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数学归纳法2_图文

对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用 以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较 好的效果.
例如 : sinn? ? n sin? ( n ? N ? ) n 2 ? 2 n ( n ? N ? , n ? 5) (1 ? x)n ? 1 ? nx ( x ? ?1, n ? N ? )

什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所 有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:

(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k ( k ? N ? , 且k ? n0 ) 时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.

用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能 说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了, 没有必要验证命题对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第 一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可 能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所 以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证 明. 完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.

一.用数学归纳法证明等式问题
通过计算下面的式子, 猜想出 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1)n ( 2n ? 1) 的结果, 并加以证明. ? 1 ? 3 ? _____;?1 ? 3 ? 5 ? ______ ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ______;?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? _______

解 : 上面四个式子的结果分 别是2,?3,4,?5, n n 由此猜想 : ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1) ( 2n ? 1) ? ( ?1) n 下面用数学归纳法证明: (1)当n ? 1时, 式子左右两边都等于? 1, 即这时等式成立.
( 2)假设当n ? k ( k ? 1)时等式成立, 即 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1)k ( 2k ? 1) ? ( ?1)k k 当n ? k ? 1时

例1 证明 : n 3 ? 5n( n ? N ? )能够被6整除.
证明 : (1)当n ? 1时, n3 ? 5n ? 6显然能够被6整除, 命题成立.

( 2)假设当n ? k ( k ? 1)时, 命题成立, 即k 3 ? 5k能够被6整除. 当n ? k ? 1时,

( k ? 1)3 ? 5( k ? 1) ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1 ? 5k ? 5 ? (k 3 ? 5k ) ? 3k ( k ? 1) ? 6
由假设知k 3 ? 5k能够被6整除, 而k ( k ? 1)是偶数, 故 3k ( k ? 1) 能够被6整除, 从而( k ? 1)3 ? 5( k ? 1)能够被6整除, 因此,当 n ? k ? 1时命题成立. 由(1), ( 2)知, 命题对一切正整数成立 即n 3 ? 5n( n ? N ? ) , 能够被6整除.

特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.

课堂练习:
1.用数学归纳法证明: 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ? 1 (a ? 1)在验证 n ? 1时, 左端计算所得的项为 C ) ( C.1 ? a ? a 2 D.1 ? a ? a 2 ? a 3 1 1 1 2.用数学归纳法证明: 1 ? ? ? ? ? n ? n( n ? N ? , n ? 1), 2 3 2 ?1 第二步证明从" k到k ? 1" , 左端增加的项数是 ( B ) A.1 B.1 ? a

A.2 k -1

B .2k

C .2k ? 1

D.2k ? 1

3.如果命题p( n)对n ? k成立, 则它对n ? k ? 2亦成立, 又若p( n)对n ? 2成立, 则下列结论正确的是( B ) A.p(n) 对所有正整数n成立 C.p(n) 对所有奇正整数n成立 B.p(n) 对所有偶正整数n成立 D.p(n) 对所有比1大的自然数n成立

4.某个命题与自然数n有关, 若n ? k ( k ? N ? )时, 该命题成立, 那么可推得n ? k ? 1时该命题也成立, 现在已知当n ? 5时, 该命题不成立, 那么可推得( C ) A.当n ? 6时该命题不成立 B.当n ? 6时该命题成立 C.当n ? 4时该命题不成立 D.当n ? 4时该命题成立

1 1 1 127 5.用数学归纳法证明不等 1 ? ? ? ? ? n ?1 ? 式 成立, 2 4 64 2 起始值至少就应取为 B ) ( A.7 B.8 C.9 D.10
6.用数学归纳法证明 当n是正奇数时, x n ? y n能被x ? y整除" , " 在第二步时, 正确的证法是( D ) A. 假设n ? k ( k ? N ? ), 证明n ? k ? 1命题成立 B.假设n ? k ( k为正奇数), 证明命题n ? k ? 1成立 C.假设n ? 2k ? 1( k ? N ? ), 证明n ? k ? 1命题成立 D.假设n ? k ( k为正奇数), 证明命n ? k ? 2题成立

7.用数学归纳法证明 n ? 1)(n ? 2)?( n ? n) ? 2n ? 1 ? 3?( 2n ? 1) ( ( n ? N )从" k到k ? 1" 左端需增乘的代数式是 B ) ( 2k ? 1 2k ? 3 A.2k ? 1 B.2(2k ? 1) C. D. k ?1 k ?1

