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高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理说课稿


1.6 微积分基本定理
一、教材分析 1、地位与作用 “微积分基本定理”是高中人教版选修 2-2 第一章第 6 节的内容。这节课的主要内容是:微积分基本定理 的形成,以及用它求定积分。 在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念,并研究了其性质。该定理揭示了导数和定积分之间的内 在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法。本节内容不仅是本书一个非常重要的内容,也是整个数 学学习中的一块重要知识,该定理为下一节定积分的应用的学习奠定了基础,同时也为学生深入研究数学 作了一个知识储备。 2、教学目标 根据以上的教材分析,确定本节课的教学目标如下: 知识与技能: (1)了解微积分基本定理,学会应用微积分基本定理求定积分; (2)通过对本课学习,培养应用微积分思想解决实际问题的能力。 过程与方法: (1)通过自主探究速度与位移的关系对图像的研究,巩固数形结合的方法,; (2)通过设问,探究速度与位移的关系,培养化整为零,以直代曲的思想。 情感态度与价值观: (1)感知寻求计算定积分新方法的必要性,激发求知欲; (2)通过对定理的应用,体会微积分基本定理的优越性; (3)帮助建立微观与宏观的联系桥梁。 3、教学重点 根据教材分析,及教学目标我对本节课确定了以下重点:通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导 出出微积分基本定理,以及对微积分基本定理的应用。 二、学情分析 1、已有的知识与能力 学生是在高二时学习该定理,因此学生具备了以下知识和能力储备 (1)学生在学习本节内容之前,变速直线运动中的位移、速度、时间三者的关系已经很熟悉; (2)已经熟练掌握高中导数的知识,并能应用这些知识解决问题;

1

(3)理解了定积分的定义及其几何意义,并能按定积分的定义求解定积分; (4)相对高一而言具有更好地抽象思维能力和计算、化简能力。 2、学生可能遇到的困难 (1)学生在本学期才开始接触微分和逐步逼近的思想,所以大部分学生微积分基本定理的形成还是比较困 难的,因此只要求学生通过实例了解微积分基本定理; (2) 在用微积分基本定理计算定积分时, 部分学生对该定理的条件的理解和找满足 F ? x ? ? f ? x ? 的 F ?x ? 还 是存在困难,但在高中对此要求不高,故提醒学生不必深究。 3、教学难点 针对以上的学情分析,以及教学目标和重点的制定,我确定了本课的难点:微积分基本定理的导出。 三、教法与学法 1、教学方法:教法以老师讲授为主,引导学生探究为辅。 2、学习方法:课前预习 ?探究发现 ?例题理解 ?练习巩固 ?课后复习。 3、教学手段:黑板教学与多媒体教学相结合。 四、教学过程 总体设计:复习旧知、设题引入、探究归纳、定理导出与应用、定理延伸、课堂小结与布置作业 1、复习旧知(10 分钟) 1.1 老师和学生一起复习定积分的定义: 如果函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 连续, 用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b 将区间 ?a, b? 等分成 n 个 小区间,在每个小区间 ?xi ?1 , xi ? 上任取一点 ?i ?i ? 1,2,?, n? ,作和式

?

? f ??i ??xi ? ?
i ?1 i ?1

n

n

?b ? a ? f ?? ?
n
i

当 n ? ? 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的定积分,记作

? f ?x ?dx ,即
b a

?

b

a

f ( x)dx ? lim ?
n?? i ?1

?

?b ? a ? f ?? ? ,
n
i

这里, a 与 b 分别叫做积分下限和积分上限,函数 f ( x) 叫做被积函数, x 叫做积分变量。 1.2 复习完定义,引入例题: 例 1. 用定义法求定积分
2

(1)

? x dx
3 0

1

(2)

? x dx
5 0

1

1.3 在求解(2)时无法得到确切的结果,这时继续引发学生思考被积函数为 xn (n ? 2) 、 e x 该如何求解? 设计意图:复习定积分的定义是为了加深学生对定积分的印象,设置例 1.(1)是为了引导学生回顾按定义 法求定积分的步骤:分割、近似替代、逼近求和,这可以帮助学生更好地理解微积分基本定理的形成过程。 设置例 1.(2)是让学生体会按照定义求定积分的复杂性,从而引发学生思考,激发学生的求知欲。同时也 为微积分基本定理的导出做好铺垫。 2、设题引入(5 分钟) 引例:如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是 s ? s?t ? ,由导数的概念可知,它在任意时刻 t 的速 度是 v?t ? ? s??t ? 。设这个物体在时间段 ?a, b? 内的位移为 S ,你能分别用 v?t ?, s?t ? 表示 S 吗?

