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函数奇偶性与单调性的综合应用 专题


函数奇偶性与单调性的综合应用

专题

【寄语: 亲爱的孩子, 将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己! 】
教学目标: 1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质; .
2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质; 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性 .

教学重难点: 函数单调性的证明;根据单调性或奇偶性分析函数的性质 .

【复习旧识】
1.函数单调性的概念是什么?如何证明一个函数的单调性? 2.函数奇偶性的概念是什么?如何证明一个函数的奇偶性? 3.奇函数在关于原点对称的区间上,其单调性有何特点?偶函数呢?

【新课讲解】
一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性,比较两个或多个函数值的大小; 2.当题目中出现“

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0(或<0)”或“ xf ( x) >0(或<0)”时,往 x1 ? x2

往还是考察单调性; 3.证明或判断某一函数的单调性; 4.证明或判断某一函数的奇偶性; 5.根据奇偶性与单调性,解某一函数不等式(有时是“ f ( x) >0(或<0)”时 x 的 取值范围); 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数(参数)的取值范围 .
1

二、常用解题方法 1.画简图(草图),利用数形结合; 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化; 3.证明或判断函数的单调性时,有时需要分类讨论 . 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质,与区间无关; 2.判断函数奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称; 3.奇函数若在“ x ? 0 ”处有定义,必有“ f (0) ? 0 ”; 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质,因题而异; 5.运用单调性解不等式时,应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制 . 四、函数单调性证明的步骤: (1) 根据题意在区间上设 (2) 比较大小 (3) 下结论 函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域 (2)计算 (3)下结论 的解析式,并考察其与 . ; 的解析式的关系; ; . ;

【典型例题】
例1 设 f ( x) 是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在 [0,+∞)上单调递
2

增,若 a = f (log 是( ) A . a> b> c C. c>a>b

1 ) , b = f (log 3

3

1 ) , c = f (?2) ,则 a , b , c 的大小关系 2

B. b>c>a D. c>b>a

【考点】函数单调性;函数奇偶性,对数函数的性质 .
2

【解析】 0<log

因为 log 2<log

2

3<log 3 = 1, 3<2.

2

2= 2,

3 3

3 2

所以 log

2<log

因为 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以 f(log 3 2)<f(log 2 3)<f(2),

因为 f(x)是偶函数,所以

a = f (log
b = f (log

2

1 ) =f(-log 2 3
1 ) =f(-log 3 2

3)=f(log

2

3),

3

2)=f(l og

3

2),

c = f (?2) =f(2).所以 c>a>b .
【答案】 C

例 2 (2014?成都一模)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f (1) =1,若 m,n∈[﹣1,1],m+n≠0 时有 > 0.

(1)判断 f (x)在[﹣1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2)解不等式:f(x+ )<f( );

(3)若 f(x)≤t2﹣2at+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 t 的 取值范围. 【考点】 函数的奇偶性; 函数单调性的判断与证明; 函数的最值与恒成立问题. 【解析】解:(1)任取﹣1≤x1<x2≤1,则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)= ∵﹣1≤x1<x2≤1,∴x1+(﹣x2)≠0, 由已知 >0,又 x1﹣x2<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x)在[﹣1,1]上为增函数; (2)∵f(x)在[﹣1,1]上为增函数,
3

故有

(3)由(1)可知:f(x)在[﹣1,1]上是增函数, 且 f(1)=1,故对 x∈[﹣l,1],恒有 f(x)≤1. 所以要使 f(x)≤t2﹣2at+1,对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立, 即要 t2﹣2at+1≥1 成立,故 t2﹣2at≥0 成立. 即 g(a)=t2﹣2at 对 a∈[﹣1,1],g(a)≥0 恒成立, 只需 g(a)在[﹣1,1]上的最小值大于等于零. 故 g(﹣1)≥0,且 g(1)≥0, 解得:t≤﹣2 或 t=0 或 t≥2. 【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的 转化化归思想.

4

【课堂练习】
一、选择题 1.函数 y=2-|x|的单调递增区间是( A.(-∞,+∞) C.[0,+∞) ) B.(-∞,0] D.(0,+∞)

2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,如果

f(lgx )>f(1),那么 x 的取值范围是(
A. ( C. ( 1 ,1) 10 1 ,10) 10

) B.(0, 1 )∪(1,+∞) 10

D.(0,1)∪(10,+∞) )

3.下列函数中既是奇函数,又在定义域上是增函数的是 ( A. y= 3x+1 C. y= 1- B. f(x)=

1 x
3

1 x

D. f(x)= x

4.如图是偶函数 y=f(x)的局部图像,根据图像所给信息,下列结论正确的是 ( )

A.f(-1)-f(2)>0 C.f(-1)-f(2)<0

B.f(-1)-f(2)=0 D.f(-1)+f(2)<0

5.定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞)上的图像 与 f(x)的图像重合,设 a>b>0,给出下列不等式: ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 其中成立的是________. 6.设 f(x)为定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数, 则 f(-2),f(-π ),f(3)的大小顺序是( A.f(-π )>f(3)>f(-2)
5

) B.f(-π )>f(-2)>f(3)

C.f(-π )<f(3)<f(-2)

D.f(-π )<f(-2)<f(3)

7.已知 f(x)是奇函数且对任意正实数 x1,x2(x1≠x2),恒有 则一定正确的是( A.f(3)>f(-5) C.f(-5)>f(3) )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0, x1 ? x2

B.f(-5)>f (-3) D.f(-3)>f(-5)

8.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)<f(b),则一定 可得( ) B. a >b D.0≤a<b 或 a>b≥0

A. a<b C.|a|<|b|

9.若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lgx)的解集是 ( ) A.(0,10) B. ?

