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选修2-1,2.4.2

2.4.2 一、选择题 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么,|AB|等于( ) A.8 B.10 C.6 D.4 2.到点(-1,0)与直线 x=3 的距离相等的点的轨迹方程为( ) 2 A.x =-4y+4 B.y2=-4x+4 C.x2=-8y+8 D.y2=-8x+8 3.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离 是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 4. 若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1, 则点 P 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2 5.抛物线 y=-x 上的点,到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( ) 4 A. 3 8 C. 5 B. 7 5

D.3

6.过抛物线 y2=4x 的焦点,作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐 标之和等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 二、填空题 7.已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则→ AP·→ BP取得最 小值时的点 P 的坐标是______. 8.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 A→ M =M→ B ,则 p=________. 三、解答题 9.已知点 A 在平行于 y 轴的直线 l 上,且 l 与 x 轴的交点为(4,0).动点 P 满足 → AP平行于 x 轴,且→ OA⊥→ OP,求 P 点的轨迹.

10.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切.

2.4.2 一、选择题 1.[答案] A [解析] 由题意,|AB|=x1+1+x2+1=(x1+x2)+2=6+2=8,选 A. 2.[答案] D [解析] 由已知得=|x-3|, 变形为:y2=-8x+8,故选 D. 3.[答案] B [解析] 本题考查抛物线的定义. 由抛物线的定义可知,点 P 到抛物线焦点的距离是 4+2=6. 4.[答案] D 5.[答案] A 2 [解析] 抛物线 y=-x 上到直线 4x+3y-8=0 的距离最小的点 也就是抛物线 y=-x2 的与 4x+3y-8=0 平行的切线的切点. 设切线方程为 4x+3y+b=0,联立与 y=-x2 组成的方程组,解得切点为(3,-
4 9) 2

∴最小距离为 d=42+32=3. 6.[答案] B [解析] 由定义|AB|=5+2=7, ∵|AB|min=4,∴这样的直线有两条. 二、填空题 7.[答案] (0,0) [解析] 设 P ,y ,则→=-2,y,→=-4,y,→·→=-2-4+y2=16+2y2+8≥ 8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). 8.[答案] 2 [解析] 本题考查了抛物线与直线的位置关系. 由斜率为,∠M=60°, 又→=→,∴M 为中点. ∴BP=BM,∴M 为焦点, 即2=1,∴p=2. 三、解答题 9.[解析] 设动点 P 的坐标为(x,y),则由已知有 A 的坐标为(4,y),所以→= (4,y),→=(x,y). 因为→⊥→,所以→·→=0,因此 4x+y2=0, 即 P 的轨迹方程为 4x+y2=0.∴轨迹是抛物线.
OA OP OA OP OP OA p AM MB -y2 AP y2 BP y2 AP BP y2 y2 y4 5

-8|

4

10.[证明] 如图,作 AA′⊥l 于 A′,BB′⊥l 于 B′,M 为 AB 的中心,作 MM′ ⊥l 于 M′,

则由抛物线定义可知|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|, 在直角梯形 BB′A′A 中,|MM′|=2(|AA′|+|BB′|) =2(|AF|+|BF|)=2|AB|, 即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径. 故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切.
1 1 1


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