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河北衡水中学2013-2014学年高二上学期期中考试 数学理试题 Word版含答案

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2013—2014 学年度高二上学期中考试 高二年级数学试卷(理科)
第I卷
一,选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符 合要求的) 1. 已知向量 a ? (?1, 2, ) ,下列向量中与 a 平行的向量是 A. ( ?1, 2, ? )

1 3



) D. (3, ?6,1)

1 3

B. (5, ?10, ? )

5 3

C. ( ?5,10, ? )

5 3

2.已知抛物线 C:y2=x 与直线 l:y=kx+1.“k≠0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点” 的( ) A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2 2 3. 已知方程 ax ? by ? ab 和 ax ? by ? 1 ? 0 (其中 ab ? 0 , a ? b ),它们所表示的曲线可能

是(



4. 2x2-5x-3<0 的一个必要不充分条件是 A.-





1 <x<3 2

B.-

1 <x<0 2

C.-3<x<

1 2

D.-1<x<10

5. 已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1, ?a ? b ? 0? ,两渐近线的夹角为 60? ,则双曲线的离心率为( ) 2 a b
B. 3 C. 2 D.

A.

2 3 3

2 3 或2 3


6. 已知 {e1, e2 , e3} 是空间的一个基底, 下列四组向量中, 能作为空间一个基底的是 ( ①e1,2e2 , e2 ? e3 ③2e1 ? e2 , e2 ? e3 , ?e1 ? 5e3 ②2e2 , e2? e1, e? 2 e1 2 ④e3 , e 1? e , 3e ? 1 e
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D.① ③ 2 1 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别在 A1D、 AC 上, 且 A1E= A1D, AF= AC, 则( 3 3 A.EF 至多与 A1D、AC 之一垂直 C.EF 与 BD1 相交 B.EF 是 A1D,AC 的公垂线 D.EF 与 BD1 异面

A.① ②

B.② ④

C.③ ④

)

8. 如图,空间四边形 OABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c ,点 M 在 线段 OA 上,且 OM ? 2 MA ,点 N 为 BC 的中点,则 MN ? ( )

1 2 1 a? b? c 2 3 2 1 1 1 C. a ? b ? c 2 2 2
A.

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 2 1 D. a ? b ? c 3 3 2
B. ? )

9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长是 1,则直线 DA1 与平面 ACB1 间的距离为( A.

3 3

B.

6 3

C.

2 3

D.

2 4

10.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 , 若△ ABF2 的内切圆面积为 ? , A、 25 16


B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? y1 的值为( A.

5 3

B.

10 3

C.

20 3

D.

5 3

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在第一象限,且在椭圆 C 上,点 P 在 11. 椭圆 C : 9 4
第一象限且在椭圆 C 上,满足 PF 1 ? 2 PF2 ,则点 P 的坐标为( A. ? )

?3 5 4 5 ? ? ? 5 , 5 ? ? ?

B. ? ,1?

?3 ? ?2 ?

C. ?

? 6 30 ? ? ? 2 , 3 ? ? ?

D. ?

? 3 15 1 ? ? ? 4 , 2? ? ?

12.已知 F1,F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且 ?F1 PF2 ? 2 2 a b

记线段 PF1 与 y 轴的交点为 Q, O 为坐标原点, 若△ F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1: 2, 则该椭圆的离心率等于 A. 2 ? 3 ( ) C. 4 ? 2 3 D. 3 ? 1

B. 2 3 ? 3

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第Ⅱ 卷(非选择题 90 分)
二.填空题(每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答卷纸的相应位置) 13.已知 a ? ?4,?2,6?, b ? ?? 1,4,?2?, c ? ?4,5, ? ? ,若 a, b, c 三向量共面,则 ? ? ________
0 14.正三棱锥 P ? ABC 的高为 2,侧棱与地面 ABC 成 45 ,则点 A 到侧面 PBC 的距离为

15 已知直线 l 与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 2 交于 P 1 , P2 两点,线段 P 1P 2 的中点为 P,设直线 l 的斜率为

k 1 (k1≠0),直线 OP 的斜率为 k 2 ,则 k1k 2 的值等于
16.已知函数 y ? loga ?x ? 1? ?a ? 0, a ? 1? 恒过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F ,若 A,B 是 抛物线上的两点,且 AF ?BF ? 0 ,直线 AB 的斜率不存在,则弦 AB 的长为 三.解答题(共 6 小题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17.(本题满分 10 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD ,

