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2016-2017学年广东省珠海市高三(上)期末数学试卷(理科)


2016-2017 学年广东省珠海市高三(上)期末数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡填涂正确的选项. 1. (5 分)设复数 z1=1+2i,z2=2﹣i,i 为虚数单位,则 z1z2=( A.4+3i B.4﹣3i C.﹣3i D.3i )

2. (5 分)已知平面向量 , 满足 ( + )=5,且| |=2,| |=1,则向量 与 的夹角为( )A. B. C. D. )

3. (5 分)下列有关命题的说法中,正确的是(

A.命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2>1,则 x≤1” B.命题“若 α>β,则 sinα>sinβ”的逆否命题为真命题 C.命题“? x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是“? x∈R,都有 x2+x+1>0” D.“x>1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件 4. (5 分) 若变量 x, y 满足约束条件 , 则 z=3x+5y 的取值范围是 ( )

A.[3,+∞) B.[﹣8,3]

C. (﹣∞,9] D.[﹣8,9] ,则( )

5. (5 分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

A.a=11

B.a=12

C.a=13

D.a=14

6. (5 分) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日
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自半.问几何日相逢?各穿几何?”,翻译成今天的话是:一只大鼠和一只小鼠 分别从的墙两侧面对面打洞, 已知第一天两鼠都打了一尺长的洞,以后大鼠每天 打的洞长是前一天的 2 倍,小鼠每天打的洞长是前一天的一半,已知墙厚五尺, 问两鼠几天后相见?相见时各打了几尺长的洞?设两鼠 x 天后相遇(假设两鼠 每天的速度是匀速的) ,则 x=( A. B. C. D. )

7. (5 分)某城市有 3 个演习点同时进行消防演习,现将 5 个消防队分配到这 3 个演习点, 若每个演习点至少安排 1 个消防队, 则不同的分配方案种数为 ( A.150 B.240 C.360 D.540 8. (5 分)某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为 1 个单位) ,其中俯 视图为扇形,则该几何体的体积为( ) )

A.

B.

C.

D. )图象如图所

9. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 示,则下列关于函数 f (x)的说法中正确的是( )

A.对称轴方程是 x= C.在区间(﹣ ,

+kπ(k∈Z) B.对称中心坐标是( )上单调递增

+kπ,0) (k∈Z) )上单调递减

D.在区间(﹣π,﹣

10. (5 分)设集合 A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},从集合 A 中随机地取出一个元素 P(x,y) ,则 P(x,y)∈B 的概率是( A. B. C. D.
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11. (5 分)已知双曲线 C1:

=1,双曲线 C2:

=1(a>0,b>0)

的左、右焦点分别为 F1,F2,M 是双曲线 C2 一条渐近线上的点,且 OM⊥MF2, 若△OMF2 的面积为 16,且双曲线 C1,C2 的离心率相同,则双曲线 C2 的实轴长 为( A.4 ) B.8 C.16 D.32

12. (5 分)已知定义域为 R 的函数 f (x)的导函数为 f'(x) ,且满足 f'(x)﹣ 2f (x)>4,若 f (0)=﹣1,则不等式 f(x)+2>e2x 的解集为( A. (0,+∞)? ? B. (﹣1,+∞)? ? C. (﹣∞,0)? )

D. (﹣∞, ﹣1 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卡上作答. 13. (5 分)若 实数 a 的值是 . 展开式中所有二项式系数之和是 64,常数项为 15,则

14. (5 分)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0) ,且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方 程是 .

15. (5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2, 则该球的表面积为 .

