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2013年高考真题—文科数学(陕西文卷)精校精析

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2013 年高考真题精校精析
2013·陕西卷(文科数学)

1. 设全集为 R,函数 f(x)=

1-x的定义域为 M,则?M 为(

)

A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 1.B [解析] M={x|1-x≥0}={x|x≤1},故?M= (1,+∞). 2. 已知向量 a =(1,m), b =(m,2),若 a ∥ b ,则实数 m 等于( ) A.- 2 B. 2 C.- 2或 2 D.0 ? ? ? ? 1 m 2.C [解析] 因为 a ∥ b ,且 a =(1,m), b =(m,2),可得 = ,解得 m= 2或- 2. m 2 3. 设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac 3. [解析] 利用对数的运算性质可知 C, 是错误的. B D 再利用对数运算性质 logab· cb≠logca. log lg b lg a lg b 又因为 logab·logca= × = =logcb,故选 B. lg a lg c lg c 4. 根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为( 输入 x; If x≤50 Then y=0.5*x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y. A.25 B.30 C.31 D.61 )

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?0.5x,x≤50, ? 4.C [解析] 算法语言给出的是分段函数 y=? 输入 x=60 时,y= ? ?25+0.6(x-50),x>50,
25+0.6(60-50)=31. 5., 对一批产品的长度(单位: 毫米)进行抽样检测,图 1-1 为检测结果的频率分布直方图. 根 据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10, 15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取 1 件,则其为二等品的概率 是( )

图 1-1 A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 5.D [解析] 利用统计图表可知在区间[25,30)上的频率为:1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5

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=0.25,在区间[15,20)上的频率为:0.04×5=0.2,故所抽产品为二等品的概率为 0.25+0.2=0.45. 6., 设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( ) . A.若 z2≥0,则 z 是实数 B.若 z2<0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0

? ?ab=0, 6.C [解析] 设 z=a+bi(a,b∈),则 z2=a2-b2+2abi,若 z2≥0,则? 即 b=0, ?a2-b2≥0, ? ?ab=0, ?a=0, ? ? 故 z 是实数,A 正确.若 z2<0,则? 即? 故 B 正确.若 z 是虚数,则 b≠0,z2=a2 2 2 a -b <0, ?b≠0, ? ? ? ?a=0, ? -b2+2abi 无法与 0 比较大小,故 C 是假命题.若 z 是纯虚数,则? z2=-b2<0,故 D 正确. ? ?b≠0,
7. 若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小值是( ) A.-6 B.-2 C.0 D.2 7.A [解析] 结合题目可以作出 y=∣x∣与 y=2 所表示的平面区域,令 2x-y=z,即 y=2x -z, 作出直线 y=2x,在封闭区域内平移直线 y=2x,当经过点 A(-2,2)时, 取最小值,为 2×(- z 2)-2=-6. 8. 已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 8.B [解析] 由题意点 M(a,b)在圆 x2+y2=1 外,则满足 a2+b2>1,圆心到直线的距离 d= 1 <1,故直线 ax+by=1 与圆 O 相交. a2+b2 9. 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 9.A [解析] 结合已知 bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理可知 sin Bcos C+sin Ccos B =sin Asin A, sin (B+C)=sin 2A?sin A=sin 2A?sin A=1, A=90°, 即 故 故三角形为直角三角形. 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,有( ) 1? A.[-x]=-[x] B.?x+2?=[x] ? 1 C.[2x]=2[x] D.[x]+?x+2?=[2x] ? ? 1 10.D [解析] 可取特值 x=3.5,则[-x]=[-3.5]=-4,-[x]=-[3.5]=-3,故 A 错.[x+ ] 2 1 =[3.5+0.5]=4,而[x]=[3.5]=3,故 B 错. [2x]=[7]=7,2[x]=2[3.5]=6,故 C 错.[x]+ [x+ ]= 2 7,而[2x]=[7]=7,故只有 D 正确. x2 y2 11. 双曲线 - =1 的离心率为________. 16 9 5 c 5 11. [解析] 由双曲线方程中 a2=16, b2=9,则 c2=a2+b2=25,则 e= = . 4 a 4 12. 某几何体的三视图如图 1-2 所示,则其表面积为________. .

