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2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)


2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数 学 Ⅰ 试 题
直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, M ? {x | x2 ? 6 x ? 5 ≤ 0 , x ? Z} , 则 ?u U M = ▲ . ▲

2017.3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案

2?i 2.若复数 z 满足 z ? i ? ,其中 i 为虚数单位,则 | z |? i 1 3.函数 f ( x ) ? 的定义域为 ▲ . ln(4 x ? 3)
4.右图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 ▲



5.某高级中学共有 900 名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样本,其中高一年级抽 20 人,高三 年级抽 10 人. 则该校高二年级学生人数为 ▲ .

t←1 . i←2 While i≤4 t←t×i i←i+1 End While Print t
(第 4 题图)

6.已知正四棱锥的底面边长是 2 ,侧棱长是 3 ,则该正四棱锥的体积为



. ▲ .

7.从集合 ?1, 2,3, 4? 中任取两个不同的数,则这两个数的和为 3 的倍数的概率为 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点恰好是双曲线 焦点,则双曲线的离心率为 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 的右 a2 3

9.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S 3 , S9 , S6 成等差数列,且 a2 ? a5 ? 4 ,则 a8 的 值为 ▲ .

10.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 M (1, 0) 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 5 交于 A,B 两点,其
???? ? ???? 中 A 点在第一象限,且 BM ? 2MA ,则直线 l 的方程为





??? ? ??? ? ???? 11.在△ ABC 中,已知 AB ? 1 , AC ? 2 , ?A ? 60? ,若点 P 满足 AP ? AB ? ? AC , ??? ? ??? ? 且 BP ? CP ? 1 ,则实数 ? 的值为





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π π 12.已知 sin ? ? 3sin( ? ? ) ,则 tan(? ? ) ? 6 12





?1 ? 1, x ? 1, ? 1 ? 2x 13.若函数 f ( x ) ? ? 则函数 y ? f ( x) ? 的零点个数为 8 ? ln x , x≥1, 2 ? ? x





14.若正数 x,y 满足 15 x ? y ? 22 ,则 x3 ? y 3 ? x2 ? y 2 的最小值为





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中, a ,b,c 分别为角 A,B ,C 的对边.若 a cos B ? 3 , b cos A ? 1 , 且 A? B ?

π . 6

(1)求边 c 的长; (2)求角 B 的大小.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C 是菱形, AC1 与 A1C 交于点 O ,E 是 棱 AB 上一点,且 OE ∥平面 BCC1 B1 . (1)求证:E 是 AB 中点; (2)若 AC1 ? A1B ,求证: AC1 ? BC . A E B
(第 16 题图)

A1 O
B1

C1

C

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17. (本小题满分 14 分) 某单位将举办庆典活动, 要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC (如图) . 设 计要求彩门的面积为 S(单位:m2) ,高为 h(单位:m) (S,h 为常数). 彩门的下 底 BC 固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为 ? , 不锈钢支架的长度和记为 l. (1)请将 l 表示成关于 ? 的函数 l ? f (? ) ; (2)问当 ? 为何值时 l 最小?并求最小值. A D

B
(第 17 题图)

C

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
2 ,椭圆的右顶点为 A. 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2,离心率为 a 2 b2

(1)求该椭圆的方程; (2)过点 D( 2, ? 2) 作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P,Q,求证:直线 AP,AQ 的 斜率之和为定值. P
O Q
(第 18 题图)

y

A

x

D

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)ln x ? ax ? a (a 为正实数,且为常数). (1)若 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若不等式 ( x ? 1) f ( x) …0 恒成立,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知 n 为正整数,数列 ?an ? 满足 an ? 0 , 4(n ? 1)an2 ? nan?12 ? 0 , 设数列 ?bn ? 满足 bn ?
2 an . tn

?a ? (1)求证:数列 ? n ? 为等比数列; ? n?