16. (5 分)某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后,用所学知识测量高 为 AB 的烟囱的高度.先取与烟囱底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C,D, 测得∠BDC=60°,∠BCD=75°,CD=40 米,并在点 C 处的正上方 E 处观测顶部 A 的仰角为 30°,且 CE=1 米,则烟囱高 AB= 米.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请在答题卡上作答. 17. (12 分)已知{an}为等比数列,a1=1,a4=27; Sn 为等差数列{bn} 的前 n 项 和,b1=3,S5=35. (1)求{an}和{bn} 的通项公式; (2)设数列{cn} 满足 cn=anbn(n∈N*) ,求数列{cn} 的前 n 项和 Tn. 18. (12 分)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、 视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销
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售商品的人(被称为微商) .为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化 妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名,其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下: 微信控 男性 女性 合计 26 30 56 非微信控 24 20 44 合计 50 50 100

(1)根据以上数据,能否有 60%的把握认为“微信控”与”性别“有关? (2) 现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人并从选出的 5 人中再随 机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装,记这 3 人中“微信控”的人数为 X,试求 X 的分布列与数学期望. 参考公式: P (K2 ≥ k0) k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 0.50 0.40 0.25 0.05 ,其中 n=a+b+c+d. 0.025 0.010

19. (12 分) 如图, 四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ∠DAB=∠DBF=60°, 且 FA=FC. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求证:FC∥平面 EAD; (Ⅲ)求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值.

20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1(﹣1,0) ,离心率 e= .

(1)求椭圆 G 的标准方程; (2)已知直线 l1:y=kx+m1 与椭圆 G 交于 A,B 两点,直线 l2:y=kx+m2(m1≠
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m2)与椭圆 G 交于 C,D 两点,且|AB|=|CD|,如图所示. ①证明:m1+m2=0; ②求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.

21. (12 分)知函数 f(x)=ax2﹣2x+lnx(a≠0,a∈R) . (1)判断函数 f (x)的单调性; (2)若函数 f (x)有两个极值点 x1,x2,求证:f(x1)+f(x2)<﹣3.

请考生在 22、23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分, 作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系 与参数方程

22. (10 分)已知直线 C1: 0,θ 为参数) .

( t 为参数) ,曲线 C2:

(r>

(1)当 r=1 时,求 C 1 与 C2 的交点坐标; (2) 点 P 为曲线 C2 上一动点, 当 r= 坐标. 时, 求点 P 到直线 C1 距离最大时点 P 的

选修 4-5:不等式选讲 23.设函数 f (x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R) . (1)若 a=﹣3,求函数 f (x)的最小值; (2)如果? x∈R,f (x)≤2a+2|x﹣1|,求 a 的取值范围.

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2016-2017 学年广东省珠海市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡填涂正确的选项. 1. (5 分) (2016 秋?珠海期末)设复数 z1=1+2i,z2=2﹣i,i 为虚数单位,则 z1z2= ( ) C.﹣3i D.3i

A.4+3i B.4﹣3i

【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:z1z2=(1+2i) (2﹣i)=4+3i, 故选:A. 【点评】 本题考查了复数的运算法则, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.

2. (5 分) (2016 秋?珠海期末)已知平面向量 , 满足 ( + )=5,且| |=2, | |=1,则向量 与 的夹角为( A. B. C. D. )

【分析】设向量 , 的夹角为 θ,利用平面向量的数量积求出 cosθ 的值,从而 得出 θ 的值. 【解答】解:设向量 , 的夹角为 θ,且 θ∈[0,π], 由 ?( + )=5 可得 + ? =5,

代入数据可得 22+2×1×cosθ=5, 解得 cosθ= , 可得 θ= 故选:B.
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【点评】本题考查了数量积与两个向量的夹角的关系,属基础题.

3. (5 分) (2016 秋?珠海期末)下列有关命题的说法中,正确的是( A.命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2>1,则 x≤1” B.命题“若 α>β,则 sinα>sinβ”的逆否命题为真命题 C.命题“? x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是“? x∈R,都有 x2+x+1>0” D.“x>1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件 【分析】A,因为否命题,既要否定结论,又要否定条件; B,原命题为假命题,其逆否命题与原命题同真假, ; C,“<“的否定是”≥;



D,由 x2+x﹣2>0 的解集为 x>1 或 x<﹣2,可得“x>1”是“x2+x﹣2>0”的充分不 必要条件; 【解答】解:对于 A,因为否命题,既要否定结论,又要否定条件,故错; 对于 B,命题“若 α>β,则 sinα>sinβ”为假命题,其逆否命题与原命题同真假, 故错; 对于 C,“<“的否定是”≥“故错; 对于 D,因为 x2+x﹣2>0 的解集为 x>1 或 x<﹣2,所以“x>1”是“x2+x﹣2>0” 的充分不必要条件,正确; 故选 D. 【点评】本题考查了命题真假的判定,属于基础题.

