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内蒙古包头一中高三数学第三次模拟考试试题 文【会员独享】

包头一中 2011——2012 学年度高三年级 校三模文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,把唯一正确的答案的代码填在 答题卡上) 1. 已知集合 M ? ?1, 2? , N ? ?2a ?1| a ? M ? ,则 M A. ?1? B. ?1, 2? C. ?1, 2,3?

N ?
D. ?

( )

2. 已知 i 是虚数单位, z 1 ? 2 ? 2i , z 2 ? 1 ? 3i ,那么复数 z ? 位于 A.第一象限

z 12 在复平面内对应的点 z2
( )

B.第二象限
x 2

C.第三象限

D.第四象限 ( )

3. 已知 a 是函数 f (x ) ? 2 ? log 1 x 的零点, 若 0 ? x 0 ? a ,则 f (x 0 ) 的值满足

A. f (x 0 ) ? 0

B. f (x 0 ) ? 0

C. f (x 0 ) ? 0

D. f (x 0 ) 的符号不能确定

4.若利用计算机在区间 ? 0,1? 上产生两个不等的随机数 a 和 b,则方程 x ? 2 2a ? 不等实数根的概率为 A. 5 ( )

2b 有 x

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

2 5
1 ,且 AB ? 2 2 , 3
开始

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http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
· 2007 ·

已知球面上 A、B、C 三点,球心 O 到平面 ABC 的距离是球半径的 , 则 球 的 表 面 积 是

AC BC ? 0
( ) A . 81?

B . 9?

C.

9? D. 4

81? 4

n=5,k=0

6. 函 数 y ? f (x ) 的 图 像 经 过 原 点 , 且 它 的 导 函 数



n 为偶数 y



y ? f ?(x ) 的图像
是如图所示的一条直线,则 y ? f (x ) 的图像不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7. 执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是( )

n?

n 2

n ? 3n ? 1
o x

k ? k ?1

n ?1
是 输出 k 结束



A

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4

B

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5

C.6

D

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7

8. 若将函数 f (x ) ?

3 1 sin x ? cos x 的图像向右平移 m ? 0 ? m ? ? ? 个单位长度,得到 4 4
) D.

的图像关于原点对称,则 m ? ( A.

5? 6

B.

? 6

C.

2? 3

? 3

9. 下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角边长 分别为 l 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积等于( )

A.

3? 6 4 3? 3

B.

3? 3

C.

D.

? 2

正视图

侧视图

10. 同时具有性质“①最小正周期为 ? ;②图像关于直线 x ? 对称;③在 ? ? , ? 上是 3 俯视图 ? 6 3? 增函数”的一个函数是 A. y ? sin ? ( ) B. y ? cos ? 2x ?

?

? ? ??

?x ? ? ? ? ?2 6? ? ?

? ?

??
? 3?

C. y ? sin ? 2x ?

??
? 6?
2

D. y ? cos ? 2x ?

? ?

??
? 6?

11. 已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点, A , B 是该抛物线上的两点.若线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A.2

5 ,则 | AF | ? | BF |? 4 5 B. C.3 2

( ) D.4

12.已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 右焦点, 过点 F1 且垂直于 x 轴 a2 b 2

的直线与双曲线交于 A、B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的变化 范围是 A. ?1, ?? ? B. 1, 3 ( )

?

?

C. ?1, 2 ?

D. 1,1 ? 2

?

?
.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分,将正确答案写在题中横线上) 13. 设向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? 2,3? ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? ? ?4, ?7 ? 共线,则 ? ? 14. 在 ?ABC 中 , sin B ? sin C ?
2 2

2 sin B

sin C?

2 sin A, 则 内 角 A 的 取 值 范 围



.

15.曲线 f ( x ) ?

x 在 x ? e 处的切线方程为_______. ln x

?x ? y ? 0 ? 16. 若变量 x,y 满足条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2x ? y 的最大值比最小值大 3,则 a 的值 ?x ? a ?
为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出必要的文字说明和解题步骤) 17.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且

a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列.求数列 ?an ? 的通项公式.
P 18.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB // CD , AB ? AD , AB ? 4 ,

AD ? 2 2 , CD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 .
(I)设平面 PAB 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (II)求证: BD ? 平面 PAC ; (III)若 E 是 PA 的中点,求四面体 PBEC 的体积. 19.(本小题满分 12 分) B

?E
A

D C

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名男同学中 随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析. (I)如果按性别比例分层抽样,男、女生各抽取多少名才符合抽样要求? (II)随机抽出 8 名,他们的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

(i)若规定 85 分以上(包括 85 分)为优秀,在该班随机调查一名同学,他的数学和物理分 数均为优秀的概率是多少? (ii)根据上表数据, 用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间线 性相关关系的强弱.如果有较强的线性相关关系,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如果不具有线性相关关系,说明理由.

