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高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《第三章 不等式》高考真题


第三章 不等式
本章归纳整合 高考真题
1.(2011· 陕西卷)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b B.a< ab< <b 2 a+b D. ab<a< <b 2 ( ).

a+b 解析 ∵0<a<b,∴a< <b,A,C 错误; ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,故选 2 B. 答案 B 2.(2011· 广东卷)不等式 2x2-x-1>0 的解集是 1 A.?-2,1? ? ? C.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(1,+∞) 1 D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ? ( ).

解析 ∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),∴由 2x2-x-1>0 得(2x+1)(x-1)>0,解得 x>1 或 1 1 x<- ,∴不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞). ? ? 2 答案 D 3. (2011· 福建卷)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范 围是 A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( ).

解析 ∵方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=m2-4>0,∴m>2 或 m<-2. 答案 C

?x≥1, ? 4.(2011· 天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0, ?
值为

则目标函数 z=3x-y 的最大

(

).

A.-4

B.0

4 C. 3

D.4

?x≥1, ? 解析 ?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0. ?
示.

表示的平面区域如图所

z=3x-y 在(2,2)取得最大值. zmax=3×2-2=4. 答案 D

?x+2y-5>0, ? 5.(2011· 浙江卷)设实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7>0, ?x≥0,y≥0, ?
最小值是 A.14 C.17 解析 作出可行域, 如图中阴影部分所示, 点 A(3,1)不在可行域内,利用网格易得点(4,1)符 合条件,故 3x+4y 的最小值是 3×4+4×1= 16. 答案 B 6.(2011· 重庆卷)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y 1 4 = + 的最小值是 a b 7 A. 2 B.4 ( ). 9 C. 2 B.16 D.19

且 x,y 为整数,则 3x+4y 的

(

).

D.5

a+b 解析 ∵a+b=2,∴ =1, 2 1 4 1 4 a+b? 5 ?2a b ? 5 ∴ + =?a+b?? ?? 2 ?=2+? b +2a?≥2+2 a b ? 1 4 9 “=”成立,故 y= + 的最小值为 . a b 2 答案 C 7.(2011· 北京卷)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的 8 生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 ( ). 2a b 9 2a b · = 当且仅当 = , b=2a 时, 即 b 2a 2 b 2a

解析 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意,得 800 x y= + ≥2 x 8 800 x ·=20. x 8

800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时“=”成立,故选 B. x 8 答案 B
?3≤2x+y≤9, ? 8.(2011· 全国课标卷)若变量 x,y 满足约束条件? 则 z=x+2y 的最小值为 ?6≤x-y≤9. ?

________. 解析 作出不等式表示的可行域如图(阴影部分).

易知直线 z=x+2y 过点 B 时,z 有最小值.
?x-y=9, ?x=4, ? ? 由? 得? ? ? ?2x+y=3 ?y=-5.

所以 zmin=4+2×(-5)=-6. 答案 -6 9.(2011· 湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时)

解 (1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,再由已
?200a+b=0, ? 知,得? ? ?20a+b=60,

?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 .
1

?60,0≤x≤20, ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ? ?3?200-x?,20<x≤200.
(2)依题意并由(1),可得 f(x)=

?60x,0≤x≤20, ? ?1 ?3x?200-x?,20<x≤200. ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 当 20<x≤200 时, 1 1 x+?200-x??2 10 000 f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 , 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时.


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