4. (5 分) (2014?东莞二模)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+5y

的取值范围是(

) C. (﹣∞,9] D.[﹣8,9]

A.[3,+∞) B.[﹣8,3]

【分析】先做出不等式组表示的平面区域,然后分析目标函数中 z 的几何意义, 结合图象即可求解 【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示

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由 z=3x+5y,则可得 y= 越大,z 越大

,则 z 表示直线 z=3x+5y 在 y 轴上的截距,截距

结合图象可知,当 z=3x+5y 经过点 A 时,z 最小,当 z=3x+5y 经过点,C 时,z 最 大 由 由 可得 C(3,0) ,此时 z=9 可得 A(﹣1,﹣1) ,此时 z=﹣8

∴﹣8≤z≤9 故选 D

【点评】 本题主要考查了线性规划在求解目标函数中的最值中的应用,解题的关 键是明确目标函数的几何意义

5. (5 分) (2016 秋?珠海期末)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值 是 ,则( )

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A.a=11

B.a=12

C.a=13

D.a=14 + +…+ =2﹣ + = ,从而得解. +…+ =2

【分析】模拟执行程序,S=1+

【解答】 解: 模拟执行程序, 程序的功能是求和, ∵S=1+ ﹣ = ,

∴a=12. 故选 B. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了循环结构和条件语句,用裂项 法求 S 的值是解题的关键,属于基本知识的考查.

6. (5 分) (2016 秋?珠海期末) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名 著, 书中有如下问题: “今有垣厚五尺, 两鼠对穿. 大鼠日一尺, 小鼠亦日一尺. 大 鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢?各穿几何?”,翻译成今天的话是:一 只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞, 已知第一天两鼠都打了一尺长的 洞, 以后大鼠每天打的洞长是前一天的 2 倍, 小鼠每天打的洞长是前一天的一半, 已知墙厚五尺,问两鼠几天后相见?相见时各打了几尺长的洞?设两鼠 x 天后 相遇(假设两鼠每天的速度是匀速的) ,则 x=( A. B. C. D. )

【分析】由于前两天大鼠打 1+2 尺,小鼠打 1+ 尺,因此前两天两鼠共打 3+1.5=4.5.第三天,大鼠打 4 尺,小鼠打 尺,因此第三天相遇.设第三天,大

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鼠打 y 尺,小鼠打 0.5﹣y 尺,可得

,解得 y,进而得出.

【解答】解:由于前两天大鼠打 1+2 尺,小鼠打 1+ 尺,因此前两天两鼠共打 3+1.5=4.5. 第三天,大鼠打 4 尺,小鼠打 尺,因此第三天相遇. 设第三天,大鼠打 y 尺,小鼠打 0.5﹣y 尺, 则 ,解得 y= .

相见时大鼠打了 1+2+ x=2+ 故选:C. =2 天,

=

尺长的洞,小鼠打了 1+ +

=

尺长的洞,

【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质与求和公式,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

7. (5 分) (2016 秋?珠海期末)某城市有 3 个演习点同时进行消防演习,现将 5 个消防队分配到这 3 个演习点,若每个演习点至少安排 1 个消防队,则不同的 分配方案种数为( )

A.150 B.240 C.360 D.540 【分析】根据题意,分两类,2 步进行分析,将 5 队分为 3、1、1;2、2、1 的 三组,再将分好的 3 组对应 3 个演习点,由排列、组合公式可得每一步的情况数 目,由分步计数原理,计算可得答案. 【解答】解:根据题意,个消防队分配到这 3 个演习点,若每个演习点至少安排 1 个消防队,则 可将 5 队分为 3、1、1 的三组,有 应 3 个演习点,有 A33=6 种方法, 共有 10×6=60 种分配方案; =10 种分组方法,将分好的 3 组对应对

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将 5 队分为 2、2、1 的三组,有 个演习点,有 A33=6 种方法, 共有 15×6=90 种分配方案; 故共有 60+90=150 种分配方案. 故选:A.

