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07第七讲 函数的最值

第七讲

函数的最值

第七讲
☆自学探究☆
一、函数最值的几何解释

函数的最值(值域)

函数 f ?x ? 在其定义域(某个区间)上的最大值,其几何意义就是图象上最高点的纵坐标;而最小值 的几何意义就是图象上最低点的纵坐标。 二、函数最值的定义 设函数 f ?x ? 的定义域为 I , (Ⅰ)如果存在某个实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ?x ? ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得

f ?x0 ? ? M ,则称 M 是函数 f ?x ? 的最大值;
(Ⅱ)如果存在某个实数 m 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ?x ? ? m ; (2)存在 x0 ? I ,使得

f ?x0 ? ? m ,则称 m 是函数 f ?x ? 的最小值;
三、函数最值的求法 1.图象法:作出函数 f ?x ? 的图象,观察最高点与最低点,则最高点(最低点)的纵坐标即为函数的最大 值(最小值) ; 2.运用已学函数的值域:一次函数,二次函数,反比例函数的值域; 3.运用函数的单调性; 4.其他方法

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第七讲

函数的最值

☆典例解析☆
题组一、根据函数的图象确定函数的最值(值域) 例 1-1.求函数 f ?x? ? x ? 1 ? x ? 2 的值域;

2 变式 1-1.求函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 在区间 ?0 ,

? ?

5? 上的值域; 2? ?

题组二、二次函数的最值(值域)问题 例 2-1.求函数 f ?x? ? x 2 ? 2 x 在下列各区间上的最值; (1) x ? R (2) x ? ?? 2 , 2? (3) x ? ?? 3 , ? 1?

变式 2-1.设函数 f ?x? ? x 2 ? 2 x ? 2 ,其中 x ? ?t , t ? 1? ?t ? R ? ,求 f ?x ? 的最小值 g ?t ? ;

例 2-2.求函数 f ?x? ? x 2 ? 2ax ? 4 在区间 ?0 , 2? 上的最小值 g ?a ? ;

题组三、利用函数的单调性求函数的最值(值域) 例 3-1.求函数 f ? x ? ?

x?2 , x ? ?0 , 2? 的最大值和最小值; x ?1

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函数的最值

变式 3-1.求函数 f ? x ? ?

2x ? 3 , x ? ?0 , 1? 的值域; 3x ? 2

题组四、利用分离常数法(或判别式法)求函数的最值(值域) 例 4-1.求函数 f ?x ? ?

2x 2 ? 2x ? 3 的值域; x2 ? x ?1

变式 4-1.求函数 f ?x ? ?

x 2 ? 2x 的值域; x 2 ? 2x ? 2

题组五、利用换元法求函数的最值(值域) 例 5-1.求函数 f ?x? ? 2x ? x ? 1 的值域;

变式 5-1.求函数 f ?x? ? x ?

x ? 1 的值域;

☆课后检测☆
1.已知函数 f ?x ? 是 ?? ? , ? ?? 上的增函数,若 a ? R ,则( A. f ?a ? ? f ?2a ? B. f a ) D. f ?6? ? f ?a ? )

? ? ? f ?a?
2

C. f ?a ? 3? ? f ?a ? 2?

2.若函数 f ?x ? ? ax ? 1 在 ?1 , 2? 上的最大值和最小值之差为 2,则实数 a 的值是( A.2 B. ? 2 C. 0
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D.2 或 ? 2

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函数的最值

3.已知函数 f ?x ? ? ? A.10 ,6

?2 x ? 6 x ? ?1 , 2? ,则 f ?x ? 的最大值和最小值分别是( ? x ? 7 x ? ?? 1 , 1?
B.10 , 8 C .8 , 6

) D.以上都不对 )

4.已知函数 f ?x? ? ? x 2 ? 4x ? a , x ? ?0 , 1? ,若 f ?x ? 有最小值 ? 2 ,则其最大值为( A. ? 1 B. 0 C .1 ) D .2

5.当 x ? ?0 , 5? 时,函数 f ?x? ? 3x 2 ? 4 x ? c 的值域为( A. ?c , 55 ? c? 6.求函数 f ?x? ? B. ??

? 4 ? ? c , c? ? 3 ?

C. ? ?

? 4 ? ? c , 55 ? c ? ? 3 ?

D. ?? c , 20 ? c?

x ? x ? 1 的值域;

7.设函数 f ?x? ? ? x 2 ? 4x ? 3 ,

x ? ?a , a ? 3?,求 f ?x ? 的最大值 g ?a ? ;

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函数的最值

☆第七次作业☆
1.函数 f ? x ? ? A. ?0 , 1?

1 ?x ? R ? 的值域为( x ?1
2

) C. ?0 , 1? ) C. 1 ) D. 9 ? a
2

B. ?0 , 1?

D. ?0 , 1?

2.函数 f ?x? ? x ? x ? 1 的最小值为( A.

1 2

B. ?

1 2

D. 2

3.函数 f ?x? ? 9 ? ax2 ?a ? 0? 在区间 ?0 , 3?上的最大值为( A. 9 B. 9 ? 9a C. 9 ? a

4.已知函数 f ?x? ? x 2 ? 6x ? 8 , x ? ? 1 , a? ,且其最小值为 f ?a ? ,则实数 a 的取值范围为 5.已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围为
2

; ;

6.函数 f ?x ? ? 1 ? x 2 x ? ?? 1 , 0?的最小值为 7.已知函数 f ?x? ? x 2 ? 2ax ? 2 , x ? ?? 5 , 5? (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ?x ? 的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 f ?x ? 在区间 ?? 5 , 5? 上是单调函数;



x 2 ? 2x ? a , x ? ?1 , ? ? ? 8.已知函数 f ?x ? ? x
(1)当 a ?

1 时,求函数 f ?x ? 的最小值; 2

(2)若对任意的 x ? ? 1 , ? ?? , f ?x? ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围;

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