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椭圆的简单几何性质典型例题


例 1 椭圆的一个顶点为 A?2,? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 0 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解: (1)当 A?2,? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1, 0

椭圆的标准方程为:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(2)当 A?2,? 为短轴端点时,b ? 2 ,a ? 4 ,椭圆的标准方程为: ? ? 1; 0 4 1 4 16

例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.

a2 1 解:? 2c ? ? 2? c 3

∴ 3c ? a ,∴ e ?
2 2

1 3 ? . 3 3

例 3 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为 AB 中点, OM 的斜率 为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

?x ? y ?1 ? 0 x2 ? 2 2 2 2 解:由题意,设椭圆方程为 2 ? y ? 1 ,由 ? x 2 ,得 ?1 ? a ? x ? 2a x ? 0 , 2 a ? 2 ? y ?1 ?a
∴ xM ?

y 1 1 x1 ? x2 1 ? a 2 x2 1 2 ? 2 , y M ? 1 ? xM ? ,? k OM ? M ? 2 ? ,∴ a ? 4 ,∴ ? y 2 ? 1 为所求. 2 xM 4 2 a 4 1? a a

例 4 椭圆

x2 y ? 9? ? ? 1 上不同三点 A?x1,y1 ? , B? 4, ? , C ?x2,y2 ? 与焦点 F ?4,? 的距离成等差数列. 0 25 9 ? 5?
2

(1)求证 x1 ? x2 ? 8 ; (2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k . 证明: (1)由椭圆方程知 a ? 5 , b ? 3 , c ? 4 .由圆锥曲线的统一定义知:

AF a ? x1 c
2

?

c , a



AF ? a ? ex1 ? 5 ?

4 x1 .同理 5

CF ? 5 ?

4 x2 ∵ 5

AF ? CF ? 2 BF ,且 BF ?

9 , 5



4 ? ? 4 ? 18 ? ? 5 ? x1 ? ? ? 5 ? x2 ? ? ,即 5 ? ? 5 ? 5 ?

x1 ? x2 ? 8 .

(2)因为线段 AC 的中点为 ? 4, 1

? ?

y ? y2 x1 ? x2 y ? y2 ? ?x ? 4? . ? ? ,所以它的垂直平分线方程为 y ? 1 2 y1 ? y2 2 ?
2 y12 ? y2 又∵点 A?x1,y1 ? , B?x2,y2 ? 都在椭 2? x1 ? x2 ?

0 又∵点 T 在 x 轴上,设其坐标为 ? x0,? ,代入上式,得 x0 ? 4 ?
圆上,∴ ∴

9 9 2 2 25 ? x12 y2 ? 25 ? x2 25 25 9 36 2 y12 ? y2 ? ? ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? . 将 此 式 代 入 ① , 并 利 用 x1 ? x2 ? 8 的 结 论 得 x0 ? 4 ? ? 25 25 y12 ?
1 / 14

?

?

?

?



k BT

9 ?0 5 5 ? ? . 4 ? x0 4
例 5 已知椭圆

x2 y 问能否在椭圆上找一点 M , M 到左准线 l 的距离 MN 是 MF1 使 ? ? 1 ,F1 、F2 为两焦点, 4 3

2

与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:假设 M 存在,设 M ?x1,y1 ? ,由已知条件得

a ? 2 , b ? 3 ,∴ c ? 1 , e ?

1 .∵左准线 l 的方程是 x ? ?4 ,∴ MN ? 4 ? x1 .又由焦半径公式知: 2 1 1 2 MF1 ? a ? ex1 ? 2 ? x1 , MF2 ? a ? ex1 ? 2 ? x1 .∵ MN ? MF1 ? MF2 , 2 2
? 2 ?? 2 ?

?x1 ? 4?2 ? ? 2 ? 1 x1 ?? 2 ? 1 x1 ? 整理 5x12 ? 32 x1 ? 48 ? 0 x1 ? ?4 或 x1 ? ? 12 ? ?? ?
5
则①与②矛盾,所以满足条件的点 M 不存在. 例 6 已知椭圆

①另一方面 ? 2 ? x1 ? 2 .②

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?
1 1? ? ? k ? x ? ? .代入椭圆方程,并整理得 2 2? ?

分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 k ,利用条件求 k . 解法一:设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ?