=15 种分组方法,将分好的 3 组对应对应 3

【点评】本题考查排列、组合的运用,关键是根据“每个演习点至少安排 1 个消 防队”的要求,明确要将将 5 个队分为 3、1、1;2、2、1 的三组.

8. (5 分) (2016 秋?珠海期末)某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为 1 个单位) ,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分,再根据俯视图与左视图的数据 可求得底面扇形的圆心角为 120°,又由侧视图知几何体的高为 3,底面圆的半径 为 2,把数据代入圆锥的体积公式计算. 【解答】解:由三视图知几何体是圆锥的一部分, 由正视图可得:底面扇形的圆心角为 120°, 又由侧视图知几何体的高为 3,底面圆的半径为 2, ∴几何体的体积 V= 故选:B. 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知的三视图分析出几 何体的形状是解答的关键. × ×π×22×3= .

9. (5 分) (2016 秋?珠海期末)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|

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)图象如图所示,则下列关于函数 f (x)的说法中正确的是(



A.对称轴方程是 x= C.在区间(﹣ ,

+kπ(k∈Z) B.对称中心坐标是( )上单调递增

+kπ,0) (k∈Z) )上单调递减 ,

D.在区间(﹣π,﹣

【分析】结合函数的图象,由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,再由(﹣ 0)求出 φ 的值.可得函数 f (x)的解析式,从而可判断其性质. 【解答】解:由图可知 A=1, = 故 ω=1, ∵图象过(﹣ ∴ 故 ∵|φ|< ∴φ= . ) . = , (k∈Z) ,解得:x= ) , , ,0)点, , ,则 T=2π

故得函数 f(x)=sin(x+

根据正弦函数的对称轴,可得:x+ ∈Z) ,∴A 不对. 根据正弦函数的对称中心,由:x+ ∴对称中心坐标是(kπ 根据正弦函数的性质, 当

, (k

=kπ, (k∈Z) ,解得:x=



,0) (k∈Z)∴B 不对. ≤x+ ≤ , 即 时, 函数单调递增,

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∴C 不对. 当 ≤x+ ,即 时,函数在区间(﹣π,﹣ )上

单调递减,∴D 对. 故选 D. 【点评】本题主要考查利用 y=Asin(ωx+φ)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+φ) 的部分图象求解析式,以及正弦函数的性质的运用,属于中档题.

10. (5 分) (2015?海南模拟)设集合 A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y) ∈A|y≤x2},从集合 A 中随机地取出一个元素 P(x,y) ,则 P(x,y)∈B 的概 率是( A. ) B. C. D.

【分析】集合 A 是一个正方形区域的内部及边界,4 个顶点是(0,2) (0,﹣2) (2,0) (﹣2,0) ,集合 B 是抛物线 y=x2 下方的区域,分别求出面积,即可求 出 P(x,y)∈B 的概率. 【解答】解:集合 A 是一个正方形区域的内部及边界,4 个顶点是(0,2) (0, ﹣2) (2,0) (﹣2,0) ,集合 B 是抛物线 y=x2 下方的区域 由 ,可求得两图象在第一象限的交点坐标为(1,1)

∵ 抛 物 线 y=x2 下 方 的 区 域 的 面 积 , 根 据 对 称 性 , 可 得 面 积 为 =5+2× = ,

正方形的面积为



∴P(x,y)∈B 的概率是 故选 B. 【点评】本题考查几何概型,考查学生分析解决问题的能力,其中确定抛物线 y=x2 下方的区域的面积是关键.

