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利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
近几年,随着新课标在全国的范围内的实施,高考命题也在悄悄发生变化,在命题组中 高校教师占很重要的地位。他们在命题时,会受到自身研究氛围的影响,有关高等数学背景 的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性,导数中的拐点,拉格朗日中值定理,李普 希茨条件,洛必达法则……特别是解答题中的函数与导数题,高等数学的观点尤其突出。虽 然高考考试没有要求学生掌握,但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。 例如 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○ 2 步, 由不等式恒成立来 求参数的取值范围问题,用初等方法处理,分析难度大,变化技巧高。但用洛必达法则来处 理却可达到事半功倍的效果。 一.洛必达法则 法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim f ? x ? ? 0 及 lim g ? x ? ? 0 ;
x ?a x ?a

(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3) lim
x?a

f ?? x? ?l, g?? x?
= lim
x?a

那么 lim
x?a

g ? x?

f ? x?

f ?? x? ?l。 g?? x?
x ?? x ??

法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim f ? x ? ? 0 及 lim g ? x ? ? 0 ; (2) ?A (3) lim

0 ,f(x) 和 g(x)在 ? ??, A? 与 ? A, ??? 上可导,且 g'(x)≠0;

x ??

f ?? x? ?l, g?? x?
= lim

那么 lim

x ??

g ? x?

f ? x?

x ??

f ?? x? ?l。 g?? x?
x ?a x ?a

法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim f ? x ? ? ? 及 lim g ? x ? ? ? ; (2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3) lim
x?a

f ?? x? ?l, g?? x?
= lim
x?a

那么 lim
x?a

g ? x?

f ? x?

f ?? x? ?l。 g?? x?
? ?

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 1 将上面公式中的 x→a,x→∞换成 x→+∞,x→-∞, x ? ○ 成立。
1

a

,x ?

a

洛必达法则也

0 ? 0 0 ? , , 0 ? ? ,1 , ? , 0 , ? ? ? 型。 0 ? 0 ? 0 0 ? 3 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 , , 0 ? ? ,1 , ? , 0 , ? ? ? 型 ○ 0 ?
2 洛必达法则可处理 ○ 定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这 时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 4 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 ○ 二.高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 。 (1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 原解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ?1 . 当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (??, 0) 单调减 少,在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e x ?1 ? 2ax 由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x ?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 ? ??, ? 2

? ?

1? ?

原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,对任意实数 a,均在 f ( x) ? 0 ;

2

当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 等价于 a ? e

x

? x ?1

x

2



g ? x? ? e
x

x

? x ?1

x
x

2

(x>0),



g ?( x) ?
x

xe ? 2e ? x ? 2

x

x

x
x

3


x



h ? x ? ? xe ? 2e ? x ?

? ? x ? ? xe ? e ? ? ,则 h0 ?x 2

? 1 , h?? ? x ? ? xe ? 0 ,

知 h? ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数, h? ? x ? ? h? ? 0? ? 0 ;知 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数,

h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ;? g ? ? x ? ? 0 ,g(x)在 ? 0, ??? 上为增函数。
由洛必达法则知, 故a ?

lim
x ? 0?

e

x

? x ?1

x
? ?

2

? lim
x ? 0?

e

x

?1

2x

? lim
x ?0?

e

x

2

?

1 , 2

1 2

综上,知 a 的取值范围为 ? ??, ? 。 2

1? ?

2. (2011 年全国新课标理)已知函数 f ( x) ? 切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 x ?1 x

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

原解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ? (

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

3

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x2 x

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,h(x)递减。而 x2

h(1) ? 0 故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x

( ii )设 0<k<1. 由于 (k ? 1)(x2 ? 1)? 2x = (k ? 1) x 2 ? 2 x ? k ? 1 的图像开口向下,且

? ? 4 ? 4(k ? 1)2 ? 0,对称轴 x=
'

1 1 ? 1 当 x ? (1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0, 1? k 1? k . 1 1 )时,h(x)>0,可得 h 1? k 1? x2
'

故 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1, (x)<0,与题设矛盾。

2 (iii)设 k ? 1.此时 x ? 1 ? 2 x , (k ? 1)( x ? 1) ? 2 x ? 0 ? h (x)>0,而 h(1)=0,
2

故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] 原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解: (II)由题设可得,当 x ? 0, x ? 1 时,k<

1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

2 x ln x ? 1 恒成立。 1 ? x2

x2 ? 1 ln x ? x 2 ? 1 2 x ln x ? 1 ( x ? 0, x ? 1 ),则 g ? ? x ? ? 2 ? 令 g (x)= , 2 1 ? x2 1 ? x2

?

?

?

?

2 2 再 令 h ? x ? ? x ? 1 ln x ? x ? 1 ( x ? 0, x ? 1 ) , 则 h ? ? x ??2

?

?

1 x l n ? x x

? , x

h?? ? x ? ? 2 ln x ? 1 ?

1 1 ? ? 1 2 在 ? 0, ??? 上 为 增 函 数 , 且 , 易 知 h ?? ? x? ? 2 l n x 2 x x

h?? ?1? ? 0 ;故当 x ? (0,1) 时, h?? ? x ? ? 0 ,当 x ? (1,+ ? )时, h?? ? x ? ? 0 ;
? h? ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数;故 h? ? x ? > h? ?1? =0 ? h ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数

h ?1? =0
? 当 x ? (0,1) 时, h ? x ? ? 0 ,当 x ? (1,+ ? )时, h ? x ? ? 0
4

? 当 x ? (0,1) 时, g ? ? x ? ? 0 ,当 x ? (1,+ ? )时, g ? ? x ? ? 0
? g ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数
由洛必达法则知

limg ? x ? ? 2lim 1 ? x
x ?1 x ?1

x ln x
2

? 1 ? 2lim
x ?1

1 ? ln x ? 1? ?1 ? 2? ? ? ? ?1 ? 0 ?2 x ? 2?

? k ? 0 ,即 k 的取值范围为(- ? ,0]

规律总结: 对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题
中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是 一种值得借鉴的方法。

练习:1. (本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax (a>0) 若不等式 f(x)<0 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,求 a 的取值范围; 答案: ?1,? ? ? 2. 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ∈R. 当 x ? 1 时, f ( x) ≤

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

答案:

a 的取值范围是 ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

5


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