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2014年浙江省数学会考仿真卷(含答案)

2014 年浙江省数学会考仿真卷
一、选择题(本题有 26 小题,1~20 小题每题 2 分,21~26 小题每题 3 分,共 58 分.每小题中 只有一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选均不得分) 1. 集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1} ,则 A∩B=( A.{x|x<1} B.{x|-1≤x≤2} ) B.1
2 2

) D.{x|-1≤x<1}

C.{x|-1≤x≤1}

2. lg 1 ? lg 2 ? lg 20 =( A.0

C.2 ) C.1

D.10

3.圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的半径是( A.3 B.5

D. 5 ) D.-10

( 4. 已知点 A(2,5) ,点 B(m,3) ,向量 AB ? 8, ? 2) ,则 m= (

A.6

B.-6

C.10 )

5.已知锐角 ? 的终边经过点(1,1),那么角 ? 为( A.30° 6.直线 B.90° )

C.60°

D.45°

x y ? ? 1 的斜率是( 2 3

A. 2

3

B. ? 2

3

C. 3

2

D.

?3 2

7.在△ABC 中, A ? “ A.充分不必要
2 2

?
3

”是“sinA=

3 ”的( 2

)条件 C.充要 D.既不充分也不必要

B.必要不充分 )

8.双曲线 A.
5 4

y x ? ? 1 的离心率是( 9 16

B.

5 3

C. )

7 4

D.

7 3

9.函数 y ?

x ? 1 的值域是(

A. [0,? ?)

B. (0,? ?) )

C. [?1,? ?)

D. (?1,? ?)

10.“a>0”是“ a >0”的( A.充分不必要

B.必要不充分 )

C.充要

D.既不充分也不必要

11. 在空间,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合

B.平行于同一直线的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行 D C 12.如图,在平行四边形 ABCD 中成立的是( ) A. AB = CD C. AD + CD = AC B. AB - BC = AC D. AD = BC A
开始

C.垂直于同一平面的两个平面平行

B

13.若右面框图表示的程序所输出的结果是 1320, 则 ?处应填( A. k ? 10 B. k ? 10 C. k ? 9 D. k ? 9 )

k=12 S=1 ?
是 否

S ? S?k k ? k ?1

输出 S 结束

14.口袋中有红、黄、白三种颜色的小球,其中红球 4 个,黄球 6 个,白球若干,各球除颜色外
1 均相同。已知从袋中摸出一球为红球的概率为 ,那么白球的个数为( 3 A.2 B.3 C.4 D.5



15.复数

2 等于( ) 1? i A.1+i B.1-i

C.-1+i

D.-1-i ( )

16.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a 2 ? ? ? a7 ?

A.14 B.21 C.28 D.35 17.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ... A. 4 3 C. 8 3 B.8 D.24
2 2


2

1 18.曲线 y ? x 3 ? x 2 ? 5 在 x ? 1 处的切线的斜率是( 3

) D. ?
5 3

A.4

B.0

C.-1

19.已知 AB 是圆 x 2 ? y 2 ? 25 的弦,AB 的中点是(1,2) ,则直线 AB 的方程是( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0



D. 2 x ? y ? 0

20. 正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1, 是 A1B1 的中点, E 则点 E 到平面 AB C1D1 的距离为 ( A.



3 2

B. 2
2

C.

1 2
x

D.

3 3


21.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ,则 b 为( A.-1 B.0 C.1 22.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B = ( A.- D.无法确定 )

2 2 3

B.

2 2 3

C.-

6 3

D.

6 3

23.设 ? >0,函数 y ? sin(?x ? 是( ) A.
2 5

?
4

) ? 3 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值 5

B.

4 5

C.

