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2017届河北沧州一中高三10月月考数学(文)试卷


2017 届河北沧州一中高三 10 月月考数学(文)试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.已知集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} , B ? {?2, ?1, 0,1} ,则 (CR A) ? B ? ( ) A. {?2, ?1} B. {?2} C. {?1, 0,1} D. {0,1} 2.设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B.-1 C.1 D.3

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为( ) 3?i

?x ? y ? 0 ? 3.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? ?2 x ? y 的最大值是( ) ?y ?1 ?
A.-1 B.-2 C.-5 D.1
2 4.已知命题 p : 方程 x ? 2ax ? 1 ? 0 有两个实数根:命题 q : 函数 f ( x) ? x ?

4 的最小 x

值为 4,给出 下列命题:① p ? q ;② p ? q ;③ p ? ?q ;④ ? p ? ? q .则其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.设 {an } 是首项为 a1 ,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成等比数 列,则 a1 ? ( ) A.2 B.-2 C.

1 2
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D. ?

1 2

6.如图,在 ?ABC 中, AN ? 则实数 m 的值为( )

????

??? ? ??? ? 2 ???? 1 ???? NC ,点 P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC , 3 9

A.1

1 3 1 C. 9
B. D.3 7.为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图象( )

? 个单位 12 ? B.向右平移 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 12 ? D.向左平移 个单位 4 8.正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长相等, E 为 SC 的中点,则 BE 与 SA 所成
A.向右平移 角的余弦值为()

1 3 1 B. 2
A. C.

3 3 3 2

D.

9.已知函数 f ( x) ? cos( x ? A.最小正周期为 T ? 2? B.图象关于点 ( C.在区间 (0,

?
4

) sin x ,则函数 f ( x) 满足( )

?
8

,?

2 ) 对称 4

?
8

) 上为减函数
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D.图象关于直线 x ?

?
8

对称

10.表面积为

4 3 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为( ) 3

A.

2 ? 3

1 3 2 C. ? 3
B. ? D.

2 2 ? 3

11. 已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且当 x ? (?1,1] 时,f ( x) ?| x | ,

?sin ? x, x ? 0 ? 函数 g ( x) ? ? 1 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上的零点的个数 ? ,x ?0 ? ? x
为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 12.函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (0) ? 2 ,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f '( x) ? 1 ,则 不等式 e ?f ( x) ? e ? 1 的解集为( )
x x

A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1} 或 x ? 1 D. {x | x ? ?1} 或 0 ? x ? 1}

2? 3? , ) 的值域为_____________. 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 14 . 若 非 零 向 量 a, b 满 足 | a | ? 3 |b ? | a |? b 2, |则 a 与 b 的夹角的余弦值为
13.函数 y ? log3 (2cos x ?1) , x ? ( ? ____________. 15.一个几何体的三视图如下图所示(单位: m ) ,则该几何体的表面积为___________.

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16.观察下列等式: 1=1, 2+3+4=9, 3+4+5+6+7=25, 4+5+6+7+8+9+10=49, …… 照此规律,第 n 个等式为_____________. 17.在 ?ABC 中,a ,b ,c 分别为内角 A , B ,C 的对边,且 a sin 2B ? 3b sin A . (1)求 B ; (2)若 cos A ?

1 ,求 sin C 的值. 3

18.已知数列 {an } 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9 , a2 a3 ? 8 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, bn ?

an?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . Sn Sn?1

* 19 . 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 , 且 对 任 意 n ? N , 函 数

f ( x)? (n a? n a a ? ? 1 ? n ? 2 ) x
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? 2( an ?

n ?1

a c o s? x

n ?2

? f '( ) ? 0 . a 满足 s i nx 2

1 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 2 an a b c ? ? . cos A 2 cos B 3cos C

C 的对边, b, B, 20. 在 ?ABC 中, 且 a, c 分别为内角 A ,
(1)求 A ; (2)若 ?ABC 的面积为 3,求 a 的值.

x2 21.已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x , g ( x) ? x .已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 e
切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1)求 a 的值; (2)证明:方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内有且只有一个实根.
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22.已知函数 f ( x) ? x ?

a ? (a ? 1) ln x(a ? R) . x

(1)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使 f ( x) ? x 恒成立,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:因为 A ? {x | x ? ?1}, C R A ? {x | x ? ?1} ,故 (C R A) ? B ? {?2,?1} ,故应选 A. 考点:不等式的解法与集合的运算. 2.D 【解析】 试题分析:因 a ?