(2)若数列 ?bn ? 是等差数列,求实数 t 的值; (3)若数列 ?bn ? 是等差数列,前 n 项和为 Sn ,对任意的 n ? N*,均存在 m ?N*,使 得 8a12 Sn ? a14n2 ? 16bm 成立,求满足条件的所有整数 a1 的值.

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2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数 学 Ⅱ 试 题
证明过程或演算步骤. A. (选修 4-1:几何证明选讲)

2017.3

21. 【选做题】本题包括 A , B , C , D 四小题,每小题 10 分. 请选定其中两题 ,并在相 ...... ... 应的 答题区域 内作答 ,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、 .. .... ...

如图,圆 O 的直径 AB ? 6 ,C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的 垂线 AD,AD 分别与直线 l,圆 O 交于点 D,E. 求 ?DAC 的大小和线段 AE 的长. A E
? O

D C B

(第 21—A 题图)

B. (选修 4—2:矩阵与变换)
?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=8 及对应的一个特征向量 e1= ? ? ,并且矩阵 M 对应的 ?1?

变换将点 (?1, 2) 变换成 (?2, 4) . (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值. C. (选修 4—4:坐标系与参数方程)

π 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 2 , ? 2 ? 2 2? cos(? ? ) ? 2 . 4
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

D.(选修 4—5:不等式选讲) 已知 a,b,c 为正数,且 a ? b ? c ? 3 ,求 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

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【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,计 20 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内,解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 2 ,点 M , N 分别在 PA , BD 上, 且

PM BN 1 ? ? . PA BD 3
M D A

P

(1)求异面直线 MN 与 PC 所成角的大小; (2)求二面角 N ? PC ? B 的余弦值.

C N B

(第 22 题图)

23. (本小题满分 10 分) 设? ?

nπ π ,n 为正整数,数列 ?an ? 的通项公式 an ? sin tan n ? ,其前 n 项和为 Sn . 2 2
n ?1 2

(1)求证:当 n 为偶数时, an ? 0 ;当 n 为奇数时, an ? ( ?1)

tan n ? ;

1 (2)求证:对任何正整数 n , S2n ? sin 2? ? ? 1 ? (?1)n?1 tan2n ? ? ? ?. 2

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2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学参考答案
一、填空题. 1. ?6,7? 5.300 9. 2 12. 2 3 ? 4 2. 10 6.
?3 ? 3. ? ,1? ? ?1. ? ? ? ?4 ?

2017.3

4. 24 8. 2

4 3

7.

1 3
1 4

10. y ? x ? 1 13. 4

11. 1 或 ? 14.1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.解: (1) (法一)在△ ABC 中,由余弦定理,

a 2 ? c 2 ? b2 ? 3 ,得 a 2 ? c2 ? b2 ? 6c ;① 2ac b2 ? c 2 ? a 2 b cos A ? 1 ,则 b ? 1 ,得 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2c ,② 2bc
a cos B ? 3 ,则 a

……2 分 ……4 分 ……7 分

①+②得: 2c2 ? 8c , c ? 4 . (法二)因为在△ ABC 中, A ? B ? C ? π , 则 sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin(C ? π)=sinC , 由

……2 分

a b c a sin C b sin C 得: sin A ? , sin B ? ,代入上式得: ……4 分 ? ? sin A sin B sin C c c
……7 分 ……10 分 ……12 分 ……14 分

c ? a cos B ? b cos A ? 3 ? 1 ? 4 .

(2)由正弦定理得 又 tan( A ? B) ? 解得 tan B ?

a cos B sin A cos B tan A ? ? ?3, b cos A sin B cos A tan B

tan A ? tan B 2 tan B 3 ? ? , 1 ? tan A tan B 1 ? 3tan 2 B 3

3 π , B ? (0, π) , B ? . 3 6

16. (1)连接 BC1 ,因为 OE ∥平面 BCC1 B1 ,
OE ? 平面 ABC1 ,平面 BCC1 B1 I 平面 ABC1 ? BC1 ,所以 OE ∥ BC1 .
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……4 分