AB ? AD, AB // CD ,
CD ? 3 AB ? 3 ,平面 SAD ? 平面 ABCD ,E 是线段 AD 上一点,

AE ? ED ? 3, SE ? AD
(1) 证明:平面 SBE ? 平面 SEC (2) 若 SE ? 1 ,求直线 CE 与平面 SBC 所成角的余弦值。

18. (本题满分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 为菱形, △ PAD 为 等 边 三 角 形 , 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , 且 ∠DAB =60° , AB ? 2 , E 为 AD 的中点. (Ⅰ )求证: AD ? PB ; (Ⅱ )求二面角 A ? PD ? C 的余弦值; (Ⅲ )在棱 PB 上是否存在点 F ,使 EF ∥ 平面 PDC ?并说明 理由.

19(本题满分 12 分)已知椭圆 C1 : 线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A、B 两点.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直 a 2 b2

(1)若椭圆的半焦距 c ? 3 ,直线 x ? ? a 与 y ? ?b 围成的矩形 ABCD 的面积为 8,

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求椭圆的方程; (2)若 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点) ,求证:

1 1 ? 2 ?2; 2 a b

(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率 e 满足 围.

3 2 ,求椭圆长轴长的取值范 ?e? 3 2

20. (本题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PCD⊥ 底面 ABCD, PD⊥ CD, 底面 ABCD 是直角梯形,AB∥ CD,∠ ADC=90° ,AB=AD=PD=1,若 E 为 PC 的中点,且 BE 与平面 PDC 所成的角的正弦值为 (1)求 CD 的长 (2)求证 BC ? 平面 PBD → → (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点,PQ=λPC,试确定 λ 的值,使得二面角 Q-BD-P 的大小为 45° .

2 5 , 5

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,且其右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4x 2 2 a b

的焦点 F 重合. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)直线 l 经过点 F 与椭圆 C1 相交于 A、B 两点,与抛物线 C2 相交于 C、D 两点.求

AB CD

的最大值.

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22.(本题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以 ? 2 ? 1 的离心率为 2 2 a b

该 椭 圆 上 的 点 和 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 F1 , F2 为 顶 点 的 三 角 形 的 周 长 为

4( 2 ?1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于
顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D . (1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; 在,请说明理由. (3)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不存

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2013—2014 学年度高二上学期期中考试 高二年级数学试卷(理科)
一,选择题目: BABDA DBBAB AD

? x2 ? y 2 ? c2 2c 2 a 2 ? a 4 ? 2 12..D 【解析】 由题意知点 P 在圆 x2 ? y 2 ? c2 上, 由 ? x2 y 2 消 y 得 xP ? , 2 c ? ? 1 ? 2 ? a b2
又因为△ F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1: 2,可得

| FO 1 | OQ | 2 c2 2 1 || OQ | , ? ,? ? ,? FQ ? 2 QP , ? x ? 1 p | F1F2 || y p | 3 | yP | 3 4
2c 2 a 2 ? a 4 c 2 ? ,? e4 ? 8e2 ? 4 ? 0,? e2 ? 4 ? 2 3, e2 ? 4 ? 2 3(舍) e ? 3 ?1 ,选 D。 c2 4
二,填空题 13.5 14.

6 5 5

15. ?

1 2

16. 8 2 ? 8

17. 解: (Ⅰ )

平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD

平面 ABCD ? AD ,

SE ? 平面 SAD , SE ? AD , ? SE ? 平面 ABCD , …………2 分
BE ? 平面 ABCD, ? SE ? BE.
AB ? AD , AB // CD , CD ? 3 AB =3, AE=ED= 3 ,

??AEB ? 30 , ?CED ? 60 . 所以 ?BEC ? 90 即 BE ? CE. …………4 分
结合 SE CE ? E 得 BE⊥ 平面 SEC, BE ? 平面 SBE , 平面 SEC. …………5 分 ? 平面 SBE⊥ (Ⅱ )由(Ⅰ )知,直线 ES,EB,EC 两两垂直. 如图,以 EB 为 x 轴, 以 EC 为 y 轴,以 ES 为 z 轴,建 立空间直角坐标系. 则 E(0,0,0), C(0, 2 3,0), S (0,0,1), B(2,0,0) ,

z S

A
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E B

D

x

C

y

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?CB ? (2, ?2 3,0), CS ? (0, ?2 3,1) .
设平面 SBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