10 10(3 ? i ) ?a? ? a ? 3 ? i ,故由题设 a ? 3 ? 0 ,故 a ? 3 ,应选 D. 3?i 9 ?1

考点:复数的概念与运算. 3.A 【解析】 试题分析: 画出不等式所表示的平面区域如图,结合图形可以看出:当动直线 y ? 2 x ? z 经过 点 B(1,1) 时,动直线在 x 轴上的截距 z 最大, z max ? ?2 ? 1 ? ?1 ,故应选 A.
y y=2x+z

A(2,2)

B(1,1) O

C(3,1) x

考点:线性规划的知识及运用. 4.C 【解析】
2 2 试题分析:因为 p : 4a ? 4 ? 0 ? 方程 x ? 2 ax ? 1 ? 0 有两个实数根是真命题;命题

q : x ? 0 时函数 f ( x) ? x ?

4 的最小值为 4 是真命题,故 p 真 q 假,故依据复合命题真假判 x

定的结论可知②③④是正确的,应选 C. 考点:命题的真假与复合命题的真假的判断. 5.D 【解析】
2 试题分析:由题设可得 (2a1 ? 1) ? a1 (4a1 ? 6) ,解之得 a1 ? ?

1 ,故应选 D. 2

考点:等差数列等比数列的通项与前 n 项和等知识的综合运用.
答案第 1 页,总 10 页

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6.C 【解析】 试题分析:设 BP ? t BN , 则 AP ? AB ? t ( AN ? AB) , 即 AP ? (1 ? t ) AB ?

??? ? ??? ? 2 ???? 1 2 1 AP ? m AB ? AC ,故 t ? , m ? 1 ? t ? ,故应选 9 4 9 9
C. 考点:向量的几何运算与待定系数法的运用. 7.A 【解析】 试题分析:因为 y ? sin 3x ? cos3x ?

1 t AC , 因为 4

2 sin(3x ?

?
4

) ? 2 sin 3( x ?

?
12

) ,而

y ? 2 cos3x ? 2 sin(3x ?

?
2

) ? 2 sin 3( x ?

?
6

) ? 2 sin 3( x ?

?

12

?

?
12

) , 故应选答案

A. 考点:正弦函数的图象与性质的运用. 8.C 【解析】 试题分析: 如图,设 AC ? BD ? O ,连接 OE 是 ?SAC 的中位线,故 EO // SA ,由异面直线所 成角的 . 设 SA ? AB ? 2a , 则 OE ?

1 3 2 SA ? a, BE ? SA ? 3a, OB ? SA ? 2a , 2 2 2

在 ?EOB 中,运用余弦定理可得 cos?BEO ?

a 2 ? 3a 2 ? 2a 2 2 3a 2

?

3 ,故应选 C. 3

S

E D C O A B

考点:异面直线所成角的概念及求法. 9.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

f(

?

x) ?

?
4

c

x o

s

x

?

2 2 (sin x cos x ? sin 2 x) ? (sin 2 x ? 1 ? cos 2 x) 2 4

答案第 2 页,总 10 页

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? ? 1 ? 2 ,当 x ? 时取最大值,故 x ? 是对称轴,应选 D. ? sin(2 x ? ) ? 8 8 2 4 4
考点:正弦函数的图象和性质的综合运用. 10.A 【解析】 试题分析: 设正四面体的棱长为 a ,则由题设可知 4 ?

3 2 4 3 2 3 ,解之得 a ? ,四面 a ? 4 3 3
, 由 题 设









2 3 2 6 2 2 SM ? h ? a 2 ? ( ? a) ? a? 3 2 3 3

(

2 2 3 2 4 2 2 2 2 ,故该球的体积 V ? ? ? ? R) 2 ? ( a) ? R 2 ,解之得 R ? ? ? ,故 3 3 3 8 3 2

应选 A.
S

h O A a B M C

考点:几何体的外接球的体积公式及运用. 【易错点晴】本题考查的是四面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该三 棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时 充分借助题设条件,运用体积已知先求出正四面条的棱长 a ?

2 3 ,进而求得该四面体的高 3

SM ? h ?