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11. (5 分) (2016 秋?珠海期末) 已知双曲线 C1:

=1, 双曲线 C2:

=1

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,M 是双曲线 C2 一条渐近线上的点, 且 OM⊥MF2,若△OMF2 的面积为 16,且双曲线 C1,C2 的离心率相同,则双曲 线 C2 的实轴长为( A.4 B.8 )

C.16 D.32

【分析】求得双曲线 C1 的离心率,求得双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x,运用 点到直线的距离公式, 结合勾股定理和三角形的面积公式,化简整理解方程可得 a=8,进而得到双曲线的实轴长. 【解答】解:双曲线 C1: =1 的离心率为 e= = = = ,

设 F2(c,0) ,双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x, 可得|F2M|= 即有|OM|= = =a, =b,

由△OMF2 的面积为 16,可得 ab=16, 即 ab=32,又 a2+b2=c2,且 = 解得 a=8,b=4,c=4 , ,

即有双曲线的实轴长为 16. 故选:C. 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质,注意运用点到直线的距离公式和离心率 公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2016 秋?珠海期末)已知定义域为 R 的函数 f (x)的导函数为 f' (x) ,且满足 f'(x)﹣2f (x)>4,若 f (0)=﹣1,则不等式 f(x)+2>e2x 的解集为( ) D. (﹣∞, ﹣1 )

A. (0,+∞)? ? B. (﹣1,+∞)? ? C. (﹣∞,0)?

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【分析】根据条件构造函数 F(x)= 即可得到结论. 【解答】解:设 F(x)= 则 F′(x)= , ,

,求函数的导数,利用函数的单调性

∵f(x)﹣2f′(x)﹣4>0, ∴F′(x)>0,即函数 F(x)在定义域上单调递增, ∵f(0)=﹣1,∴F(0)=1, ∴不等式 f(x)+2>e2x 等价为不等式 解得 x>0, 故不等式的解集为(0,+∞) , 故选:A. 【点评】 本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题 的关键. >1 等价为 F(x)>F(0) ,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卡上作答. 13. (5 分) (2016 秋?珠海期末)若 64,常数项为 15,则实数 a 的值是 ±1 . 的通项公式即可得出. 展开式中所有二项式系数之和是

【分析】由题意可得 2n=64,解得 n=6.z 再利用 【解答】解:由题意可得 2n=64,解得 n=6. ∴ 令 3﹣ 的通项公式 Tr+1= =0,解得 r=2. =15,解得 a=±1. =(﹣a)r



∴常数项= 故答案为:±1.

【点评】 本题考查二项式定理的性质及其通项公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.

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14. (5 分) (2013?江西)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0) ,且与直线 y=1 相切, 则圆 C 的方程是 .

【分析】设出圆的圆心坐标与半径,利用已知条件列出方程组,求出圆的圆心坐 标与半径,即可得到圆的方程. 【解答】解:设圆的圆心坐标(a,b) ,半径为 r, 因为圆 C 经过坐标原点和点(4,0) ,且与直线 y=1 相切, 所以 ,

解得



所求圆的方程为: 故答案为: .



【点评】本题考查圆的标准方程的求法,列出方程组是解题的关键,考查计算能 力.

15. (5 分) (2016 秋?珠海期末)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的 高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 .

【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PE 上,求出球的半径,求 出球的表面积. 【解答】解:如图,正四棱锥 P﹣ABCD 中,PE 为正四棱锥的高,根据球的相关 知识可知,正四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上, 延长 PE 交球面于一点 F,连接 AE,AF,由球的性质可知△PAF 为直角三角形且 AE ⊥ PF , 根 据 平 面 几 何 中 的 射 影 定 理 可 得 PA2=PF?PE , 因 为 , 所以侧棱长 ,PF=2R,
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所以 18=2R×4,所以 R= , 所以 S=4πR2= 故答案为:

【点评】 本题考查球的表面积, 球的内接几何体问题, 考查计算能力, 是基础题.

16. (5 分) (2016 秋?珠海期末)某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后, 用所学知识测量高为 AB 的烟囱的高度. 先取与烟囱底部 B 在同一水平面内的两 个观测点 C,D,测得∠BDC=60°,∠BCD=75°,CD=40 米,并在点 C 处的正上方 E 处观测顶部 A 的仰角为 30°,且 CE=1 米,则烟囱高 AB= 20 +1 米.