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图 1-2 12.3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为 1 的半个球,则表面积为半球面+底面圆,代入 1 数据计算为 S= ×4π ×12+π ×12=3π . 2 13. 观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 …… 照此规律,第 n 个等式可为______________. 13.(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) [解析] 结合已知所给定的几项的特点,可知式子左边共 n 项,且从(n+1)一直到(n+n),右侧第 一项为 2n,连乘的第一项为 1,最后一项为(2n-1),故所求表达式为:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1 ×3×…×(2n-1). 14. 在如图 1-3 所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则 其边长 x 为______(m).

图 1-3 14.20 [解析] 利用所给的图形关系,由图形关系可知三角形相似,设矩形的另一边长为 y,

?x+y?2 x 40-y 则 = ,所以 y=40-x,又有 xy ≤? ? =400,当且仅当 x=y 时等号成立,则 x=40-x, 40 40 ? 2 ?
即 x=20,故矩形面积最大时 x 的值为 20. 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)设 a,b∈,|a-b|>2,则关于实数 x 的不等式|x-a|+|x-b|>2 的解集是 ________. (-∞,+∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|b-a|=|a -b|.又由|a-b|>2 恒成立,故不等式解集为(-∞,+∞). B. (几何证明选做题)如图 1-4 所示,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延 长线交于点 P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE=________.

图 1-4 PE 6 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得 = PA PD ,而 PD=2DA=2,则 PA=3,则 PE2=PA· PD=6,PE= 6. PE

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?x=t2, ? C. (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线? (t 为参数)的焦点坐标是________. ?y=2t, ?
(1, 0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为: 2=4x, y 为抛物线, 其焦点坐标为(1, 0). 1 16., 已知向量=?cos x,-2?,=( 3sin x,cos 2x),x∈,设函数 f(x)= ? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π? (2)求 f(x)在?0, ?上的最大值和最小值. ? 2?
1 1 3 1 16.解: f(x)=?cos x,-2?·( 3sin x,cos 2x)= 3cos xsin x- cos 2x= sin 2x- cos 2x= ? ? 2 2 2 cos π π ? π? sin 2x-sin cos 2x=sin ?2x- ?. 6 6 6? ? 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= = =π ,即函数 f(x)的最小正周期为π . 2 ω π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 由正弦函数的性质, π π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π 5 π ?π? 1 当 2x- = π ,即 x= 时,f? ?= , 6 6 2 ?2? 2 1 ∴f(x)的最小值为- . 2 π 1 因此,f(x)在[0, ]上最大值是 1,最小值是- . 2 2 17. 设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和. (1)若{an}是等差数列,推导 Sn 的计算公式; 1-qn (2)若 a1=1,q≠0,且对所有正整数 n,有 Sn= .判断{an}是否为等比数列,并证明你的结 1-q 论. 17.解: (1)方法一:设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d], ∴2Sn=n(a1+an), n(a1+an) ∴Sn= . 2 方法二:设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+…+an

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=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+an-1+…+a1 =[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+…+a1, ∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…+[2a1+(n-1)d] =2na1+n(n-1)d, n(n-1) ∴Sn=na1+ d. 2 (2){an}是等比数列.证明如下: 1-qn ∵Sn= , 1-q ∴an+1=Sn+1-Sn 1-qn+1 1-qn qn(1-q) n = - = =q . 1-q 1-q 1-q ∵a1=1,q≠0,∴当 n≥1 时,有 an+1 qn = n 1=q. an q-

因此,{an}是首项为 1 且公比为 q 的等比数列. 18., 如图 1-5,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥ 底面 ABCD,AB=AA1= 2.

图 1-5 (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 18.解: (1)证明:由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1, ∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又∵AO= AC=1,AA1= 2, 2 AA2-OA2=1, 1 1 又∵S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴A1O=

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∴VABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1. 19. 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次.根 据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数 A B C D E

50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从 B 组抽取了 6 人,请将其余各组抽取的人数填入下表; 组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

6 (2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的评委中 分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 19.解: (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽取的人数如下表: 组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

3 6 9 9 3 (2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 个评委 为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从 a1,a2,a3 和 b1,b2,b3,b4,b5,b6

{

} {

}

中各抽取 1 人的所有结果为:

图 1-6 由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 共 4 种, 4 2 故所求概率 P= = . 18 9 20., 已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A,B 两点.若 A 是 PB 的中点,求直线 m 的斜率.