因为侧面 AA1C1C 是菱形, AC1 ? A1C ? O ,所以 O 是 AC1 中点, 所以
AE AO ? ? 1 ,E 是 AB 中点. EB OC1

……5 分 ……7 分 ……9 分

(2)因为侧面 AA1C1C 是菱形,所以 AC1 ? AC , 1

又 AC1 ? A1B , A1C ? A1 B ? A1 , A1C, A1 B ? 面 A1 BC ,所以 AC1 ? 面 A1 BC ,…12 分 因为 BC ? 平面 A1 BC ,所以 AC1 ? BC . A1 O A E B
(第 16 题图)

……14 分 D P y

C1
B1

A

O

A Q

x

C

B

H
(第 17 题图)

C

D

(第 18 题图)

C B ? ?( 0 ? ? ? 17. 解: (1) 过 D 作 DH ? BC 于点 H , 则 ?D

π ) , DH ? h , 设 AD ? x , 2
……3 分 ……5 分

则 DC ?

h h 2h , CH ? , BC ? x ? , sin ? tan ? tan ?

1 2h S h 因为 S= ( x ? x ? ; ) ? h ,则 x ? ? 2 tan ? h tan ?
则 l ? f (? ) ? 2DC ? AD ? (2) f ?(? ) ? h ? (

π S 2 1 ? h( ? ) ( 0 ? ? ? ); h sin ? tan ? 2

……7 分

?2cos? ?1 1 ? 2cos ? , ? 2 ) ? h? 2 sin ? sin ? sin2 ? 1 ? 2cos ? π ? 0 ,得 ? ? . 2 sin ? 3 π 3
0

……8 分 ……9 分

令 f ?(? ) ? h ?

?
f ?(? ) f (? )

? π? ? 0, ? ? 3?

?π π? ? , ? ?3 2?

……11 分

- 减

+ 增 ……12 分

极小值

π S 所以, lmin ? f ( ) ? 3h ? . 3 h
答: (1)l 表示成关于 ? 的函数为 l ? f (? ) ?

S 2 1 π ? h( ? ) ( 0 ? ? ? ); h sin ? tan ? 2

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(2)当 ? ?

π S 时,l 有最小值为 3h ? . 3 h
c 2 ? , 所以 a ? 2 , b ? 1 . a 2

……14 分

e? 18.解: (1)由题 c ? 1 ,

……2 分 ……4 分 ……5 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)当直线 PQ 的斜率不存在时,不合题意;

当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) ,……6 分 代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2, 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4 2(k 2 ? k ) x ? 4k 2 ?8k ? 2 ? 0 , 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则: ……8 分

4 2(k 2 ? k ) ? ? 1 ? ? ?4(8k ? 1) ? 0 , k ? ? , x1,2 ? , 2(1 ? 2k 2 ) 8
所以 x1 ? x2 ? 又 k AP ? k AQ ?
4 2( k 2 ? k ) 4k 2 ? 8k ? 2 , , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……9 分

……11 分

y1 x1 ? 2

?

y2 x2 ? 2

?

k ( x1 ? 2) ? 2 x1 ? 2
2

?

k ( x2 ? 2) ? 2 x2 ? 2

4 2( k 2 ? k ) ?4 2( x1 ? x2 ) ? 4 1 ? 2k 2 ? 2k ? ? 2k ? 2 =1. x1 x2 ? 2( x1 ? x ) ? 2 4k ? 8k ? 2 4 2( k 2 ? k ) ? 2 ?2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以直线 AP,AQ 的斜率之和为定值 1.

……16 分

19.解: (1) f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? ax ? a , f ?( x) ? ln x +

x ?1 ?a . x
1 ? 1 恒成立. x

……1 分

因 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 , a? ln x + 令 g ( x) ? ln x + x g ?( x )
g ( x)

x ?1 1 ? 1 ,则 g ?( x) ? 2 , x x (0,1) 1
- 减
0

……2 分
(1, ??)