8.用数学归纳法证明: (1 ? 22 ? 2 ? 32 ) ? ( 3 ? 42 ? 4 ? 52 ) ? ? ? ( 2n ? 1) ? ( 2n)2 ? 2n( 2n ? 1)2 ? ? n( n ? 1)(4n ? 3)
1 1 1 9.设f ( n) ? 1 ? ? ? ? ? , 是否存在g ( n)使等式 2 3 n f (1) ? f ( 2) ? ? ? f ( n ? 1) ? g ( n) f ( n) ? g ( n)对n ? 2 的一切自然数成立? 并证明结论.

?

?

二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n( n ? N ? , n ? 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上, 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论.

特别提示:

用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.

P50习题4.1第5题 : 凸n边形有多少条对角线? 证明你的结论.
1 解 : n凸边形的对角线条数: f ( n) ? n( n ? 3)(n ? 3). 2 下面用数学归纳法证明

1 (1)当n ? 3时, f ( 3) ? ? 3 ? ( 3 ? 3) ? 0.而三角形没有对角线 2 命题成立.
( 2)假设当n ? k时命题成立, 即凸k边形的对角线的条数 1 f ( k ) ? k ( k ? 3)(k ? 3).当n ? k ? 1时, k ? 1边形是在k边形的基础上 2 增加了一边, 增加了一个顶点Ak ? 1 , 增加的对角线条数是顶点Ak ? 1与 不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1 Ak , 增加的对角线条数为 ( k ? 2) ? 1 ? k ? 1

1 1 2 ? f ( k ? 1) ? k ( k ? 3) ? k ? 1 ? ( k ? k ? 2) 2 2 1 1 ? ( k ? 1)(k ? 2) ? ( k ? 1)?( k ? 1) ? 3? 2 2 故n ? k ? 1时, 命题成立 由(1), ( 2)可知对任何n ? N ? , n ? 3命题成立.

P50习题4.1第6题 : 平面上有n条直线, 其中任意两条都相 交, 任意三条不共点这些直线把平面分成多 , 少个区域? 证明你的结论
n2 ? n ? 2 解 : 这样的n条直线把平面分成的区 域数目为f ( n) ? 2 下面用数学归纳法证明

(1)当n ? 1时, 一条直线将平面分成两 部分, f (1) ? 2, ? n ? 1时命题成立.
k2 ? k ? 2 ( 2)假设当n ? k ( k ? N ? )时命题成立, 即有f ( k ) ? , 2 当n ? k ? 1时, 第k ? 1条直线与前面 条直线有k个不同交点 k , 即它被前面k条直线截成k ? 1段, 其中每一段都把它所在 的 原区域一分为二 也即使原区域数目增加 ? 1. , k

k ?k?2 ? f ( k ? 1) ? f ( k ) ? k ? 1 ? ? k ?1 2 2 2 k ? 3k ? 4 ( k ? 1) ? ( k ? 1) ? 2 ? ? 2 2 故当n ? k ? 1时, 命题成立
2

由(1)( 2)可知, 对任意正整数 , 命题成立 n

补充练习:

有n个圆, 其中每两个圆都相交于 两点, 并且每三个圆都 不相交于同一点求证 : 这n个圆把平面分成 , f ( n) ? n 2 ? n ? 2个部分.

证明 : (1)当n ? 1时,即一个圆把平面分成二 个部分 f (1) ? 2, 又n ? 1时, n ? n ? 2 ? 2,? 命题成立
2

( 2)假设当n ? k时, 命题成立, 即k个圆把平面分成 f ( k ) ? k 2 ? k ? 2个部分, 那么由题意知第 ? 1圆 k 与前k个圆中每个圆交于两点又无三圆交于同一 , 点, 于是它与其它 交于2k个点, 把它分成2k条弧而 k 每条弧把原区域分成 块,因此这平面的总区域增 2 加2k块, 即f ( k ? 1) ? k 2 ? k ? 2 ? 2k ? ( k ? 1) 2 ? ( k ? 1) ? 2, 即当n ? k ? 1时命题成立. 由(1)( 2)可知对任意n ? N ? 命题成立.