参考公式:相关系数 r ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

?? x ? x? ?? y ? y?
n 2 n i ?1 i i ?1 i
n i ?1 i


2

? ? bx ? a ,其中 b ? 回归直线的方程是: y

? ? x ? x ?? y ? y ?
i

??
n i ?1

xi ? x

?

2

, a ? y ? bx ,

? i 是与 xi 对应的回归估计值. y
参考数据: x ? 77.5, y ? 84.875 ,

?? x ? x?
8 i ?1 8 i i ?1 i

2

? 1050 , ? yi ? y
i ?1

8

?

?

2

? 457 ,

? ? x ? x ?? y ? y ? ? 688 ,
i

1050 ? 32.4 , 457 ? 21.4 , 550 ? 23.5 .

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,的离心率为 e ? ,A、B 分别为椭圆的长轴和 2 a b 2

短轴的端点,M 为 AB 的中点,O 为坐标原点,且 | OM |? (I)求椭圆的方程;

5 . 2

(II)过(-1,0)的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,求 ? POQ 的面积的最大时直线 l 的方程。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求 f ( x ) 的最小值; (II)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22 和第 23 题中任选一题作答,只能选做一道. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点, 过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D , 交半圆于点 E , DE ? 1 . (I)求证: AC 平分 ? BAD ; (II)求 BC 的长. A E

D C

?

O

B

23.(本小题分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单位 相同.直线 l 的极坐标方程为: ? ?

10 ,点 P ? 2 cos? , 2sin ?? 2 ? ,参数 ?? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

? ??0,2? ? .
(I)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (II)求点 P 到直线 l 距离的最大值.

包头一中 2011——2012 学年度高三年级 校三模文科数学试题答案 二、选择题

题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 B

5 B

6 B

7 B

8 A

9 A

10 C

11 C

12 D

二、填空题 13. 2 ;14. ? 0, 三、解答题

? ?

??
4? ?

;15. y=e;16.1

?a1 ? a2 ? a3 ? 7 ? 17.解:由已知得: ? ? a ? 3? ? ? a ? 4 ? …………………………2 分 1 3 ? 3a2 ? ? 2
解得: a2 ? 2 .…………………………………………………4 分 设数列 ?an ? 公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得: a1 ? 又 S3 ? 7 ,可知:

2 , a3 ? 2q . q

2 ? 2 ? 2q ? 7 即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 .………………8 分 q 1 解得: q1 ? 2 , q2 ? …………………………………………9 分 2 由题意: q ? 1 ,所以 q ? 2 ,所以 a1 ? 1 .……………11 分
故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 .……………………12 分 所以 CD //平面 PAB . 因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB 所以 CD // m . 18.(Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ………………2 分 平面 PCD ? m , ………………………4 分 P

(Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 面 ABCD , 所以 BD ? PA , 又可证得 BD ? AC ,且 PA AC ? A 所以 BD ? 平面 PAC .………………………………8 分 (III)解: S

?E
A

D C

1 1 ? ? ? PA ? AB ? 4 2 2 过点 C 作 CM 垂直于 AB,可证得 CM ? 面 PBE,
PBE

?

1 S 2

PBA

且有 CM= AD ? 2 2 所以 VPBEC ?

B

1 1 8 S PBE CM ? ? 4 ? 2 2 ? 2 …………12 分 3 3 3 8 8 ? 5 名,男生 15 ? ? 3 名…………2 分 19.解:(Ⅰ)应选女生 25 ? 40 40
(Ⅱ) (i)由表中可以看出,所选的 8 名同学中,数学和物理分数均为优秀的有 3 人,故所求

3 .…………………………………………………7 分 8 688 ? 0.99 . (ii)变量 y 与 x 的相关系数是 r ? 32.4 ? 21.4
概率是

可以看出,物理与数学成绩高度正相关.也可以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标 做散点图(略).从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升,故 物理与数学成绩高度正相关.……………………10 分

? ? bx ? a , 设 y 与 x 的线性回归方程是 y
根据所给数据可以计算出 b ?