【分析】先根据三角形内角和为 180°得∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°,再根据正弦 定理求得 BC,进而在 Rt△AEF 中,根据 AF=EFtan∠AEF 求得 AF,即可求出 AB. 【解答】解:过 E 作 EF⊥AB,垂足为 F,则 在△BCD 中,∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45° 由正弦定理得 BC= 在 Rt△AEF 中,∠AEF=30°, ∴AF=EFtan∠AEF=20 ∴AB=AF+1=20 故答案为:20 +1 +1
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=

=20



tan30°=20



【点评】本题以实际问题为载体,考查解三角形的实际应用.正弦定理、余弦定 理是解三角形问题常用方法,应熟练记忆.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请在答题卡上作答. 17. (12 分) (2016 秋?珠海期末)已知{an}为等比数列,a1=1,a4=27; Sn 为等 差数列{bn} 的前 n 项和,b1=3,S5=35. (1)求{an}和{bn} 的通项公式; (2)设数列{cn} 满足 cn=anbn(n∈N*) ,求数列{cn} 的前 n 项和 Tn. 【分析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q,由 a1=1,a4=27;可得 1×q3=27,解得 q. 设等差数列{bn} 的公差为 d,由 b1=3,S5=35.可得 5×3+ =35,解得 d.

(2) cn=anbn= (2n+1) ?3n﹣1. 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,∵a1=1,a4=27;∴1×q3=27,解 得 q=3. ∴ . =35,解得 d=2.

设等差数列{bn} 的公差为 d,∵b1=3,S5=35.∴5×3+ ∴bn=3+2(n﹣1)=2n+1. (2)cn=anbn=(2n+1)?3n﹣1.

∴数列{cn} 的前 n 项和 Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)?3n﹣1. 3Tn=3×3+5×32+…+(2n﹣1)?3n﹣1+(2n+1)?3n. ∴﹣2Tn=3+2×(3+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)?3n=3+ ∴Tn=n?3n. 【点评】 本题考查了“错位相减法”、 等差数列与等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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﹣(2n+1)?3n.

18. (12 分) (2016 秋?珠海期末)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它 支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批 在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商) .为了调查每天微信用户使用微 信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名,其 中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结 果如下: 微信控 男性 女性 合计 26 30 56 非微信控 24 20 44 合计 50 50 100

(1)根据以上数据,能否有 60%的把握认为“微信控”与”性别“有关? (2) 现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人并从选出的 5 人中再随 机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装,记这 3 人中“微信控”的人数为 X,试求 X 的分布列与数学期望. 参考公式: P (K2 ≥ k0) k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 0.50 0.40 0.25 0.05 ,其中 n=a+b+c+d. 0.025 0.010

【分析】 (1)由列联表计算 K2,对照临界值表即可得出结论; (2)依题意所抽取的 5 位女性中“微信控”有 3 人,得 X 的所有可能取值, 计算对应的概率,写出 X 的分布列,计算数学期望值. 【解答】解: (1)由列联表可知, = ∵0.649<0.708, ∴没有 60%的把握认为“微信控”与”性别“有关; (2)依题意知,所抽取的 5 位女性中“微信控”有 3 人, “非微信控”有 2 人,
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=

≈0.649,

∴X 的所有可能取值为 1,2,3; 且 P(X=1)= ∴X 的分布列为: X P(X) X 的数学期望为 EX=1× +2× +3× = . 1 2 3 = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,

【点评】 本题考查了对立性检验与随机变量的分布列和数学期望的计算问题,是 基础题目.

19. (12 分) (2014?杭州三模)如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,∠DAB= ∠DBF=60°,且 FA=FC. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求证:FC∥平面 EAD; (Ⅲ)求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值.