?1 ? 2k ?x ? ?2k
2 2

2

2k 2 ? 2k 1 3 . ? 2k x ? k 2 ? k ? ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 2 2

?

∵ P 是弦中点,∴ x1 ? x2 ? 1 .故得 k ? ?

1 .所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 2
y1 ? y 2 . x1 ? x2
① ② ③ ④

分析二:设弦两端坐标为 ? x1,y1 ? 、 ?x2,y2 ? ,列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y 2 的方程组,从而求斜率:

? x12 2 ? ? y1 ? 1, 2 ? 2 ?x ?1 1? 2 解法二:设过 P? , ? 的直线与椭圆交于 A?x1,y1 ? 、 B?x2,y2 ? ,则由题意得 ? 2 ? y 2 ? 1, ? 2 2? ?2 ? x1 ? x2 ? 1, ? ? y1 ? y2 ? 1.
①-②得
2 x12 ? x2 y ?y 1 1 2 ? y12 ? y2 ? 0 . ⑤将③、④代入⑤得 1 2 ? ? ,即直线的斜率为 ? . x1 ? x2 2 2 2

所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 例 7 求适合条件的椭圆的标准方程. 2 / 14

(1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 ?2, 6? ; ? (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为 6. 解: (1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 .由已知 a ? 2b . ① a2 b a b
2 2

又过点 ?2, 6? ,因此有 ?

?? 6? 2 2 2 2 ?? 6 ? ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 .②由①、②,得 a 2 ? 148 , b 2 ? 37 或 a 2 ? 52 , a2 b a b

x2 y2 y2 x2 ? ?1或 ? ? 1. b ? 13 .故所求的方程为 148 37 52 13
2

(2)设方程为

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 .由已知, c ? 3 , b ? c ? 3 ,所以 a 2 ? 18 .故所求方程为 ? ? 1. a2 b 18 9

例 8 椭圆 坐标.

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 A 1,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为最小值时,求点 M 的 16 12

? ?

解:由已知: a ? 4 , c ? 2 .所以 e ?

1 ,右准线 l:x ? 8 . 2

过 A 作 AQ ? l ,垂足为 Q ,交椭圆于 M ,故 MQ ? 2 MF .显然 AM ? 2 MF 的最小值为 AQ ,即 M 为所 求点,因此 yM ? 3 ,且 M 在椭圆上.故 xM ? 2 3 .所以 M 2 3,3 . 例 9 求椭圆

?

?

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值. 3
? x ? 3 cos?, ? y ? sin ? .
设椭圆上的点的坐标为

解:椭圆的参数方程为 ?

?

3 cos?, ? ,则点到直线的距离为 sin

?

d?

3 cos? ? sin? ? 6 2

?? ? 2 sin? ? ? ? ? 6 ?? ? ?3 ? ? .当 sin? ? ? ? ? ?1 时, d 最小值 ? 2 2 . 2 ?3 ?

例 10 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ?

3 ? 3? ,已知点 P? 0, ? 到这个椭圆上的点的最远距离 2 ? 2?

是 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点 P 的距离等于 7 的点的坐标.

x2 y2 解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是 2 ? 2 ? 1 ,其中 a ? b ? 0 待定. a b
由e ?
2

c2 a2 ? b2 b2 ? ? 1 ? 2 可得 a2 a2 a

3 / 14

b 3 1 ? 1 ? e 2 ? 1 ? ? ,即 a ? 2b .设椭圆上的点 ?x,y ? 到点 P 的距离是 d ,则 a 4 2
? 3? y2 ? 9 ? d ? x ? ? y ? ? ? a 2 ?1 ? 2 ? ? y 2 ? 3 y ? ? b ? 2? 4 ? ? ?
2 2 2

9 1? ? ? 4b ? 3 y ? 3 y ? ? ?3? y ? ? ? 4b 2 ? 3 4 2? ?
2 2

2

1 2 其中 ? b ? y ? b .如果 b ? ,则当 y ? ?b 时, d (从而 d )有最大值.由题设得 2 b? 7?

? ?

3? ? 7 ? ? b ? ? ,由此得 2? ?
2

2

3 1 1 1 1 ? ,与 b ? 矛盾.因此必有 b ? 成立,于是当 y ? ? 时, d 2 (从而 d )有最大值. 2 2 2 2 2

由题设得

? 7?