688 ? 0.66 , 1050 a ? 84.875 ? 0.66 ? 77.5 ? 33.73 ,

? ? 0.66x ? 33.73 .……………………12 分 所以 y 与 x 的线性回归方程是 y

? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 20.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,则 ?a 2 ? b 2 ? 5 ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 , ? ?c ? 3 ? 2 ?a
x2 ? y 2 ? 1. 4 (Ⅱ)方法一:设交点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,
所以椭圆的方程为 ……………4 分

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,则易得 S ? 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ( k
2 2 2 2

3 ……6 分 2
2

x ? 0) ? y 2 ? 1, ,联立椭圆方程 4

得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4(k ? 1) ? 0 ,两个根为 x1 , x 2

? ? 0 恒成立, x1 ? x 2 ? ?
2

8k 2 4(k 2 ? 1) x ? x ? , 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
2

…………7 分

则 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k 又原点到直线 l 的距离 d =

4 3k 2 ? 1 (k ? 0) , 4k 2 ? 1
…………8 分

|k| 1? k 2



2 (3k 2 ? 1)k 2 1 1 |k| 2 4 3k ? 1 1? k ?2 (k ? 0) 所以 S ? | PQ | ?d ? 2 2 4k 2 ? 1 1 ? k 2 4k 2 ? 1

?2

3k 4 ? k 2 3 8k 2 ? 3 ? 2 ? 16k 4 ? 8k 2 ? 1 16 16(16k 4 ? 8k 2 ? 1)
…………11 分 …………12 分

3 3 ? 4 2 所以,当直线 l 的方程为 x ? ?1 时, ?POQ 面积最大. 方法二:设交点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , ? 2?
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 则易得 S ?

3 . 2

…………6 分

当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ( k

x ? 0) ? y 2 ? 1,得 ,联立椭圆方程 4

2

(4 ?

1 2 2 ) y ? y ? 3 ? 0 ,两个根为 y1 , y2 , k2 k

? ? 0 恒成立, y1 ? y2 ?

2k ?3k 2 , y ? y ? , 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

…………7 分

y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 ? y2 ? 4

3k 4 ? k 2 16k 4 ? 8k 2 ? 1

…………8 分

1 1 ? S?POQ ? S?POT ? S?QOT ? ? OT ? ? y1 ? y2 ? ? ? ? y1 ? y2 2 2
=

?

1 8k 2 ? 3 3? 2 16k 4 ? 8k 2 ? 1
…………11 分 …………12 分

3 3 ? 4 2 所以,当直线 l 的方程为 x ? ?1 时, ?POQ 面积最大. ? 2?

21. 解: (1) f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? , f ( x ) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x ,令 f ?( x) ? 0 ,解 得: x ?

1 1 1 ? 1? . 当 0 ? x ? 时, f ?( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 上单调递减;当 x ? 时, e e e ? e?

1 1 ?1 ? f ?( x ) ? 0 ,从而 f ( x) 在 ? , ?? ? 上单调递增.因此,当 x ? 时, f ( x) 取得最小值 ? . e e ?e ?
(2)依题意得: f ( x) ? ax ? 1 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即不等式 a ? ln x ? 恒成立.令 g ( x) ? ln x ?

1 对于 x ??1, ?? ? x

1 1 1 x ?1 ,则 g ?( x) ? ? 2 ? 2 .当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 x x x x

?1, ??? 上单调递增,因此, g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,从而 a 的取值范围是 ? ??,1? .
22. 解: (Ⅰ)因为 ,所以 ,

………………………………2 分 因为 为半圆的切线,所以 ,所以 ∥ , 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 连结 ,因为 所以 ,所以 , , 6分 四点共圆, .

,又因为

,所以

平分



…………4 分

,所以△ …………10 分

∽△

,…………8 分

23.解:(Ⅰ)

且参数



所以点

的轨迹方程为



…………3 分

(Ⅱ)因为

,所以



所以 分 由(Ⅰ) 点 的轨迹方程为

,所以直线 的直角坐标方程为

. …………6

,圆心为

,半径为 2.

,所以点 分

到直线 距离的最大值

.

… … … … 10


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