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2019版高中数学人教版A版选修1-1课件:章末复习提升3_图文

第三章 导数及其应用
章末复习提升

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知识网络 要点归纳 题型探究

整体构建 主干梳理 重点突破

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要点归纳

主干梳理

1.对于导数的定义,必须明白定义中包含的基本内容和 Δx→0 的方式,

导数是函数的增量 Δy 与自变量的增量 Δx 的比ΔΔyx的极限,即Δlixm→0 ΔΔyx=

f?x0+Δx?-f?x0?

lim
Δx→0

Δx

.

函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))

处的切线的斜率.

2.曲线的切线方程 利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意: (1)判断P点是否在曲线上; (2)如果曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在), 可得方程为x=x0;P点坐标适合切线方程,P点处的切线斜率为f′(x0). 3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数,熟记基本求导 公式,熟练运用法则是关键,有时先化简再求导,会给解题带来方便. 因此观察式子的特点,对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.

4.判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决 问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断 函数的单调区间; (2)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增 (或减)函数的充分条件.

5.利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的. (2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有极值 点,函数的极大值与极小值没有必然的大小联系,函数的一个极小值也 不一定比它的一个极大值小. (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点,但函数的导数为零的点,不 一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件, 其充要条件是加上这点两侧的导数异号.

6.求函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]
上必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大 值与最小值,例如:f(x)=x3,x∈(-1,1). (2)求函数最值的步骤
一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一 个是最大值,最小的一个是最小值. 7.应用导数解决实际问题,关键在于建立恰当的数学模型(函数关系),如 果函数在区间内只有一个点x0,使f′(x0)=0,则f(x0)是函数的最值.
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题型探究

重点突破

题型一 导数几何意义的应用

导数几何意义的应用,主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义

求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求

“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线

方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先

设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)

得y0-y1=f′(x1)(x0-x1). ①

又已知y1=f(x1)



由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.

切线问题是高考的热点内容之一,在高考试题中既有选择题、填空题,也有综合

性大题,难度一般为中等.

例1 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12, 直线m∶y=kx+9,且f′(-1)=0. (1)求a的值; 解 因为f′(x)=3ax2+6x-6a, 且f′(-1)=0, 所以3a-6-6a=0, 得a=-2.
解析答案

(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的 切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.
解析答案

题型二 应用导数求函数的单调区间 在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调 递增;在区间(a,b)内,如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b) 内单调递减.

例 2 已知函数 f(x)=x-2x+a(2-ln x),a>0.讨论 f(x)的单调性.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (1)解 由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x -1,令f′(x)=0解得x =1. 当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
解析答案

(2)证明:当x∈(1,+∞)时,1< x-1 <x; ln x
(2)证明 由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.

所以当x≠1时,ln x<x-1. 故当x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,

ln1x<1x-1,即

x-1 1< ln x <x.

解析答案

(3)设c>1,证明:当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. (3)证明 由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,
c-1 则 g′(x)=c-1-cxln c,令 g′(x)=0.解得 x0=lnlnlncc . 当x<x0时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g′(x)<0,g(x)单调递减.
c-1 由(2)知 1< ln c <c,故 0<x0<1.又 g(0)=g(1)=0,故当 0<x<1 时,g(x)>0. 所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
解析答案

题型三 利用导数求函数的极值和最值 1.利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)解方程f′(x)=0的根; (3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号. 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是f(x)的极值点.

2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值, 最小的一个值为最小值. 特别地,①当f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最大值在区间端点取 得;②当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大 (小)值,则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值, 这里(a,b)也可以 是(-∞,+∞).

例3 已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内,当x=-1时取极小值, 当x=23 时取极大值. (1)求函数y=f(x)在x=-2时对应的切线方程; 解 f′(x)=-3x2+2ax+b,又因为当 x=-1,x=23时, 函数分别取得极小值、极大值所,以-1,23为方程-3x2+2ax+b=0 的两个根. 所以23a=-1+23,-b3=(-1)×23. 于是 a=-12,b=2,则 f(x)=-x3-12x2+2x. 当x=-2时,f(-2)=2,即切点为(-2,2).
又因为切线斜率k=f′(-2)=-8,
所以,所求切线方程为y-2=-8(x+2),即8x+y+14=0.
解析答案

(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.