2

? 4b 2 ? 3 ,可得 b ? 1, a ? 2 .∴所求椭圆方程是

x2 y2 ? ? 1. 4 1

由y??

1? 1 1? ? ? ? 3? 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点 ? ? 3, ? ,点 ? 3, ? 到点 P? 0, ? 的距离是 7 . ? ? 2? 2? 2 ? ? ? 2?
? x ? a cos? ,其中 a ? b ? 0 ,待定, 0 ? ? ? 2? , ? 为参数. ? y ? b sin ?

解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 ?
2

b 3 1 c2 a 2 ? b2 ?b? ? 1 ? ? ? 可得 ? 1 ? e 2 ? 1 ? ? ,即 a ? 2b . 由e ? 2 ? 2 a a a 4 2 ?a?
2

设椭圆上的点 ?x,y ? 到点 P? 0, ? 的距离为 d ,则 d ? x ? ? y ?
2 2 2

? ?

3? 2?

? ?

3? 3? ? 2 2 ? ? a cos ? ? ? b sin ? ? ? 2? 2? ?

2

2

1 ? 9 ? ? ?3b 2 ? sin ? ? ? ? 4b 2 ? 3 ? 4b ? 3b s i n? ? 3b s i n ? ? 2b ? 4 ?
2 2 2

如果

1 1 ? 1 ,即 b ? ,则当 sin? ? ?1 时, d 2 (从而 d )有最大值. 2b 2

由题设得

? 7?

2

3? 3 1 1 1 ? ? ? b ? ? ,由此得 b ? 7 ? ? ,与 b ? 矛盾,因此必有 ? 1 成立. 2? 2 2 2 2b ?

2

于是当 sin? ? ? 由题设知

1 2 时 d (从而 d )有最大值. 2b

? 7?

2

? 4b 2 ? 3 ,∴ b ? 1, a ? 2 .

∴所求椭圆的参数方程是 ?

? x ? 2 cos? . ? y ? sin ?

由 sin ? ? ?

3 1? ? 1? 1 ? ? ? , cos? ? ? ,可得椭圆上的是 ? ? 3, ? , ? 3, ? . 2? ? 2 2? 2 ?

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典型例题十一
例 11 设 x , y ? R , 2 x ? 3 y ? 6 x ,求 x ? y ? 2 x 的最大值和最小值.
2 2 2 2

分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程 2 x ? 3 y ? 6 x 与椭圆方程的结构一致.设 x ? y ? 2 x ? m ,显
2 2 2 2

然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值. 解:由 2 x ? 3 y ? 6 x ,得
2 2

3? ? 2 ? x? ? 2 ? ? y ?1 ? 3 ? 9 ? ? ? 2 ? 4 ?
可见它表示一个椭圆,其中心在 ? ,? 点,焦点在 x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点. 0 设 x ? y ? 2 x ? m ,则
2 2

2

?3 ? ?2 ?

?x ? 1?2 ? y 2 ? m ? 1
它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为 m ? 1?m ? ?1? . 在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即 m ? 1 ? 1 ,此 时 m ? 0 ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即 m ? 1 ? 4 ,∴ m ? 15 . ∴ x ? y ? 2 x 的最小值为 0,最大值为 15.
2 2

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典型例题十二
x2 a y2 ? 1?a ? b ? 0? , A 、 B 是其长轴的两个端点. b2

例 12 已知椭圆 C: 2 ?

(1)过一个焦点 F 作垂直于长轴的弦 PP? ,求证:不论 a 、 b 如何变化, ?APB ? 120 ? . (2)如果椭圆上存在一个点 Q ,使 ?AQB ? 120 ,求 C 的离心率 e 的取值范围.
?

分析: 本题从已知条件出发, 两问都应从 ?APB 和 ?AQB 的正切值出发做出估计, 因此要从点的坐标、 斜率入手. 本 题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率 e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质: x ? a , y ? b ,根据

?AQB ? 120 ? 得到

a2 2ay ? ? 3 ,将 x 2 ? a 2 ? 2 y 2 代入,消去 x ,用 a 、 b 、 c 表示 y ,以便利用 y ? b 列 b x2 ? y 2 ? a2

出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成. 解: (1)设 F ?c,? , A?? a,? , B?a,? . 0 0 0

?x ? c ? b2 ? ? P? c, ? ? 2 2 2 2 2 2 ? a? ? ? ?b x ? a y ? a b
于是 k AP ?

b2 b2 , k BP ? . a ?c ? a ? a ?c ? a ?