【分析】 (Ⅰ)设 AC 与 BD 相交于点 O,连接 FO.因为四边形 ABCD 为菱形,所 以 AC⊥BD,且 O 为 AC 中点.由 FA=FC,知 AC⊥FO.由此能够证明 AC⊥平面 BDEF. (Ⅱ)因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,所以 AD∥BC,DE∥BF,平面 FBC∥ 平面 EAD.由此能够证明 FC∥平面 EAD. (Ⅲ)因为四边形 BDEF 为菱形,且∠DBF=60°,所以△DBF 为等边三角形.因为 O 为 BD 中点,所以 FO⊥BD,故 FO⊥平面 ABCD.由 OA,OB,OF 两两垂直,建 立空间直角坐标系 O﹣xyz.设 AB=2.因为四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,则 BD=2,所以 ,
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.求得平面 BFC 的法向量为

,平面 AFC 的法向量为 =(0,1,0) .由此能求出二面角 A﹣ FC﹣B 的余弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O, 连接 FO.因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,且 O 为 AC 中点. 分) 又 FA=FC,所以 AC⊥FO. 因为 FO∩BD=O, 所以 AC⊥平面 BDEF. …(4 分) …(3 分) …(1

(Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD∥BC,DE∥BF, 所以 平面 FBC∥平面 EAD.…(7 分) 又 FC? 平面 FBC,所以 FC∥平面 EAD. …(8 分)

(Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且∠DBF=60°, 所以△DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO⊥BD,故 FO⊥平面 ABCD. 由 OA,OB,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz. …(9 分) 设 AB=2.因为四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°, 则 BD=2 , 所 以 OB=1 , . 所 . 所以 , . 以

设平面 BFC 的法向量为 =(x,y,z) , 则有 取 x=1,得 , . …(11 分) = .

∵平面 AFC 的法向量为 =(0,1,0) .

由二面角 A﹣FC﹣B 是锐角,得|cos< , >|=

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所以二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值为

.…(12 分)

【点评】本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦 值的求法,解题时要认真审题,合理地进行等价转化,注意向量法的合理运用.

20. (12 分) (2016 秋?珠海期末)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为 坐标原点,左焦点为 F1(﹣1,0) ,离心率 e= (1)求椭圆 G 的标准方程; (2)已知直线 l1:y=kx+m1 与椭圆 G 交于 A,B 两点,直线 l2:y=kx+m2(m1≠ m2)与椭圆 G 交于 C,D 两点,且|AB|=|CD|,如图所示. ①证明:m1+m2=0; ②求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值. .

【分析】 (1)由焦点坐标及离心率可求得 a、b、c 即可. ( 2 )①利用弦长公式及韦达定理,表示出由 |AB| 、 |CD| ,由 |AB|=|CD| 得到 m1+m2=0, ②边形 ABCD 是平行四边形,设 AB,CD 间的距离 d=



m1+m2=0



s=|AB|

×

d=2

×

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=

.即可.

【解答】解: (1)设椭圆 G 的方程为 ∵左焦点为 F1(﹣1,0) ,离心率 e= b2=a2﹣c2=1 椭圆 G 的标准方程为: .

(a>b>0) .∴c=1,a= ,

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ①证明:由 消去 y 得(1+2k2)x2+4km1x+2m12﹣2=0 , x1+x2= ,x1x2= ;

|AB|=

=2



同理|CD|=2



由|AB|=|CD|得 2 ∵m1≠m2,∴m1+m2=0

=2



②四边形 ABCD 是平行四边形,设 AB,CD 间的距离 d=

∵m1+m2=0,∴

∴s=|AB|×d=2

×

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=

.

所以当 2k2+1=2m12 时,四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为 2 【点评】本题考查了椭圆的方程,弦长公式、韦达定理、运算能力,属于中档题.

21. (12 分) (2016 秋?珠海期末)知函数 f(x)=ax2﹣2x+lnx(a≠0,a∈R) . (1)判断函数 f (x)的单调性; (2)若函数 f (x)有两个极值点 x1,x2,求证:f(x1)+f(x2)<﹣3. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可; (2)求出 f(x1)+f(x2)=﹣(lna+ )﹣(1+ln2) ,令 h(a)=﹣(lna+ )﹣ (1+ln2) , (0<a< ) ,根据函数的单调性证明即可. 【解答】解: (1)由题意得,函数 f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)=2ax﹣2+ = ,