20.解: (1)设 M 到直线 l 的距离为 d,根据题意,d=2|MN|. 由此得|4-x|=2 (x-1)2+y2. x2 y2 化简得 + =1, 4 3 x2 y2 所以,动点 M 的轨迹方程为 + =1. 4 3 (2)方法一:由题意,设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).

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x2 y2 将 y=kx+3 代入 + =1 中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 4 3 其中,Δ =(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0. 24k 由求根公式得,x1+x2=- ,① 3+4k2 24 x1x2= .② 3+4k2 又因 A 是 PB 的中点,故 x2=2x1.③ 将③代入①,②,得 8k 12 x1=- ,x2= , 1 2 3+4k 3+4k2 可得?

? -8k ?2 12 3 ,且 k2> , 2? = 2 2 ?3+4k ? 3+4k

3 3 解得 k=- 或 k= , 2 2 3 3 所以,直线 m 的斜率为- 或 . 2 2 方法二:由题意,设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). ∵A 是 PB 的中点, x2 ∴x1= ,① 2 3+y2 .② 2 2 2 x1 y1 又 + =1,③ 4 3 x2 y2 2 2 + =1,④ 4 3 y1=

?x2=2, ?x2=-2, ? ? 联立①,②,③,④解得? 或? ? ? ?y2=0 ?y2=0,
即点 B 的坐标为(2,0)或(-2,0), 3 3 所以,直线 m 的斜率为- 或 . 2 2 21., 已知函数 f(x)=ex,x∈ (1)求 f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程; 1 (2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点; 2 (3)设 a<b,比较 f?

?a+b? f(b)-f(a) 的大小,并说明理由. ?与 ? 2 ? b-a

21.解: (1) f(x)的反函数为 g(x)=ln x, 设所求切线的斜率为 k, 1 ∵g′(x)= ,∴k=g′(1)=1. x

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于是在点(1,0)处切线方程为 y=x-1. 1 1 (2)方法一: 曲线 y=ex 与 y= x2+x+1 公共点的个数等于函数 φ(x)=ex- x2-x-1 零点的个数. 2 2 ∵φ (0)=1-1=0,∴φ (x)存在零点 x=0. 又 φ′(x)=ex-x-1,令 h(x)=φ′(x)=ex-x-1, 则 h′(x)=ex-1. 当 x<0 时,h′(x)<0,∴φ ′(x)在(-∞,0)上单调递减; 当 x>0 时,h′(x)>0,∴φ ′(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴φ ′(x)在 x=0 有唯一的极小值 φ′(0)=0, 即 φ′(x)在上的最小值为 φ′(0)=0, ∴φ ′(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴φ (x)在上是单调递增的, ∴φ (x)在上有唯一的零点. 1 故曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点. 2 1 2 x 方法二:∵e >0, x +x+1>0, 2 1 ∴曲线 y=ex 与 y= x2+x+1 公共点的个数等于 2 1 2 x +x+1 2 曲线 y= 与直线 y=1 公共点的个数. ex 1 2 x +x+1 2 设 φ(x)= ,则 φ(0)=1,即 x=0 时,两曲线有公共点. ex 1 2 1 2 (x+1)ex-?2x +x+1?ex -2x ? ? 又 φ′(x)= = x ≤0(仅当 x=0 时等号成立), e2x e ∴φ (x)在上单调递减, ∴φ (x)与 y=1 有唯一的公共点, 1 故曲线 y=f(x)与 y= x2+x+1 有唯一的公共点. 2 f(b)-f(a) (3) b-a a+b ?a+b? - f ? - e ? = 2 ? 2 ? b-a eb-ea a+b a+b eb-ea-be +ae 2 2 b-a a+b e 2 b-a





? b-a a-b ? ?e -e -(b-a)?. 2 ? 2 ?
1 1 设函数 u(x)=ex - x-2x(x≥0),则 u′(x)=ex+ x-2≥2 e e ∴u′(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴u(x)单调递增. 当 x>0 时,u(x)>u(0)=0. b-a b-a a-b 令 x= ,则得 e -e -(b-a)>0. 2 2 2 f(b)-f(a) ?a+b? ∴ >f? ?. ? 2 ? b-a 1 ex· x-2=0. e

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