?1 ? , 10? ? 10 ?
? 1? ? 10 ?

C. ?

?1 ? , ? ?? ? 10 ?

D. ? 0, ? ∪(10,+∞)

二、选择题 10.若奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数, 在区间[3,6]上的最大值为 8, 最小 值为-1,则 2f(-6)+f(-3)的值为________. 11. 若函数 f(x)是 R 上的偶 函数, 且在[0, +∞)上是减函数, 则满足 f(π )<f(a) 的实数 a 的取值范围是________.

三、解答题 12.已知函数 f(x)=x2-2|x|-1,-3≤x≤3. (1)证明:f(x)是偶函数; (2)指出函数 f(x)的单调区间; (3)求函数的值域.

6

13.定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数,若 f(1-

m)<f(m).求实数 m 的取值范围.

14.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域是[a-1,2a],求 f(x) 的值域.

15.(1)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且在 R 上为增函数, 求不等式 f(4x -5)>0 的解集; (2)已知偶函数 f(x)(x∈R),当 x≥0 时,f(x)=x(5-x)+1,求 f(x)在 R 上 的解析式.

7

16.(本小题满分 12 分)设函数 y=f(x)的定义域为 R, 并且满足 f(x+y)=f(x)

( ) + f(y), f =1,当 x>0 时,f(x)>0.
(1)求 f(0)的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)如果 f(x)+f(2+x)<2,求 x 的取值范围.

1 3

8

参考答案 BCDC 5.答案 解析 ①③ -f(-a)=f(a),g(-6.b)=g(b), ADCD

∵a>b>0,∴f(a)>f(b),g(a)>g(b). ∴ f(b)- f(- a)= f(b)+ f(a)= g(b)+ g(a) >g(a)-g(b)=g(a)-g(-b),∴①成立. 又∵g(b)-g(-a)=g(b)-g(a),∴③成立. 10.答案 解析 -15 11.答案 (- π , π )

若 a≥0,f(x)在[0,+∞)上是减函数,且 f(π )<f(a),得

a<π .
若 a<0,∵f(π )=f(-π ), 则由 f(x)在[0,+∞)上是减函数,得知

f(x)在(-∞,0]上是增函数.
由于 f(-π )<f(a),得到 a>-π ,即-π <a<0. 由上述两种情况知 a∈(-π ,π ). 12.解析 (1)略

(2)f(x)的单调区间为[-3,-1],[-1,0],[0,1],[1,3]. (3)f(x)的值域为[-2,2]. 13.解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(1-m)<f(m)可化为

9

f(|1-m|)<f(|m|),又 f(x)在[0,2]上是减函数,
1 ∴|1-m|>|m|,两边平方,得 m< ,又 f(x)定义域为[-2,2], 2 ?-2≤1-m≤2, ∴? ?-2≤m≤2, 14.解

1 解之得-1≤m≤2,综上得 m∈[-1, ). 2

∵f(x)=ax2+bx+3a+b 是定义在区间[a-1,2a]上的偶函数,

?a - 1 + 2 a = 0 , ∴? ?b = 0 ,

?a= 1 , 3 ∴? ?b=0.

1 ∴f(x)= x2+1. 3

31? 1 ? 2 2? ? ∴f(x)= x2+1 在?- , ?上 的值域为?1, ?. 27? 3 ? 3 3? ? 15.解 (1)∵y=f(x)在 R 上为奇函数,∴f(0)=0.

又 f(4x-5)>0,即 f(4x-5)>f(0), 5 又 f(x)为增函数,∴4x-5>0,∴x> . 4
? ? 5? ? 即不等式 f(4x-5)>0 的解集为?x|x> ?. 4? ? ? ?

(2)当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=-x(5+x)+1,又 f(-x)=f(x), ∴f(x)=-x(5+x)+1.

∴ f (x ) = ?

?x?5-x?+1 ?x≥0?, ?-x?5+x?+1 ?x<0?.

10

16.解

(1)令 x=y=0,则 f(0)=f(0),∴f(0)=0.

(2)令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x),故函数 f(x)是 R 上的奇函数. (3)任取 x1,x2∈R,x1<x2,则 x2-x1>0. ∵ f(x2)- f(x1)= f(x2- x1+ x1)- f(x1)= f(x2- x1)+ f(x1)- f(x1)= f(x2 -x1)>0, ∴f(x1)<f(x2).故 f(x)是 R 上的增函数. ?1? ?2? ?1 1? ?1? ?1? ∵f? ?=1,∴f? ?=f? + ?=f? ?+f? ?=2. ?3? ?3? ?3 3? ?3? ?3? ?2? ∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f? ?.又由 y=f(x)是定义 ?3? 2 2 在 R 上的增函数,得 2x+2< ,解之得 x<- . 3 3 2? ? 故 x∈?-∞,- ?. 3? ?

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