6 2 2 2 2 3 2 , 由题设运用勾股定理建立方程 ( a? ? R) 2 ? ( a) ? R 2 , 解 3 3 3 3 2 ,最后运用体积公式求得该几何体的外接球的体积是心是 2

之得 R?

4 2 2 2 V ? ?? ? ?. 3 8 3
11.B 【解析】 试题分析: 因为 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 2) ? f ( x) ,故函数 f ( x) 是周期为 2 的周期函
答案第 3 页,总 10 页

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数,又当 x ? (?1,1] 时, f ( x) ?| x | ,作出函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象如图,结合图 象可知,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上的零点的个数为 9 ,故应选 B.
y

x -3 -2 -1 O 1 2 3 4

考点:分段函数的图象与周期函数的图象和性质等知识的综合运用. 【易错点晴】函数的图象和性质中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重 要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息 ,依据数形结合的数学思想是 求解这类问题的秘匙.解答时先依据函数的周期性画出函数函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象.进而将函数的零点问题转化为函数的图象的交点的个数问题,结合图象可知,函数

h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上的零点的个数为 9 .
12.A 【解析】 试题分析:令函数 F ( x) ? e x f ( x) ? e x , 因 F / ( x) ? e x f ( x) ? e x f / ( x) ? e x ? 0 , 故函数

F ( x) ? e x f ( x) ? e x 是 R 上 单 调 递 增 函 数 , 且 F (0) ? f (0) ? 1 ? 1 , 所 以 不 等 式
可化为 F ( x) ? F (0) ,故由函数的单调性可知 x ? 0 ,故应选 A. e x ?f ( x )? e x ? 1 考点:函数的单调性与导数的关系及综合运用. 【易错点晴】本题以可导函数满足的不等式为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间 的关系的应用问题.解答本题的关键是如何将不等式 e ?f ( x) ? e ? 1 进行等价转化与化归.
x x

求解时依据题设条件先构造函数 F ( x) ? e f ( x) ? e ,将不等式 f ( x) ? f '( x) ? 1 进行等价
x x / x x 转 化为 F ( x) ? 0 , 从而确定 函数 F ( x) ? e f ( x) ? e 在 R 上 单调递增 , 从而 将不等式

e x ?f ( x) ? e x ? 1 化为 F ( x) ? F (0) ,即 x ? 0 ,从而使得问题最终获解.

(? ?,1 ) 13.
【解析】 试 题 分 析 : 因 ?

2? 2? 1 ?x? , 故 ? ? cos x ? 1 , 则 0 ? 2 cos x ? 1 ? 3 , 故 3 3 2

log3 (2 cos x ? 1) ? 1 ,故应填 (??,1] .
答案第 4 页,总 10 页

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考点:余弦函数对数函数的图象和性质的等知识及运用. 14. ?

1 3

【解析】 试 题 分 析 : 由 | a |?| a ? 2b | 可 得 4a ? b ? 4 | b |2 ? 0 , 即 | a | ? | b | cos? ? ? | b |2 , 也 即

1 1 3c o s ? ? ?1 ,所以 cos ? ? ? ,故应填 ? . 3 3
考点:向量的模与数量积公式等有关知识的综合运用. 15. 55 ? 4 2 【解析】 试题分析:由三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是两个棱柱的组合体 .因此 其表面积 S ? 2[ (1 ? 2) ? 1 ? 2 ? 3] ? 2 ? 1 ? 4 ? 故应填 55 ? 4 2 . 考点:三视图的识读和理解. 【易错点晴】本题考查的是三视图与原几何体的形状的转化问题.解答时先依据题设中提供 的三视图,将其还原为立体几何中的简单几何体,再依据几何体的形状求其表面积.在本题求 解过程中,从三视图中可以推测这是一个该几何体是两个棱柱的组合体 .因此求解时直接利 用 几 何 图 形 的 面 积 公 式 求 出 其 表 面 积 为

1 2

2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 4 ? 55 ? 4 2 ,

1 S ? 2[ (1 ? 2) ? 1 ? 2 ? 3] ? 2 ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 4 ? 55 ? 4 2 . 2
16. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)
2

【解析】 试题分析:因第一行一个数.第二行有三个数,第三行有四个数,第四行有七个数,-----每行 最 后 一 个 数 的 通 项 公 式 的 形 式 为 3n ? 2 , 右 边 的 数 分 别 为 奇 数 的 平 方 的 形 式 . 故

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 .