∵ ?APB 是 AP 到 BP 的角.

b2 b2 ? 2a 2 a?c ? a ? a?c ? a ? ?? 2 ∴ tan ?APB ? b4 c 1? 2 2 2 a ?c ? a ?
∵a ?c
2 2

∴ tan ?APB ? ?2 故 tan ?APB ? ? 3 (2)设 Q?x,y ? ,则 kQA ? ∴ ?APB ? 120 .
?

y y , kQB ? . x?a x?a

由于对称性,不妨设 y ? 0 ,于是 ?AQB 是 QA 到 QB 的角.

y y ? 2ay ∴ tan ?AQB ? x ? a x ? a ? 2 2 y x ? y2 ? a2 1? 2 x ? a2

6 / 14

∵ ?AQB ? 120 ,
?



2ay ?? 3 x ? y2 ? a2
2

整理得 3 x ? y ? a ? 2ay ? 0
2 2 2

?

?

∵x ?a ?
2 2

a2 2 y b2

2 ∴ 3 ?1 ? 2 ? y ? 2ay ? 0 ? b ?

? ?

a2 ? ?

∵ y ?0,

∴y?

2ab2 3c 2

∵ y ? b,



2ab2 ?b 3c 2

2ab ? 3c 2 , 4a 2 ?a 2 ? c 2 ? ? 3c 2
∴ 4c ? 4a c ? 4a ? 0 , 3e ? 4e ? 4 ? 0
4 2 2 4 4 2

∴ e2 ?

6 3 2 或 e ? ?2 (舍) ,∴ ? e ? 1. 3 2

典型例题十三
x2 y2 1 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. k ?8 9 2

例 13 已知椭圆

分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, a ? k ? 8 , b ? 9 ,得 c ? k ? 1 .由 e ?
2 2 2

1 ,得 k ? 4 . 2

当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ?1 ? k .
2 2 2

说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k ? 8 与 9 的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在 x 轴上,也 可能在 y 轴上.故必须进行讨论.

1 1? k 1 5 ,得 ? ,即 k ? ? . 2 9 4 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
由e ?

典型例题十四

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x2 y2 例 14 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b ? 1) ,求 P 到左准线的距离. 4b b
分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解. 解法一:由

x2 y2 3 . ? 2 ? 1 ,得 a ? 2b , c ? 3b , e ? 2 2 4b b

由椭圆定义, PF1 ? PF2 ? 2a ? 4b ,得

PF1 ? 4b ? PF2 ? 4b ? b ? 3b .
由椭圆第二定义,

PF1 d1

? e , d1 为 P 到左准线的距离,

∴ d1 ?

PF1 e

? 2 3b ,

即 P 到左准线的距离为 2 3b . 解法二:∵

PF2 d2

? e , d 2 为 P 到右准线的距离, e ?

c 3 ? , a 2

∴ d2 ?

PF2 e

?

2 3 b. 3

又椭圆两准线的距离为 2 ?

a2 8 3 ? b. c 3

∴ P 到左准线的距离为

8 3 2 3 b? b ? 2 3b . 3 3

说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解. 椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点 的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.

典型例题十五
? x ? 4 cos? , ? y ? 2 3 sin ? .

例 15 设椭圆 ?

( ? 为参数)上一点 P 与 x 轴正向所成角 ?POx ?

?
3

,求 P 点坐标.

分析:利用参数 ? 与 ?POx 之间的关系求解. 解:设 P(4 cos? , 2 3 sin ? ) ,由 P 与 x 轴正向所成角为

? , 3

∴ tan

?
3

?

2 3 sin ? ,即 tan? ? 2 . 4 cos?

8 / 14

而 sin? ? 0 , cos? ? 0 ,由此得到 cos? ?

5 2 5 , sin ? ? , 5 5

∴ P 点坐标为 (

4 5 4 15 , ). 5 5

典型例题十六
x2 y2 例 16 设 P( x0 , y0 ) 是离心率为 e 的椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, P 到左焦点 F1 和右焦点 F2 的距离分 a b
别为 r1 和 r2 ,求证: r1 ? a ? ex0 , r2 ? a ? ex0 . 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.