二.用数学归纳法证明不等式问题
例1观察下面两个数列从第几项起a n始终小于bn ? , 证明你的结论 .
n n

?a ?b

n

? ? 2 ?: 2,4,8,16,32,64,128,256,512, ? .
? n 2 : 1,4,9,16,25,36,49,64,81, ?;
2 n

由数列的前几项猜想从第5项起, an ? bn , , 即n ? 2 ( n ? N ? , n ? 5)

证明: (1)当n ? 5时有5 ? 2 , 命题成立
2 5

( 2)假设当n ? k ( k ? 5)时命题成立, 即有k 2 ? 2 k . 当n ? k ? 1时,

即当n ? k ? 1时命题成立 . 由(1)( 2)可知, n 2 ? 2n ( n ? N ? , n ? 5)

例2.证明不等式sin n? ? n sin? (n ? N ? )
证明: (1)当n ? 1时, 上式左边 ? sin? ? 右边, 不等式成立 .

( 2)假设当n ? k ( k ? 1)时, 命题成立, 即有 sin k? ? k sin? . 当n ? k ? 1时,

即当n ? k ? 1时不等式成立 . 由(1)( 2)可知, 不等式对一切正整数 均成立. n

例3.证明贝努利不等式: 如果x是实数, 且x ? ?1, x ? 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 ? x ) ? 1 ? nx
n

证明 : (1)当n ? 2时,由x ? 0得(1 ? x ) ? 1 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 x ,
2 2

不等式成立. ( 2)假设当n ? k ( k ? 2)时不等式成立 即有 ,
(1 ? x ) k ? 1 ? kx . 当n ? k ? 1时,

?当n ? k ? 1时不等式成立 . 由(1)( 2)可知,贝努利不等式成立 .

当x是实数, 且x ? ?1, x ? 0时,由贝努利不等式可得 x n nx (1 ? ) ? 1? , 对一切不小于 的正整数n成立 2 1? x 1? x

把贝努利不等式中的正 整数n改为实数?时, 仍有 类似不等式成立 . 当?是实数, 并且满足? ? 1或者? ? 0时, 有 (1 ? x )? ? 1 ? ?x ( x ? ?1) 当?是实数, 并且满足0 ? ? ? 1时, 有 (1 ? x ) ? 1 ? ?x ( x ? ?1)
?

例4.证明 : 如果n( n为正整数)个正数a1 , a2 ,?, an的 乘积a1a2 ?an ? 1, 那么它们的和 1 ? a2 ? ? ? an ? n. a
证明 : (1)当n ? 1时, 有a1 ? 1, 命题成立.
( 2)假设当n ? k时, 命题成立.即若k个正数的乘积a1a2 ?ak ? 1, 则 a1 ? a2 ? ? ? ak ? k 当n ? k ? 1时,已知k ? 1个正数a1 , a2 ,?, ak , ak ? 1满足条件

a1a2 ?ak ? 1 ? 1.

若这k ? 1个正数a1 , a2 ,?, ak , ak ? 1都相等, 则它们都是1, 其和为 k ? 1, 命题得证
若这k ? 1个正数a1 , a2 ,?, ak , ak ?1不全相等, 则其中必有大于1的数 也有小于1的数(否则与a1a2 ?ak ?1 ? 1矛盾).不妨设a1 ? 1, a2 ? 1.

为利用归纳假设, 我们把乘积a1a2看作一个数, 这样就得到k个正数 a1a2 , a3 ,?, ak , ak ? 1的乘积是1,由归纳假设可以得到 a1a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ? 1 ? k

? a3 ? a4 ? ? ? ak ? ak ?1 ? k ? a1a2
? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ( k ? 1) ? a1 ? a2 ? k ? a1a2 ? k ? 1 ? a1 ? a2 ? a1a2 ? 1 ? ?(a1 ? 1)(a2 ? 1)
? a1 ? 1, a2 ? 1,? ?(a1 ? 1)(a2 ? 1) ? 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ? 1 ? k ? 1 ? 0, 即 a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ? 1 ? k ? 1 ?当n ? k ? 1时命题成立
由(1)(2)可知, 对一切正整数n, 如果n个正数a1 , a2 ,?, an的 乘积a1a2 ?an ? 1, 那么它们的和a1 ? a2 ? ? ? an ? n成立.


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