2.1 引导学生把探究的基本思路分解成以下 3 个内容: (1)画出函数 s ? s?t ? 的图像,通过观察 s ? s?t ? 的 图像或根据位移的定义探索发现并得出;

S ? s?b? ? s?a ?——基本定理的右端雏形
3

(2)当时间差距很小时,物体运动是否可以近似看 做在内做运速运动? 注: 定义导数时就是用了在无限小段时间内变速运动近似与匀速运动的方法去探究的。 (3)变速直线运动的物体在时间区间 ?t i ?1 , t i ?上的位移 Si 与 t i ?1 点速度 v?ti ?1 ? 之间有什么样的关系? 设计意图:从物理的位移与速度之间的关系引入微积分基本定理基于两方面考虑:(1)学生对于位移、速 度、时间三者的关系已经相当的熟悉,并且在学习定积分的概念时学生已经按定义求解过具体速度时的位 移,这有助于学生对该公式的形成。(2)当初牛顿也是从研究位移与速度发现微积分基本定理,逻辑性比 较强。同时,在探究过程中可以培养学生自主探究的能力以及化整为零和一直带曲思想。 3、探究归纳(5 分钟) 经过学生对上述三个问题的探究教师可以归纳出在每个小区间 ?t i ?1 , t i ?位移 Si 为:

Si ? ?ti ? ti ?1 ? ? v?ti ?1 ?
由微分求和可以得出在的位移为:

S ? lim ?

b?a v?ti ?1 ? n ?? n i ?1
?

由定积分定义可以得出:

S ? lim ?
综上可得到:

b b?a v?ti ?1 ? ? ? v?t ?dt ——基本定理左端雏形 a n ?? n i ?1 ?

? v?t ?dt ? s?b? ? s?a? ——基本定理雏形
b a

4、定理的导出与应用(20 分钟) 4.1 由定理导出得到定理雏形可以直接归纳一般连续函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 的积分与其导数的关系, 即微积 分基本定理: 如果 f ?x ? 是区间 ?a, b? 连续函数,若 F ??x ? ? f ?x ?则 该公式也称作牛顿——莱布尼茨公式 4.2 可以简要介绍一下牛顿和莱布尼茨。 4.3 活学活用 例 2.利用微积分基本定理解决前面的问题

? f ?x?dx ? F ?b? ? F ?a?
b a

4

(1)

?

2

1

x 4 dx

(2) ? x n dx?n ? 2?
1 0

(3)

?e
0

1

x

dx

解:(1)令 f ( x) ? x4 ,取 F ( x ) ? 由微积分基本定理得

1 5 ? ? x ,则 F ? x ? ? f ? x ? 5

? x dx ? F ?1? ? F ?0? ? 5
1 4 0

1

同理,可以解出(2)

1 1 3 (3) e ? 1 ,同时也可以解出 ? x dx 0 n ?1

练习:课本 A 组 1.(2)、(4)、(6) 例 3.汽车以 36km/h 的速度行使,到某处需要减速停车,设汽车以加速度 a ? ?5m / s 刹车,试问这辆车从开始刹车到停车走了多少距离?
2

5、定理延伸 5.1 让同学课后思考:微积分基本定理与定积分几何意义的联系 例 4.计算下列定积分并给出定积分的几何意义 (1)

??

2?

sin x dx

(2)

?

2?

0

sin x dx

通过求解得:(1) - 1 ,(2) 0 其几何意义如下图:

(1)

(2)

归纳总结: 微积分基本定理求的是整个区间的定积分, 若要求曲线与 x 轴围成的面积则需将 x 轴上下部分分 开求解。
5

设计意图:4.2 简单介绍牛顿和莱布尼兹的个人背景资料以丰富课堂内容。4.3 学生和上一节例题比较,得 出结论:结果相同,但比用定义计算定积分简单,给出规范格式,初步展示微积分基本定理的优越性。练 习和例 3 是为了让学生巩固强化对微积分基本定理的应用。 4.4 让学生课后探究微积分基本定理与定积分几 何意义的联系,为下节课定积分的应用做好铺垫,同时也指出易错点:求曲线面积时,学生没有考虑图像 的分布就直接应用微积分基本定理求解。 6、课堂小结与布置作业(5 分钟) 6.1 以问答形式引导学生回顾并总结本节内容,强调重、难点。 问:本节课我们学了什么? 答:微积分基本定理 问:我们是怎么形成这个定理的? 答:先微分,在近似替代,然后求和,最后取极限逼近 问:还有什么问题吗? 6.2 布置作业: 1.(1)、(3)、(5),2. 设计意图:5.1 以问答形式可以提高学生的归纳、整理能力,对所学知识形成清晰的知识网络,同时也可以 了解到学生对本堂课的掌握程度。5.2 根据学生掌握情况布置作业可以帮助学生巩固已掌握的知识,同时也 可以帮助他们发现和解决存在的问题。 五、板书设计 微积分基本定理 1、复习旧知 2、微积分基本定理 3、定理与几何意义的联系 六、教学效果预估 15%的学生通过老师引导自己形成定理雏形;50%的学生通过老师的讲解能理解微积分基本定理的形成过程; 80%的学生了解微积分基本定理形成过程并能对定理进行熟练应用;90%经过课后复习后能够用微积分基本 定理解题。 七、教学评价 对本堂课我从四个方面评价 (1)时间安排:根据本次课每个环节的所花时间评价时间安排的合理性; (2)学生的反应:在上课时关注学生的反应,了解学生对知识的理解程度,评价教师教学技能; 定理形成引导与例题 ppt 展示

6

(3)提问与解答:通过学生对设置问题的解答情况了解学生对知识的掌握程度,评价问题设计; (4)习题完成情况:通过学生对例题和习题的完成情况,掌握学生动态评价例题与习题设计。

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