,







考点:归纳推理等有关知识及运用. 【易错点晴】本题以自然数列的排列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运 用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息 ,利用题设观察出每一行的数的特征 和规律为第一行一个数.第二行有三个数,第三行有四个数,第四行有七个数,-----,每行最 后一个数的通项公式的形式为 3n ? 2 ,右边的数分别为奇数的平方的形式,然后再确定数表 中 的 第 n 行 的 规 律 , 写 出 该 数 表 中 的 第 n 行 的 等 式 为

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 .
17. (1) B ?

?
6

; (2)

2 6 ?1 . 6

答案第 5 页,总 10 页

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【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用正弦定理求解; (2)借助题设运用三角变换的公式求解探 求. 试题解析: (1)在 ?ABC 中,由

a b ? 可得, sin A sin B

a sin B ? b sin A ,
又由 a sin 2B ? 3b sin A 得,

2a sin B cos B ? 3b sin A ? 3a sin B ,
所以 cos B ?

3 , 2

因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? (2)由 cos A ?

?
6

.

1 2 2 ,得 sin A ? , 3 3

则 sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ,

所以 sin C ? sin( A ?

?
6

)?

3 1 2 6 ?1 . sin A ? cos A ? 2 2 6
1 2
n ?1

考点:三角变换的公式及正弦定理等有关知识的综合运用. 18. (1) an ? 2n?1 ; (2) 1 ?

?1

.

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用等比数列的通项建立方程求解; (2)借助题设运用裂项相 消法求和探求. 试题解析: (1)由题设 a1a4 ? a2a3 ? 8 ,又 a1 ? a4 ? 9 , 可解得 ?

?a1 ? 1 ? a1 ? 8 或? (舍去) , ?a4 ? 8 ? a4 ? 1

由 a4 ? a1q3 得公比 q ? 2 , 所以 an ? 2n?1 . (2) Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q

答案第 6 页,总 10 页

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又 bn ?

an?1 S ?S 1 1 , ? n?1 n ? ? Sn Sn?1 Sn Sn?1 Sn Sn?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) S1 S2 S2 S3 S3 S 4 Sn Sn?1

所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? (

?

1 1 1 . ? ? 1 ? n?1 S1 Sn?1 2 ?1
1 . 2n

考点:等比数列的通项公式前 n 项和等有关知识的综合运用.
2 19. (1) an ? n ? 1 ; (2) n ? 3n ? 1 ?

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用导数和等差数列的知识求解; (2)借助题设运用等差数列 等比数列的有关知识探求. 试题解析: (1)由题设可得 f '( x) ? an ? an?1 ? an?2 ? an?1 sin x ? an?2 cos x ,
* 对任意 n ? N , f '( ) ? an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? 0 ,即 an?1 ? an ? an?2 ? an?1 ,

?

2

所以数列 {an } 是等差数列, 由 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,解得数列 {an } 的公差 d ? 1 , 所以 an ? n ? 1 . (2)由 bn ? 2(an ?

1 1 1 ) ? 2(n ? 1 ? n ?1 ) ? 2n ? n ? 2 知, an 2 2 2 1 1 [1 ? ( )n ] n(2 ? 2n) 2 2 ? 2n ? n 2 ? 3n ? 1 ? 1 . Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ? 1 2 2n 1? 2

考点:等差数列等比数列等有关知识的综合运用. 20. (1) A ?

?
4

; (2) a ? 5 .

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用正弦定理及两角和的正切公式求解; (2)借助题设运用正 弦定理和三角形面积公式求解探求. 试题解析:

a b c ? ? , cos A 2 cos B 3cos C sin A sin B sin C tan B tan C ? ? ? ∴由正弦定理得 ,即 tan A ? , cos A 2 cos B 3cos C 2 3 则 tan B ? 2 tan A , tan C ? 3tan A .
(1)∵
答案第 7 页,总 10 页

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又在 ?ABC 中, tan A ? ? tan( B ? C ) ? ? 则 tan A ? ?

tan B ? tan C , 1 ? tan B tan C

2 tan A ? 3 tan A ,解得 tan 2 A ? 1 , 1 ? 6 tan 2 A 由 tan B ? 2 tan A , tan C ? 3tan A 知, A 必为锐角,
所以 tan A ? 1 ,则 A ?

?