5 2

D.5 )

24.设抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A.4 B.6 C.8 D.12 ) D.-3

25. 已知数列 {an } 中, a1 ? 3, a 2 ? 6, a n? 2 ? a n?1 ? a n ,则 a 2011=( A.6 B.-6 C.3
?1 ? x ? y ? 4 26. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? ?| x ? y |? 2

,若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在 ) D. (0,2)

点(3,1)处取得最大值,则 a 的取值范围为( A. (1,??) B. (0,1)

C. (2,??)

二、 选择题 (本题有 A, 两组题, B 任选其中一组完成, 每组各 4 小题, 每小题 3 分, 12 分. 共 每 小题只有一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选均不得分) A组 27.2 i -1 的共轭复数是( A.1+2 i ) C.1-2 i D.-1-2 i )

B.-1+2 i
3

28.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax 在[-1,1]上是单调减函数,则 a 的最小值是( A.-3 B.-1 C.1 D.3 )

29.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

30.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90° ,点 E、

F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是 ( A.45° C.90° B.60° D.120° B组

)

31.设平面 ? 内两个向量的坐标分别为(1,2,1)(-1,1,2) 、 ,则下列向量中是 ? 的法向量 的是( ) B. (-1,1, -1) ) C. ?70 ) 2
3 8

A. (-1,-2,5)

C. (1,1,1)

D. (1,-1,-1)

1 32. ( x ? ) 8 展开式中的常数项是( x A. ?56 B. 56

D. 70

33.若某随机变量 ? 的分布列如下表,则随机变量 ? 的方差是(

?
P A.
1 4

0
3 8

1
1 4

B.

3 8

C.

3 4

D.1

34.用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? n) ? 2 n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) (n ? N *) ,从 n=k 到 n=k+1,左边的式子之比是( A.
1 2k ? 1

) C. 试卷Ⅱ
2k ? 1 k ?1

B.

1 2(2k ? 1)

D.

2k ? 3 k ?1

三、填空题(本题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 35.已知 ?ABC 满足 AB ? 3 , AC ? 4 , ?A ? 30? ,则 ?ABC 的面积为___________. 36.经过点 A(0,2) ,且与直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程的一般式为 37.设 x ? 0 ,则 y ? 3x ?
1 的最小值为 x



. 0.04 0.03 0.02 0.01 .

频率 组距

38.若汽车通过某一段公路时的时速的 频率分布直方图如右图所示, 则时速在 [50,70] 的频率为 39.设 ?POQ ? 60? , O 、Q 在 P O 则 | OG | 的最小值是________.

40 50 60 70 80 时速 (km) 上分别有动点 A、B , O O 若 A ?B

??? ??? ? ?

? 6 ,?OAB 的重心为 G ,

????

四、解答题(共 20 分)
40.(本题 6 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (2) f ( x) 的单调递增区间. 41.(本题 6 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ? (1)求 f (x) 的极值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? t (t ? R, a ? 0), 若函数 g (x) 在 [?1,??) 上有三个零点,求实数 t 的取 值范围. 42. (本题 8 分) 如图, 由半椭圆 x ?
2

3 (a ? R且a ? 0). a

y2 ? 1( y ? 0, a ? 0) 和部分抛物线 y ? x 2 ? 1( y ? 0) a

合成 的曲线 C 经过点 ( ,? 3 ) . (1)求 a 的值; (2)设 A(1,0), B(?1,0), 过 A 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 相交与 P, A, Q 三点,问是否存 在实数 k 使得 ?QBP ? 90? ?若存在,求出 k 的值;若不存在, 请说明理由. y

1 2

Q

B P

A

x

参考答案和评分标准
一、选择题(本题有 26 小题,1~20 小题每题 2 分,21~26 小题每题 3 分,共 58 分.每小题中 只有一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选均不得分) 1-5 DBDCD 16-20 C D C A B 6-10 21-26 CAB CA AD CB CA 11-15 D D D A A

二、 选择题 (本题有 A, 两组题, B 任选其中一组完成, 每组各 4 小题, 每小题 3 分, 12 分. 共 每 小题只有一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选均不得分) A 组 27.D B 组 31.B 28.D 32.D 29.C 33.C 30.B 34.B

三、填空题(本题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 35. 3 36. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 37. 2 3 38. 0.7 39.2

四、解答题(本题有 3 小题,第 36 小题 6 分,第 37 小题 6 分,第 38 小题 8 分,共 20 分) 40.(本题 6 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (2) f ( x) 的单调递增区间. 【答案】解: (Ⅰ)由已知可得

f ( x) ? sin x ? cos x ? 1
? ? 2 sin( x ? ) ? 1 . ……………………2 分 4

f ? x ? 的最小正周期是 2? .……………………1 分
由 2k ? ? 得 2k ? ?

? ? ? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z , ……………………2 分 2 4 2 3? ? ? x ? 2k ? ? , 4 4

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [2k? ?

3? ? , 2k? ? ], k ? Z .………1 分 4 4

41.已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ?
3 2

3 (a ? R且a ? 0). a

(1)求 f (x) 的极值;

(2)设 g ( x) ? f ( x) ? t (t ? R, a ? 0), 若函数 g (x) 在 [?1,??) 上有三个零点,求实数 t 的取 值范围. 41. (1) f ( x) ? 3x(ax ? 2)
/

2 2 当a ? 0, f ( x)在(??,0)上单调递增, (0, )上单调递减, ( ,??)上单调递增. a a 3 2 4 3 (1 分) f ( x)极大值 ? f (0) ? 1 ? , f ( x)极小值 ? f ( ) ? ? 2 ? ? 1 a a a a 2 2 当a ? 0, f ( x)在(??, )上单调递减, ( ,0)上单调递增, (0,??)上单调递减. a a 2 4 3 3 (1 分) f ( x)极大值 ? f (0) ? 1 ? , f ( x)极小值 ? f ( ) ? ? 2 ? ? 1 a a a a
(2) f (?1) ? ?a ? 2 ?

2 (a ? 1)( a ? 2) 2 3 , f ( ) ? f (?1) ? a a2 a

①当 0 ? a ? 1 时, f ( ) ? f (?1) ,

2 a

3 3 ? t ? 1 ? 函数 g (x) 在 [?1,??) 上有三个零点 (2 分) a a 2 ②当 a ? 1 时, f ( ) ? f (?1) , a 4 3 3 ? ? 2 ? ? 1 ? t ? 1 ? 函数 g (x) 在 [?1,??) 上有三个零点(2 分) a a a ? ?a ? 2 ?

y2 ? 1( y ? 0, a ? 0) 和部分抛物线 y ? x 2 ? 1( y ? 0) 合成的曲线 C 经 42.如图,由半椭圆 x ? a
2

过点 ( ,? 3 ) . (1)求 a 的值; (2)设 A(1,0), B(?1,0), 过 A 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 相交与 P, A, Q 三点,问是否存在实 数 k 使得 ?QBP ? 90? ?若存在,求出 k 的值;若不 y 存在,请说明理由.

1 2

Q

B P

A

x

1 y2 2 42.(1) 点( ,? 3 )代入x ? ? 1, 得a ? 4 2 a
(2) PQ方程为y ? k ( x ? 1)代入y ? x ? 1, 得x ? kx ? k ? 1 ? 0
2 2

(2 分)

? x ? 1或x ? k ? 1,即Q(k ? 1, k 2 ? 2k )

(1 分)

又代入x 2 ?

y2 ? 1, 得(4 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 4
(1 分)

k2 ?4 k 2 ? 4 ? 8k ? x ? 1或x ? 2 ,即P( 2 , ) k ?4 k ? 4 4? k2
? ?QBP ? 90?, 即BP ? BQ,? BP ? BQ ? 0

BP ? (

2k 2 ? 8k , 2 ) , BQ ? (k , k 2 ? 2k ) , 2 k ?4 k ?4
3 2

可得 ? 3k ? 8k ? 0,

(2 分)

k2 ? 4 8 ? 1 ,即 k ? 2 . 解得 k ? 0或k ? ,又 k ? 1 ? 1, 2 k ?4 3
因此存在实数 k ?

8 使 ?QBP ? 90? . 3

(2 分)


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