? ?n ? CB ? 0, ? ?n ? CS ? 0,

解得一个法向量 n ? ( 3,1, 2 3) ,……7 设直线 CE 与平面 SBC 所成角为 ? , CE ? (0, ?2 3,0),

则 sin ? ?

1 1 ? . 所以直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值 . 4 4 n ? CE

n ? CE

--- 9 分

则直线 CE 与平面 SBC 所成角的余弦值为 18.

15 …………10 4

(Ⅰ )证明:连结 EB,在△ AEB 中,AE=1,AB=2,∠EAB =60° ,

? BE 2 ? AE 2 ? AB2 ? 2 AE ? AB ? cos 60? =1+4-2=3.
∵ AE ? BE ? AB ,∴ AD⊥ EB.
2 2 2

…………………………………………2 分

∵ △PAD 为等边三角形, E 为 AB 的中点,? AD⊥ PE. 又 EB∩PE=E,∴AD ? 平面 PEB,∴AD ? PB .………4 分 (Ⅱ ) 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,且 PE⊥ AD,∴ PE⊥ 平面 ABCD,∴ PE⊥ EB. 以点 E 为坐标原点, EA, EB, EP 为 x, y, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系, 如图. 则 A(1,0,0), B(0, 3 ,0), P(0,0, 3 ), D(-1,0,0),DC ? AB ? (?1, 3,0) . 设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

? ?n ? DC ? 0 ? ? ?n ? DP ? 0
∴?





? ?( x, y, z )(?1, 3, 0) ? 0 ? ? ?( x, y, z )(1, 0, 3) ? 0



? ?? x ? 3 y ? 0 ? ? x ? 3z ? 0

令 z=-1,则 x= 3 ,y=1,故 n ? ( 3,1, ?1) . 平面 PAD 的一个法向量为 EB ? (0, 3,0) ,

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∴cos? EB, n? ?

EB ? n EB ? n

?

3 5 .又二面角 A ? PD ? C 为钝角, ? 5 3? 5

∴ 二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 ?

5 . 5

------------------8 分

(Ⅲ )假设棱 PB 上存在点 F,使 EF ∥ 平面 PDC ,设 F(0,m,n), PF ? ? PB ,则:

(0, m, n ? 3) = ? (0, 3, ? 3) ,∴m ? 3?, n ? 3 ? 3? ,
∴EF ? (0, 3?, 3 ? 3? ) .∵EF ∥ 平面 PDC , ∴EF ? n ,即 (0, 3?, 3 ? 3?) ? ( 3,1, ?1) ? 0 .∴ 3? ? 3 ? 3? ? 0 , ? ? 故当点 F 为 PB 的中点时, EF ∥ 平面 PDC . -------------12 分 解得 ?

1 . 2

?a 2 ? b 2 ? 3 19. 【解析】试题分析:解: (1)由已知得: ? ? 4ab ? 8

?a ? 2 ?b ?1

3分

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为: 4
(2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ?
2 2 2 2 2 2

--------------- 4 分

?b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 ?x ? y ?1 ? 0



得 (a ? b ) x ? 2a x ? a (1 ? b ) ? 0
2 2 2 2 2 2 由 ? 2a b (a ? b ? 1) ? 0 ,得 a ? b ? 1

2a 2 a 2 (1 ? b2 ) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 a ? b2 a ? b2
由 OA ? OB ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ∴2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0
2 2 2 2 即 a ? b ? 2a b ? 0 ,故

-----------

8分

1 1 ? 2 ?2 2 a b
由e ?
2

----------- 8 分

(3)由(2)得 b ?
2
2 ∴2a ? 1 ?