解 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

-2 (-2,-1) -1 (-1,23)

2 3

f′(x)



0



0

(23,1) 1 -

f(x)

2

单调递减↘

-32

单调递增↗

22 27

单调递减↘

1 2

因此,f(x)在[-2,1]上的最大值为 2,最小值为-32.

解析答案

跟踪训练 3 已知函数 f(x)=12x2-aln x(a∈R), (1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值; 解 f′(x)=x-ax,因为 x=2 是一个极值点,所以 2-a2=0,则 a=4. 此时 f′(x)=x-4x=?x+2?x?x-2?, 因为f(x)的定义域是(0,+∞), 所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0; 当x∈(2,+∞),f′(x)>0, 所以当a=4时,x=2是一个极小值点,则a=4.
解析答案

(2)求f(x)的单调区间; 解 因为 f′(x)=x-ax=x2-x a,

所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

当 a>0 时,f′(x)=x-ax=x2-x a=?x+

a??x- x

a? ,

所以函数 f(x)的单调递增区间( a,+∞);

递减区间为(0, a).

解析答案

(3)求证:当 x>1 时,12x2+ln x<23x3. 证明 设 g(x)=23x3-12x2-ln x, 则 g′(x)=2x2-x-1x, 因为当 x>1 时,g′(x)=?x-1??2xx2+x+1?>0,
所以 g(x)在 x∈(1,+∞)上为增函数,所以 g(x)>g(1)=16>0, 所以当 x>1 时,12x2+ln x<23x3.

解析答案

题型四 导数与函数、不等式的综合应用 利用导数研究函数是高考的必考内容,也是高考的重点、热点.考题利 用导数作为工具,考查求函数的单调区间、函数的极值与最值,参数的 取值范围等问题,若以选择题、填空题出现,以中低档题为主;若以解 答题形式出现,则难度以中档以上为主,有时也以压轴题的形式出现. 考查中常渗透函数、不等式等有关知识,综合性较强.

例 4 设函数 f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=1x-eex,其中 a∈R,e=2.718…为自然对

数的底数.

(1)讨论 f(x)的单调性; (1)解 f′(x)=2ax-1x=2axx2-1(x>0). 当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.

当 a>0 时,由 f′(x)=0 有 x=

1 2a.

?
当 x∈??0, ?

12a????时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

?
当 x∈?? ?

12a,+∞????时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

解析答案

(2)证明:当x>1时,g(x)>0; (2)证明 令s(x)=ex-1-x,则s′(x)=ex-1-1. 当x>1时,s′(x)>0,所以ex-1>x, 从而 g(x)=1x-ex1-1>0.

解析答案

(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.

(3)解 由(2)知,当x>1时,g(x)>0.

当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0,

故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.

当 0<a<12时, 12a>1,

?
由(1)有 f?? ?

12a????<f(1)=0,而

?
g?? ?

12a????>0.

所以f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立;

解析答案

当 a≥12时,令 h(x)=f(x)-g(x)(x≥1),当 x>1 时,h′(x)=2ax-1x+x12-e1-x>x -1x+x12-1x=x3-x22x+1>x2-x22x+1>0. 因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增. 又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立. 综上,a∈????12,+∞????.

跟踪训练 4 证明:当 x∈[-2,1]时,-131≤13x3-4x≤136.
证明 令 f(x)=13x3-4x,x∈[-2,1],则f′(x)=x2-4. 因为x∈[-2,1],所以f′(x)≤0,
即函数f(x)在区间[-2,1]上单调递减. 故函数 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f(-2)=136, 最小值为 f(1)=-131. 所以,当 x∈[-2,1]时,-131≤f(x)≤136, 即-131≤13x3-4x≤136成立.

解析答案

课堂小结
1.函数中求参数的取值范围问题,可以有两种类型:一是已知函数单调 性(或极值),求参数范围;二是已知函数最值(或恒成立)等性质,求参 数范围.这两种类型从实质上讲,可以统一为:已知函数值的变化规律, 探求其参数变化范围. 2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题:(1)注意定义域;(2)函 数在某区间上递增(或递减)的充要条件是:f′(x)≥0(或f′(x)≤0),且 f′(x)不恒为零;(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况, 一般我们可以研究临界值取舍即可.
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本课结束


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