 ( d ?1 d ?0 去)??????????????????????????4 分 所 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ????????????????????????????5 分 【解】 (II) bn ? 2
Sn ? 2 ? 4 ? 8 ? ??? ? 2n ?
an

舍 以

? 2n ,

2(1 ? 2n ) ? 2n ?1 ? 2 ?????????????????????10 1? 2

分 18 . 【 解 】 ( I ) 由 已 知 及 正 弦 定 理 得 ?

c ? 1 ???????????????? 5 分
【 解 】 ( II )

?a ? b ? c ? 3 , 解 得 ?a ? b ? 2c


△ABC







2 s Ci 5

即 n

1 2 4 ab sin C ? sin C ? ab ? ?????????? 7 分 2 5 5 由(I)得 a ? b ? 2
由 余 弦 定 理 得

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab(1 ? cos C ) ?????????? 9 分


8 1 ? 4 ? (1 ? cos C ) ???????????????????????????? 10 5
分 所 以 ???????????????????????????????12 分 o

c C?

7 8

19.设甲“第一次考 A 科成绩合格”为事件 A1 , A 科补考后成绩合格”为事件 A2 , “ “ 第 一 次 考 B 科 成 绩 合 格 ” 为 事 件 B1 , B 科 补 考 后 成 绩 合 格 ” 为 事 件 “

B2 。???????? 1 分
【解】 (Ⅰ)甲恰好 3 次考试通过的概率为:
2 1 1 1 2 1 5 P ? P( A1 B1B2 ) ? P( A1 A2 B1 ) ? ? ? ? ? ? ? ?????6 分 3 2 2 3 3 2 18

【解】 (Ⅱ)由题意知,甲招聘考试通过,考试的次数为 2,3,4
2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 P ? P( A1B1 ) ? P( A1 A2 B1 ) ? P( A1 B1B2 ) ? P( A1 A2 B1B2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ??? 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3

????12 分 20. 【解法一】 (I)如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF,∴AB∥平面 DEF.??????4 分

【解】 (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB 是二面角 A—CD—B 的平面角, ∴AD⊥BD,∴AD⊥平面 BCD,取 CD 的点 M,使 EM∥AD,∴EM⊥平面 BCD, 过 M 作 MN⊥DF 于点 N,连结 EN,则 EN⊥DF, ∴∠MNE 是二面角 E—DF—C 的平面角. ????????????6 分 设 CD=a,则 AC=BC=2a , AD=DB= 3a , 由 △DFC 中,设底边 DF 上的高为 h

1 1 1 1 S?DFC ? ? 3a ? a ? ? ? ? 2a ? h , 2 2 2 2
在 Rt△EMN 中,EM=

∴h=

3 a 2

1 3 3 1 AD ? a ,MN= h= a ,∴tan∠MNE=2 2 2 4 2

从而 cos∠MNE =

5 ????????????????????8 分 5

【解】 (Ⅲ)在线段 BC 上不存在点 P,使 AP⊥DE,????????? 9 分 证明如下:在图 2 中, 作 AG⊥DE,交 DE 于 G 交 CD 于 Q 由已知得 ∠AED=120°,于是点 G 在 DE 的延长线上,从而 Q 在 DC 的延长线 上,过 Q 作 PQ⊥CD 交 BC 于 P∴PQ⊥平面 ACD ∴PQ⊥DE ∴DE⊥平面 APQ∴AP⊥DE.但 P 在 BC 的延长线上。??????? 12 分 【法二】 (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,直线 DB、DC 为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系, 设 CD=a,则 AC=BC=2a , AD=DB= 3a 则 A(0,0, 3a ) ,B( 3a ,0,0) , C(0, a, 0, ), E (0,

a 3 3 a , a), F ( a, , 0) .????????? 5 分 2 2 2 2
??

z A E C F B x P

取平面 CDF 的法向量为 m ? (0, 0,1) 设平面 EDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则?

? DF ? n ? 0 ? ? DE ? n ? 0 ?

? y ? 3z ? 0 ? ?? ? ?? ? m?n 5 cos ? m, n ?? ?? ? ? ,??????????????? 7 分 | m || n | 5

得?

? 3x ? y ? 0 ?

? 取n ? ( 3, ?3, 3) ,????6 分

D

所以二面角 E—DF—C 的余弦值为

5 ;??????????? 8 分 5

【解】 (Ⅲ)设 P( x, y, 0), 则AP ? DE ?

??? ???? ?

又 BP ? ( x ? 3a, y, 0), PC ? (? x, a ? y, 0) , ??????????????? 9分

??? ?

??? ?

a 3 y ? a 2 ? 0 ? y ? 3a , 2 2

??? ??? ? ? ? BP / / PC , ? ( x ? 3a)(a ? y) ? ? xy, ? x ? 3 y ? 3a ?
????????11 分 把 y ? 3a代入上式得x ? ?2 3a ,可知点 P 在 BC 的延长线上 所 以 在 线 段 BC 上 不 存 在 点 P 使 AP ⊥

DE. ?????????????????? 12 分

21. 【解】 (Ⅰ)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ??① ?????? 2分 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c , 由 已 知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ?
2

②? 4 分 联 立 ① ② , 解 得

b ? ?1, c ? 1 .??????????????????????5 分
所 以 函 数 的 解 析 式 为

f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ??????????????? 6 分
【解】 (Ⅱ)因为 g ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? 令

1 mx 3

1 g ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ? m ? 0 ?????????????????????7 分 3 1 当函数有极值时,方程 3x 2 ? 4 x ? 1 ? m ? 0 有实数解,则 ? ? 0 ?????? 3
8分 由

? ? 4(1 ? m) ? 0





m ? 1 . ????????????????????? 9 分 2 2 当 m ? 1时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? ,在 x ? 两侧均有 g ?( x) ? 0 , 3 3
故函数 g ( x) 无极值, 舍去; ??????????????????????

10 分 当 m ? 1 时,方程 g ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ?

1 m ? 0 有两个不等的实根,即有极值。 3

故,当 m ? 1 时,函数 y ? g ( x) 有极值。????????????????? 12 分

22. 【解】 (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ????????????? 3 分 ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1 ????? 4分 ∴曲线 C 的方程为 5分 【证法 1】 (Ⅱ) :设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) . 且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM ? ?1 MB ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 ? 分 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (
2 2

x2 2 +y =1 ??????????????????????? 5

???? ?

????

y0 2?1 ,y1 ? ?????????????????????? 7 1 ? ?1 1 ? ?1 y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1, 5 1 ? ?1 1 ? ?1

去分母整理, ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 ???????????????? 9 得 分 同理, EN ? ?2 NB 可得:?2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 ?????????? 10 由
2 2

????

??? ?

分 ∴ ?1 , ? 2 是方程 x ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 ? 0 的两个根 ???????????
2 2

11 分 ∴ ?1 ? ?2 ? ?10 ?????????????????????????? 12 分 【证法 2】 (Ⅱ) :设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) . 且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. 显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的斜率为 k , 则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ? 6分 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20 k 2 ? 5 ? 0 .
∴ x1 ? x 2 ? 8分 又 ∵ EM ? ?1 MB , 则 ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ ?1 ? 同理,由 EN ? ?2 NB ,∴ ? 2 ? 10 分 ∴ ?1 ? ?2 ? 12 分

20 k 2 20 k 2 ? 5 , x1 x 2 ? ????????????????? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
????

???? ?

x1 , 2 ? x1

????

??? ?

x2 ?????????????????? 2 ? x2

x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ? ? ?10 ???????? 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2


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