解: P 点到椭圆的左准线 l:x ? ?

a2 a2 的距离, PQ ? x0 ? , c c

由椭圆第二定义,

PF1 PQ

? e,

∴ r1 ? e PQ ? a ? ex0 ,由椭圆第一定义, r2 ? 2a ? r1 ? a ? ex0 . 说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请 写出椭圆焦点在 y 轴上的焦半径公式.

典型例题十七
x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆上一点. 9 5

例 17 已知椭圆

(1) 求 PA ? PF1 的最大值、最小值及对应的点 P 坐标; (2) 求 PA ?

3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标. 2

分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形 结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结 合,就能简捷求解.

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解: (1)如上图, a ? 6 ,F2 (2 , 0) , AF2 ? 2

2 , P 是椭圆上任一点, PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 ,PA ? PF2 ? AF2 , 设 由

∴ PA ? PF1 ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 ? 6 ? 2 ,等号仅当 PA ? PF2 ? AF2 时成立,此时 P 、 A 、 F2 共 线. 由 PA ? PF2 ? AF2 ,∴ PA ? PF1 ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 ? 6 ? 2 ,等号仅当 PA ? PF2 ? AF2 时成立,此时 P 、 A 、 F2 共线. 建立 A 、 F2 的直线方程 x ? y ? 2 ? 0 ,解方程组 ?

? x ? y ? 2 ? 0,
2 2 ?5 x ? 9 y ? 45

得两交点

9 15 5 15 9 15 5 15 P( ? 2, ? 2 ) 、 P2 ( ? 2, ? 2) . 1 7 14 7 14 7 14 7 14
综上所述, P 点与 P1 重合时, PA ? PF1 取最小值 6 ? 2 , P 点与 P2 重合时, PA ? PF2 取最大值 6 ? 2 . (2)如下图,设 P 是椭圆上任一点,作 PQ 垂直椭圆右准线, Q 为垂足,由 a ? 3 , c ? 2 ,∴ e ? 定义知

2 .由椭圆第二 3

PF2 PQ

?e?

2 3 3 ,∴ PQ ? PF2 ,∴ PA ? PF2 ? PA ? PQ ,要使其和最小需有 A 、 P 、Q 共线,即求 A 3 2 2

到右准线距离.右准线方程为 x ?

9 . 2

∴ A 到右准线距离为 说明:求 PA ?

6 5 7 , 1) . .此时 P 点纵坐标与 A 点纵坐标相同为 1,代入椭圆得满足条件的点 P 坐标 ( 5 2

1 PF2 的最小值,就是用第二定义转化后,过 A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径 PF2 与点准 e
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距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段.

典型例题十八
x2 y2 ? ? 1 的参数方程; 9 4

例 18

(1)写出椭圆

(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一 点坐标,所求问题便化归为三角问题. 解:(1) ?

? x ? 3 cos? (? ? R) . ? y ? 2 sin ?

(2)设椭圆内接矩形面积为 S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于 x 轴和 y 轴,设 (3 cos? , 2 sin? ) 为矩形在第

? ), 2 则 S ? 4 ? 3 cos? ? 2 sin? ? 12 sin 2? ? 12
一象限的顶点, (0 ? ? ? 故椭圆内接矩形的最大面积为 12. 说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式 较简便.

典型例题十九
例 19 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? . (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证 ?PF1 F2 的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) P( x1 , y1 ) ( y1 ? 0 ) , . a 2 b2
思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即 tan 60 ? ?

K PF2 ? K PF1 1 ? K PF2 K PF1
2 2

? 3 ,设 P( x1 , y1 ) , F1 (?c , 0) ,

F2 (c , 0) , 化 简 可 得
2

3x1 ? 3 y1 ? 2cy1 ? 3c 2 ? 0 . 又
2 2

x1 y 2 ? 12 ? 1 , 两 方 程 联 立 消 去 x1 得 2 a b

3c 2 y1 ? 2b 2cy1 ? 3b 4 ? 0 ,由 y1 ? (0 , b] ,可以确定离心率的取值范围;解出 y1 可以求出 ?PF1 F2 的面积,但这
一过程很繁. 思路二: 利用焦半径公式 PF1 ? a ? ex1 , PF2 ? a ? ex1 , ?PF1 F2 中运用余弦定理, x1 , 在 求 再利用 x1 ? [?a , a] , 可以确定离心率 e 的取值范围,将 x1 代入椭圆方程中求 y1 ,便可求出 ?PF1 F2 的面积. 11 / 14

思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合 PF1 ? PF2 ? 2a 求解.