+ 增

……4分

极小值

因此, gmin ( x ) ? g (1) ? 2 ,即 0 ? a ? 2 .
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……6 分

(2)当 0 ? a ? 2 时,由(1)知,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) 单调递增. 又 f (1) ? 0 ,当 x ? (0,1) , f ( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 . 故不等式 ( x ? 1) f ( x) …0 恒成立. 若 a ? 2 , f ?( x) ?

……7 分 ……9 分 ……10 分

x ln x ? (1 ? a) x ? 1 , x

设 p( x) ? x ln x ? (1 ? a) x ? 1 ,令 p?( x ) ? ln x ? 2 ? a ? 0 ,则 x ? ea ?2 ? 1 . …12 分 当 x ? (1,ea ?2 ) 时, p?( x) ? 0 , p( x ) 单调递减,则 p( x) ? p(1) ? 2 ? a ? 0 , 则 f ?( x) ?

p( x ) ? 0 ,所以当 x ? (1,ea ?2 ) 时, f ( x) 单调递减, x

……14 分 ……15 分 ……16 分

0 ,矛盾. 则当 x ? (1,ea ?2 ) 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,此时 ( x ? 1) f ( x) ? <

因此, 0 ? a ? 2 . 20.解: (1)由题意得 4(n ? 1)an 2 ? nan?12 ,因为数列 ?an ? 各项均正, a2 a2 a a 得 n ?1 ? 4 n ,所以 n?1 ? 2 ? n , n ?1 n n ?1 n
an ?1 ?a ? 因此 n ? 1 ? 2 ,所以 ? n ? 是以 a1 为首项公比为 2 的等比数列. an ? n? n

……2 分

……4 分

(2)由(1)得

2 an an a 2 4n?1 n ? a1 ? 2n?1 , an ? a1 2n ?1 n , bn ? n ? 1 n , t t n

……5 分 ……6 分

如果数列 ?bn ? 是等差数列,则 2b2 ? b1 ? b3 ,

a12 2 ? 42?1 a12 40 a12 3 ? 43?1 16 1 48 ,即 2 ? ? 3 ,则 t 2 ? 16t ? 48 ? 0 , ? ? 2 3 t t t t t t 解得 t1 ? 4 , t2 ? 12 .
得: 2 当 t1 ? 4 时, bn ?

……7 分

an , 4
……8 分

2 1

bn?1 ? bn ?

a12 (n ? 1) a12 n a12 ? ? ,数列 ?bn ? 是等差数列,符合题意; 4 4 4

当 t2 =12 时, bn ?

a12 n , 4 ? 3n

b2 ? b4 ?

2 2 2 a12 3 a12 2a1 4a1 22a1 11 2 , ? ? ? a 2 b ? 2 ? ? , 3 1 4 ? 32 4 ? 34 4 ? 34 162 4 ? 33 18

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b2 ? b4 ? 2b3 ,数列 ?bn ? 不是等差数列, t2 =12 不符合题意;

……9 分 ……10 分

综上,如果数列 ?bn ? 是等差数列, t ? 4 . (3)由(2)得 bn ? 则8

a12 n ,对任意的 n ? N*,均存在 m ?N*,使 8a12 Sn ? a14n2 ? 16bm , 4
……12 分

4 na2 a1 n(n ? 1) a 2m ? ? a14n2 ? 16 1 ,所以 m ? 1 . 4 2 4 4

当 a1 ? 2k , k ? N*,此时 m ?

4k 2n ? k 2n ,对任意的 n ? N*,符合题意; ……14 分 4 4k 2 ? 4k ? 1 2 1 ? k ? k ? . 不合题意. …15 分 4 4

当 a1 ? 2k ? 1 , k ? N*,当 n ? 1 时, m ?