令 g(x)=2ax2﹣2x+1,△=4﹣8a, ①a≥ 时,△=4﹣8a≤0,f′(x)≥0 恒成立, 则 f(x)在(0,+∞)递增; ②a< 时,△=4﹣8a>0, 由 g(x)=0,解得:x1= (i)0<a< 时,0<x1<x2, 此时 f(x)在区间(x1,x2)递减,在(0,x1) , (x2,+∞)递增; (ii)a<0 时,x2<0<x1, 此时 f(x)在区间(x1,+∞)递减,在(0,x1)递增, ∴a≥ 时,f(x)在(0,+∞)递增, 0<a< 时,f(x)在区间(x1,x2)递减,在(0,x1) , (x2,+∞)递增, a<0 时,f(x)在区间(x1,+∞)递减,在(0,x1)递增; ,x2= ,

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(2)证明:由(1)得 0<a< 时,函数 f(x)有 2 个极值点 x1,x2, 且 x1+x2= ,x1x2= ,

∴f(x1)+f(x2)=﹣(lna+ )﹣(1+ln2) , 令 h(a)=﹣(lna+ )﹣(1+ln2) , (0<a< ) , 则 h′(a)=﹣( ﹣ )= >0,

∴h(a)在(0, )递增, 则 h(a)<h( )=﹣(ln +2)﹣(1+ln2)=﹣3, 即 f(x1)+f(x2)<﹣3. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思 想,考查不等式的证明,是一道中档题.

请考生在 22、23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分, 作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系 与参数方程

22. (10 分) (2016 秋?珠海期末)已知直线 C1:

( t 为参数) ,曲线

C2:

(r>0,θ 为参数) .

(1)当 r=1 时,求 C 1 与 C2 的交点坐标; (2) 点 P 为曲线 C2 上一动点, 当 r= 坐标. 【分析】 (1)参数方程化为普通方程,即可求 C 1 与 C2 的交点坐标; (2)利用圆的参数方程,结合点到直线的距离公式、三角函数公式,即可求点 P 到直线 C1 距离最大时点 P 的坐标. 【解答】解: (1)直线 C1: ( t 为参数)的普通方程为 y=x﹣1,当 时, 求点 P 到直线 C1 距离最大时点 P 的

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r=1 时,曲线 C2:

(r>0,θ 为参数)的普通方程为 x2+y2=1.

联立方程,可得 C 1 与 C2 的交点坐标为(1,0) , (0,﹣1) ; ( 2 ) 设 P ( ), 则 点 P 到 直 线 C1 距 离

d= 当 cos(θ+

= )=﹣1,即 θ= +2kπ(k∈Z)时,dmax= ,此时 P(﹣1,1) .

【点评】本题考查参数方程化为普通方程,考查点到直线距离公式的运用,属于 中档题.

选修 4-5:不等式选讲 23. (2016 秋?珠海期末)设函数 f (x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R) . (1)若 a=﹣3,求函数 f (x)的最小值; (2)如果? x∈R,f (x)≤2a+2|x﹣1|,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)根据绝对值的意义求出函数的最小值即可; (2)由|x﹣a|﹣|x﹣1| ≤2a,转化为|1﹣a|≤2a,求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)a=﹣3 时,f(x)=|x﹣1|+|x+3|, ∵f(x)=|x﹣1|+|x+3|=|1﹣x|+|x+3|≥|(1﹣x)+(x+3)|=4, 当且仅当(1﹣x) (x+3)≥0 即﹣3≤x≤1 时,“=”成立, ∴函数 f(x)的最小值是 4; (2)? x∈R,f(x)≤2a+2|x﹣1|, 可化为|x﹣a|﹣|x﹣1|≤2a, 又|x﹣a|﹣|x﹣1|≤|(x﹣a)﹣(x﹣1)|=|1﹣a|, 当且仅当 x=1 时“=”成立, 从而|1﹣a|≤2a,即﹣2a≤1﹣a≤2a,解得:a≥ , 故 a 的范围是[ ,+∞) . 【点评】本题考查了绝对值的意义,考查求函数最小值问题,是一道中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:沂蒙松;742048;陈远才;邢新丽;lcb001; 左杰;刘长柏;双曲线;刘老师;qiss;zlzhan(排名不分先后) 菁优网 2017 年 3 月 28 日

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