解:(法 1)设椭圆方程为

x2 y2 , ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) P( x1 , y1 ) , F1 (?c , 0) , F2 (c , 0) , c ? 0 , a 2 b2

则 PF1 ? a ? ex1 , PF2 ? a ? ex1 . 在 ?PF1 F2 中,由余弦定理得

cos 60? ?

1 (a ? ex1 ) 2 ? (a ? ex1 ) 2 ? 4c 2 ? , 2 2(a ? ex1 )( a ? ex1 )

解得 x1 ?
2
2

4c 2 ? a 2 . 3e 2
2

(1)∵ x1 ? (0 , a ] , ∴0 ? ∴e ?

4c 2 ? a 2 ? a 2 ,即 4c 2 ? a 2 ? 0 . 3e 2

c 1 ? . a 2 1 2

故椭圆离心率的取范围是 e ? [ , 1) . (2)将 x1 ?
2

4c 2 ? a 2 x2 y2 代入 2 ? 2 ? 1 得 a b 3e 2

b2 b4 y1 ? 2 ,即 y1 ? . 3c 3c
2

∴ S ?PF1F2 ?

1 1 b2 3 2 F1 F2 ? y ? ? 2c ? ? b . 2 2 3 3c

即 ?PF1 F2 的面积只与椭圆的短轴长有关. (法 2)设 PF1 ? m , PF2 ? n , ?PF2 F1 ? ? , ?PF1F2 ? ? , 则 ? ? ? ? 120 ? . (1)在 ?PF1 F2 中,由正弦定理得

m n 2c ? ? . sin ? sin ? sin 60?


m?n 2c ? sin ? ? sin ? sin 60?
12 / 14

∵ m ? n ? 2a , ∴

2a 2c , ? sin ? ? sin ? sin 60?

∴e ?

c sin 60? sin 60? ? ? a sin ? ? sin ? 2 sin ? ? ? cos ? ? ? 2 2 1 1 ? ? . ? ?? 2 2 cos 2

当且仅当 ? ? ? 时等号成立. 故椭圆离心率的取值范围是 e ? [ , 1) . (2)在 ?PF1 F2 中,由余弦定理得:

1 2

(2c) 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos 60? ? m 2 ? n 2 ? mn ? (m ? n) 2 ? 3mn
∵ m ? n ? 2a , ∴ 4c ? 4a ? 3mn ,即 mn ?
2 2

4 2 2 4 (a ? c ) ? b 2 . 3 3

∴ S ?PF1F2 ?

1 3 2 mn sin 60? ? b . 2 3

即 ?PF1 F2 的面积与椭圆短轴长有关. 说明:椭圆上的一点 P 与两个焦点 F1 , F2 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运 用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现 PF1 ? PF2 的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到 有关 a , c 的关系式,使问题找到解决思路.

典型例题二十
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与 x 轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点 P ,使 OP ? AP ( O 为坐标原 a 2 b2

例 20 椭圆

点),求其离心率 e 的取值范围. 分析:∵ O 、 A 为定点, P 为动点,可以 P 点坐标作为参数,把 OP ? AP ,转化为 P 点坐标的一个等量关系, 再利用坐标的范围建立关于 a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于 e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程. 解:设椭圆的参数方程是 ?

? x ? a cos? (a ? b ? 0) , ? y ? b sin ?
13 / 14

则椭圆上的点 P(a cos? , b sin? ) , A(a , 0) , ∵ OP ? AP ,∴

b sin? b sin? ? ? ?1 , a cos? a cos? ? a
2 2

即 (a ? b ) cos ? ? a cos? ? b ? 0 ,解得 cos? ? 1 或 cos? ?
2 2 2

b2 , a2 ? b2

∵ ?1 ? cos? ? 1

∴ cos? ? 1 (舍去) ?1 ? ,

b2 ? 1 ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 2 2 a ?b

∴0 ?

a2 ? 2, c2
2 2 ,又 0 ? e ? 1,∴ ? e ? 1. 2 2 2 , 1) ,求证在椭圆上总存在点 P 使 OP ? AP .如何证明? 2

∴e ?

说明:若已知椭圆离心率范围 (

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