综上,当 a1 ? 2k , k ? N*,对任意的 n ? N*,均存在 m ?N*,使 8a12 Sn ? a14n2 ? 16bm . ……16 分

(第Ⅱ卷 理科附加卷)
21. 【选做题】本题包括 A , B , C , D 四小题,每小题 10 分. A. (选修 4-1 几何证明选讲). 解:连结 OC,由于 l 是圆的切线,故 OC ? l , 因为 AD ? l ,所以 AD ∥ OC , ……2 分 A E
? O

D C B

因为 AB 是圆 O 的直径, AB ? 6 , BC ? 3 , 所以 ?ABC ? ?BCO ? 60? , 则 ?DAC = ?ACO ? 90? ? 60? ? 30? .
AC ? 2 ? 3cos30? ? 3 3 , DC ? AC sin 30? ?
3 3 9 , DA ? AC cos30? ? . 2 2
(第 21—A 题图)

……4 分 ……7 分 ……9 分 ……10 分

由切割线定理知, DC 2 ? DA ? DE ,

3 ,则 AE ? 3 . 2 B. (选修 4—2:矩阵与变换)
所以 DE ?

?1? ?1? ? a ? b ? ? ?1? ? ?2? ? ?a ? 2b ? ?a b ? 解:设 M= ? ,M ? ? ? 8 ? ? ? ? ,M ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ……3 分 ? ?1? ?1? ?c ? d ? ? 2 ? ? 4 ? ? ?c ? 2d ? ?c d ?

第 11 页 共 14 页

? a ? b ? 8, ?a ? 6 , ? c ? d ? 8, ?b ? 2 , ? ? 解得 ? ? ? a ? 2 b ? ? 2 , ? ?c ? 4, ? ? ? ?c ? 2d ? 4 , ?d ? 4 ,

?6 2? 即 M= ? ?. ?4 4?

……5 分

(2)则令特征多项式 f (? ) ?

? ?6
?4

?2 ? (? ? 6)(? ? 4) ? 8 ? 0 , ? ?4

……8 分

解得 ?1 ? 8 ,?2 ? 2 .矩阵 M 的另一个特征值为 2 . C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 解: (1)圆 O1 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,①

……10 分

……3 分 ……4 分

π 由 ? 2 ? 2 2? cos(? ? ) ? 2 ,得 ? 2 ? 2? (cos? ? sin ? ) ? 2 , 4
x2 ? y 2 ? 2( x ? y) ? 2 ,
故圆 O2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,② (2)②-①得经过两圆交点的直线为 x ? y ? 1 ? 0 , 该直线的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 . D. (选修 4—5:不等式选讲) 解:因为:

……6 分 ……8 分 ……10 分

?

3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? (1 ? 1 ? 1)(3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) ,

?

2

……7 分

由于 a ? b ? c ? 3 ,故 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1? 6 , 当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,

3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 取到最大值 6. ……10 分

【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,计 20 分. 22.解:(1)设 AC , BD 交于点 O ,在正四棱锥 P ? ABCD 中, OP ? 平面 ABCD . 又 ??? ? ??? ? PA ? AB ? 2 ,所以 OP ? 2 . 以 O 为坐标原点, DA , AB 方向分别是 x 轴、 y 轴正 方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图: 则 A(1, ?1,0) , B(1,1,0) , C ( ?1,1,0) , D( ?1, ?1,0) , P(0,0, 2). ……1 分

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???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? 1 1 2 2 1 1 ) , ON ? OB ? ( , ,0) , ……3 分 故 OM ? OA ? AM ? OA ? AP ? ( , ? , 3 3 3 3 3 3 3 ???? ? ??? ? z 2 2 2 ) , PC ? (?1,1, ? 2) , 所以 MN ? (0, , ? P 3 3 ???? ? ??? ? M ???? ? ??? ? MN ? PC 3 ? ???? ? ? cos ? MN , PC ?? ????? , 2 MN PC

D C π O 所以 MN 与 PC 所成角的大小为 . ……5 分 y N 6 B A ???? ??? ? ??? ? 4 2 x (第 22 题图) (2) PC ? (?1,1, ? 2) , CB ? (2,0,0) , NC ? (? , ,0) . 3 3 ??? ? ??? ? 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 PCB 的一个法向量,则 m ? PC ? 0 , m ? CB ? 0 ,
?? x ? y ? 2 z ? 0, 可得 ? 令x ? 0, y ? ? x ? 0,