a2 2a 2 ? 1

c2 a 2 ? b2 2 2 2 2 ? ,得 b ? a ? a e , 2 2 a a
------------10 分

1 1 ? e2



3 3 2 5 2 得 ? a ? ,∴ 5 ? 2a ? 6 ?e? 4 2 3 2
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所以椭圆长轴长的取值范围为 [ 5, 6]

--------------12

20. 解: (1)因为平面 PCD⊥ 底面 ABCD,PD⊥ CD,所以 PD⊥ 平面 ABCD,所以 PD⊥ AD.如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角 坐标系 D-xyz.则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), ,P(0,0,1). C ?0, t ,0? ,面 PDC 的法向量为 n ? ?1,0,0? BE ? ?1,

1? ? t ? 1,? ? 2? ? 2

根据题意且 BE 与平面 PDC 所成的角的正弦值为

2 5 , 5
----------------------4 分



2 5 ? 5

1 1 ?t ? 1 ? ? ? 1? ? 4 ?2 ?
2

,t ? 2

(2)又由 PD⊥ 平面 ABCD,可得 PD⊥ BC,又 PD∩BD=D,

BC ? BD ? 0, BC ? BP ? 0
所以 BC⊥ 平面 PBD. --------------------6 → (3)由(2)可知,平面 PBD 的一个法向量为BC=(-1,1,0), → → → PC=(0,2,-1),因为PQ=λPC,λ∈ (0,1),所以 Q(0,2λ,1-λ), 设平面 QBD 的一个法向量为 n=(a,b,c), → → → → 因为DB=(1,1,0),DQ=(0,2λ,1-λ),由 n· DB=0,n· DQ=0,得
?a+b=0 ? 2λ ? ,取 b=1,所以 n=(-1,1, ), λ - 1 ? 2 λb + - λ c = 0 ?

-----------8 分

所以 cos45° =

→ n· BC = → |n||BC| 2

2 2+

2λ 2 λ-1



2 . 2

注意到 λ∈ (0,1),得 λ= 2-1.

------------------------12

21. (1)由抛物线方程,得焦点 F (1, 0) ,? c ? 1.

3 3 ? 2a ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? 4, 2 2

? a2 ? 4, b2 ? 3. 故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .--------------------4 4 3
3 2

(Ⅱ )① 当直线 l 垂直于 x 轴时,则 A(1, ), B(1, ? ), C (1, 2), D(1, ?2) ,

3 2

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?

3 ? . CD 4

AB

…………………………………………5 分

② 当直线 l 与 x 轴不垂直,设其斜率为 k (k ? 0) ,则直线 l 的方程为

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 y ? k( x ? 1) ?1 ? ? 3 ? 4



( 3? 4 k2 x )2 ? 8 k 2 x? 4 k2 ? 1 2 ?

0

显然 ?1 ? 0 ,? 该方程有两个不等的实数根.设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

x1 ? x2 ?

8k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

4(k 2 ? 3) 3 ? 4k 2

………………………………6 分

所以, | AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
2 8k 2 2 16(k 2 ? 3) 12(1 ? k ) ) ? ? . ……………8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 1? k 2 ? ( ? y ? k ( x ? 1), 2 ? y ? 4x

由?



k 2 x2? ( 2 k 2? 4 ) x? k2 ? 0

显然 ?2 ? 0 ,? 该方程有两个不等的实数根.设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

k ? 0, ? x3 ? x4 ? 2 ?

4 , k2

由抛物线的定义,得 | CD |? x3 ? x4 ? 2 ? 4 ?

4 4(1 ? k 2 ) ? . ……………10 分 k2 k2

AB 12(1 ? k 2 ) k2 3k 2 3 3 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 3 CD 3 ? 4k 4(1 ? k ) 3 ? 4k 4? 2 4 k
综上,当直线 l 垂直于 x 轴时,

AB CD

取得最大值

3 . ……………………………12 分 4

22. (Ⅰ )由题意知,椭圆离心率为

c 2 ? ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ?1) ,所以可 a 2
2 2

解得 a ? 2 2 , c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 4 ,所以椭圆的标准方程为
2

x2 y 2 ? ? 1 ;所以椭 8 4

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圆的焦点坐标为( ?2 ,0) ,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲 线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 4 4

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