4 (2)由 tan A ? 1 可得: tan B ? 2 , tan C ? 3 ,
则 sin B ?

.

2 5 3 10 , sin C ? , 2 10
a b ? , sin A sin B

在 ?ABC 中,有 则b ?

sin B 2 10 a? a, sin A 5
1 3 ab sin C ? a 2 ? 3 , 2 5

所以 S ?ABC ?

2 解得 a ? 5 ,∴ a ? 5 .

考点:正弦定理及三角变换的公式等有关知识的综合运用. 21. (1) a ? 1 ; (2)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用导数的几何意义求解; (2)借助题设运用导数的有关知识 求解探求. 试题解析: (1) f '( x) ? ln x ?

a ? 1, x

由题意知,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2, 则 f '(1) ? 2 , 所以 a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 1 . (2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 则 h(1) ? ?

x2 , x ? (1, 2) , ex

1 4 ? 0 , h(2) ? 3ln 2 ? 2 ? 0 , e e

所以 h(1)h(2) ? 0 , 所以函数 h( x) 在 (1, 2) 内一定有零点,

h '( x) ? ln x ?

x ? 1 2 x ? x 2e x 1 ?( x ? 1)2 ? 1 1 ? ? ln x ? ? 1 ? ? 1? ? 0 , x 2 x x (e ) x e e
答案第 8 页,总 10 页

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∴ h( x) 在 (1, 2) 上单调递增,所以函数 h( x) 在 (1, 2) 内有且只有一个零点, 即方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内有且只有一个实根. 考点:导数的几何意义和导数在研究函数的单调性和最值方面等有关知识的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含 参数 a 的函数 f ( x), g ( x) 解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面 的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数解析式中的参数 a 值的问题, 求解时直接对函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x 求导,运用导数的几何意义求得 a ? 1 ;第二问运用则 借助导数推得函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ?

x2 在 (1, 2) 上是单调递增的 , 从而确 ex

定函数在上只有一个零点,即方程方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内有且只有一个实根,从而使得 问题简捷巧妙获解. 22. (1) 当 0 ? a ? 1 时, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, a ) 和 (1, ??) , 单调递减区间为 (a,1) , 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ; (2) [

1 , ?? ) . e ?1

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用导数的知识; (2)借助题设运用导数的知识求解探求. 试题解析: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

f '( x) ? 1 ?

a a ? 1 ( x ? a)( x ? 1) ? ? , x2 x x2

当 0 ? a ? 1 时, 由 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? a ,或 x ? 1 , 由 f '( x) ? 0 ,得 a ? x ? 1 , 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, a ) 和 (1, ??) ,单调递减区间为 (a,1) , 当 a ? 1 时, f '( x) ?

( x ? 1) 2 ? 0 恒成立, x2

故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . (2) f ( x) ? x 恒成立等价于 a ? (a ? 1) x ln x ? 0 恒成立, 令 g ( x) ? a ? (a ? 1) x ln x ,

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当 a ? 1 ? 0 时,即当 a ? ?1 时, g ( x) ? ?1 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 内不能恒成立, 当 a ? 1 ? 0 时,即当 a ? ?1 时,则 g (1) ? a ? ?1 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 内不能恒成立, 当 a ? 1 ? 0 时,即当 a ? ?1 时,

g '( x) ? (a ? 1)(1 ? ln x) ,
由 g '( x) ? 0 解得 x ? 当0 ? x ? 当x ?

1 , e

1 时, g '( x) ? 0 ; e

1 时, g '( x) ? 0 . e 1 a ?1 ?0, 所以 g ( x) min ? g ( ) ? a ? e e 1 解得 a ? . e ?1 1 综上,当 a ? 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,即 f ( x) ? x 恒成立, e ?1 1 , ?? ) . 所以实数 a 的取值范围是 [ e ?1
考点:导数与不等式的有关知识等有关知识的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含 参数 a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用 和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数 f ( x) 单调区间问题,求解时借助题设中 的 0 ? a ? 1 直接对函数 f ( x) ? x ?

a ? (a ? 1) ln x(a ? R) 求导,分类求出了函数的单调区间; x

第二问运用则借助不等式 f ( x) ? x 恒成立构造函数 g ( x) ? a ? (a ? 1) x ln x 进行分析推证, 最后求得参数 a 的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.本题具有一定的难度和区分度,是 一道难得的好题.

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