2 , z ? 1 ,即 m ? (0, 2,1) ,

……7 分

??? ? ??? ? 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 PCN 的一个法向量,则 n ? PC ? 0 , n ? CN ? 0 ,

?? x ? y1 ? 2 z1 ? 0, 可得 ? 1 令 x1 ? 2 , y1 ? 4 , z1 ? 2 ,即 n ? (2, 4, 2) , …9 分 ??2 x1 ? y1 ? 0,

cos ? m, n ??

m?n ? m n

5 2 5 33 ? , 33 3 ? 22
5 33 .……10 分 33

则二面角 N ? PC ? B 的余弦值为

23.证明: (1)因为 an ? sin

nπ n tan ? . 2 2kπ 2k tan ? ? sin kπ ? tan2k ? ? 0 , an ? 0 .…1 分 2 (2k ? 1)π n π tan ? ? sin(kπ ? ) ? tann ? . 2 2

当 n 为偶数时,设 n ? 2k , an ? a2k ? sin

当 n 为奇数时,设 n ? 2 k ? 1 , an ? a2k ?1 ? sin

π π 当 k ? 2m 时, an ? a2k ?1 ? sin(2mπ ? ) ? tann ? ? sin(? ) ? tann ? ? ? tann ? , 2 2
n ?1 n ?1 ? 2m ? 1 , an ? a2 k ?1 ? ? tan n ? ? ( ?1)2 m?1 tan n ? ? ( ?1) 2 tan n ? .……2 分 2 3π 3π 当 k ? 2m ? 1 时, an ? a2k ?1 ? sin(2mπ ? ) ? tann ? ? sin(? ) ? tann ? ? tann ? , 2 2

此时

第 13 页 共 14 页

此时

n ?1 n ?1 ? 2m ? 2 , an ? a2k ?1 ? tan n ? ? ( ?1)2m?2 tan n ? ? ( ?1) 2 tan n ? . 2 n ?1 2

综上,当 n 为偶数时, an ? 0 ;当 n 为奇数时, an ? ( ?1) (2)当 n ? 1 时,由(1)得:
S2 ? a1 ? a2 ? tan ? ,

tan n ? .

……3 分

1 1 1 = sin 2? ?1 ? tan 2 ? ? ? sin ? ? cos? ? sin 2? ? 1 ? ( ?1)n?1 tan2n ? ? ? tan ? . ? ? 2 2 cos2 ?
故 n ? 1 时,命题成立 ……5 分

1 k ?1 2k 假设 n ? k 时命题成立,即 S2k ? sin 2? ? ? ?1 ? (?1) tan ? ? ?. 2
当 n ? k ? 1 时,由(1)得:

S2( k ?1) ? S2k ? a2k ?1 ? a2k ?2 ? S2k ? a2k ?1

1 = sin 2? ? ? 1 ? (?1)k ?1 tan2k ? ? ? (?1)k tan2k ?1 ? ? ? 2 1 2 ? ? tan 2 k ?1 ? ? = sin 2? ? ?1 ? ( ?1) k ?1 tan 2 k ? ? ( ?1) k ? 2 sin 2? ? ? 1 1 2 ? ? ) = sin 2? ? ?1 ? ( ?1) k ? 2 ? tan 2 k ? 2 ? ( ? 2 ? 2 tan ? sin 2? tan ? ? ? ?
? 1 cos2 ? 1 ? ? sin 2? ? ?1 ? ( ?1)k ? 2 ? tan 2 k ?2 ? ( ? 2 ? 2 ) ? 2 sin ? sin ? ? ?

……6 分

1 = sin 2? ? ?1 ? (?1)k ?2 ? tan2k ?2 ? ? 2
即当 n ? k ? 1 时命题成立. 综上所述,对正整数 n 命题成立. ……9 分 ……10 分

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