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均值不等式和柯西不等式


中小学 1 对 1 课外辅导专家

武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象 授课时间 课 型 孙嘉钰 5-5 复习 授课教师 授课题目 使用教具 杨鹏 不等式(二) 讲义、白纸

教学目标 教学重点和难点 参考教材

灵活的运用均值不等式和柯西不等式求最值 重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题 网资
教学流程及授课详案
时间分配及备注

一、柯西不等式和均值不等式 1、柯西不等式: 二维形式的柯西不等式: 二维形式的柯西不等式:

(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 (a, b, c, d ∈ R). 当且仅当 ad = bc 时,等号成立. 等号成立
三维形式的柯西不等式: 三维形式的柯西不等式:

(a12 + a2 2 + a32 )(b12 + b2 2 + b32 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + a3b3 )2 .
一般形式的柯西不等式: 一般形式的柯西不等式:

(a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 .
2、均值不等式及使用条件: 均值不等式, a1 , a 2 ,L a n ∈ R , 若 则 (1) a1 , a 2 ,L a n 是正数; (2)和( a1 + a 2 + L + a n )或( a1 ? a 2 ? L ? a n )为定值; (3)当且仅当 a1 = a 2 = L = a n 时,取等号。
+

a1 + a 2 + L + a n n ≥ a1 + a 2 + L + a n ( n ∈ N n

在运用均值不等式解题时,必须满足“一正、二定、三相等”的条件。但有的题目 不能直接利用均值不等式,因此要作一些技巧性转化、变形,才能求得正确的最值。 二例题: 1、柯西不等式向量求最值 1、设 x, y , z ∈ R , x 2 + y 2 + z 2 = 25 ,试求 x ? 2 y + 2 z 的最大值与最小值。
答:根据柯西不等式

(1 ? x ? 2 ? y + 2 ? z ) 2 ≤ [12 + (?2) 2 + 2 2 ]( x 2 + y 2 + z 2 )
即 ( x ? 2 y + 2z)

≤ 9 × 25 而有 ? 15 ≤ x ? 2 y + 2 z ≤ 15
2

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故 x ? 2 y + 2 z 的最大值为 15,最小值为–15。

2、设 x, y, z ∈ R , 2 x ? y ? 2 z = 6 ,试求 x 2 + y 2 + z 2 之最小值。
答案:考虑以下两组向量

v u = ( 2, –1, –2)

v v v2 v2 v v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 (u ? v ) 2 ≤ u ? v ,就有

[2 x + (?1) y + (?2) z ] 2 ≤ [2 2 + (?1) 2 + (?2) 2 ]( x 2 + y 2 + z 2 ) 即 ( 2 x ? y ? 2 z ) 2 ≤ 9( x 2 + y 2 + z 2 ) 将 2x ? y ? 2z = 6 代 入 其 中 , 得 36 ≤ 9( x 2 + y 2 + z 2 ) 而有 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 故 x 2 + y 2 + z 2 之最小值为 4。
3、设 x, y , z ∈ R , 2 x ? y ? 2 z = 6 ,求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值 m,并求此时 x、y、z 之 值。 Ans: m = 4; ( x, y , z ) = ( ,?

4 3

2 4 ,? ) 3 3

4 设 x,y,z ∈ R,2x + 2y + z + 8 = 0,则(x ? 1)2 + (y + 2)2 + (z ? 3)2 之最小值为 解: 2x + 2y + z + 8 = 0 ? 考虑以下两组向量 2(x ? 1) + 2(y + 2) + (z ? 3) = ? 9,

v u =(

,

,

) , v =(

v

,

,

) (u ? v ) ≤ u ? v
2

v v

v2 v2

[2(x ? 1) + 2(y + 2) + (z ? 3)]2 ≤ [(x ? 1)2 + (y + 2) 2 + (z ? 3) 2].(22 + 22 + 12) ? (x ? 1) + (y + 2) + (z ? 3) ≥
2 2 2

(? 9) 2 9

=9

5 设 x, y, z ∈ R,若 2 x ? 3 y + z = 3 ,则 x 2 + ( y ? 1) 2 + z 2 之最小值为________,又此 时 y = ________。
解: 2 x ? 3 y + z = 3 考虑以下两组向量 v u =( , , 解 ? 2x ? 3(y ? 1) + z =( ) , v =( ),

v

, 析

,

) :

[ x 2 + ( y ? 1) 2 + z 2 ][2 2 + (?3) 2 + 12 ] ≥ (2 x ? 3 y + 3 + z ) 2 [ x 2 + ( y ? 1) 2 + z 2 ] ≥ 18 7 x y ?1 z = = = t, Q 2 x ? 3 y + z = 3,∴ 2(2t ) ? 3(?3t + 1) + t = 3 2 ?3 1 3 2 ∴t = ∴y=? 7 7
∴最小值

2

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6 设 a,b,c 均为正数且 a + b + c = 9,则

4 9 16 + + 之最小值为 a b c

解:考虑以下两组向量 v u =( , ,

) , v =(

v

,

,

)

v v v2 v2 (u ? v ) 2 ≤ u ? v
c) ? ? (

(

2 3 4 4 9 16 ? a+ ? b+ ? c ) 2 ≤ ( + + )(a + b + a b c a b c

4 9 16 + + ).9 ≥ (2 + 3 + 4)2 = 81 a b c 4 9 16 81 + + ≥ =9 a b c 9

7、设 a, b, c 均为正数,且 a + 2b + 3c = 2 ,则

a = ________。 解:考虑以下两组向量 v u =( , ,

1 2 3 + + 之最小值为________,此时 a b c

) , v =(

v

,

,

)

v v v2 v2 (u ? v ) 2 ≤ u ? v

1 2 2 3 ) + ( ) 2 + ( ) 2 ] ≥ (1 + 2 + 3) 2 a b c a 2b 3c 1 2 3 v v = = ∴ ( + + ) ≥ 18 , 最小值为 18 等号发生于 u // v 故 a b c 1 2 3 a b c 1 ∴ a = b = c 又 a + 2b + 3c = 2 ∴ a = 3 [( a ) 2 + ( 2b ) 2 + ( 3c ) 2 ][(
2、均值不等式几种常见的方法

一、凑正值 例 1 设 x<-1,求函数 y = ( x + 1) +

4 + 5 的最值。 x +1

分析:欲用均值不等式来解。因 x + 1 < 0 ,则不满足“正”的条件,故需利用已知 条件调整其符号。 解:因为 x < ?1 ,即 x + 1 < 0 ,所以 ? ( x + 1) > 0 , 则 ( x + 1) +

4 x +1

3

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= ?[ ?( x + 1) +

4 ] ? ( x + 1)


4 ≤ ?2 [ ?( x + 1)] ? = ?4 ? ( x + 1)

当且仅当 ? ( x + 1) =

4 ,即 x = ?3 时,y 有最大值,且 y max = ?4 + 5 = 1 ,y ? ( x + 1)

无最小值。 评注: (1)本题通过“凑” ,利用条件 x < ?1 将有关项化为正值,从而满足公式中 正的条件。否则就会出现 ( x + 1) +

4 4 ≥ 2 ( x + 1) ? = 4 ,则 y max = 4 + 5 = 9 的 x +1 x +1 a + bx (a > 0,b > 0,x > 0) 的形式再 x

错误。 (2)对于分式函数,常常等价转化为 y =

求最值。常用的转化方法有分离系数法、换元法等。

二、变定值
2 例 2 求函数 f ( x ) = 4x +

16 的最小值。 x2 +1

分析:因 4 x 2 ?

16 并非“定值” ,故不能直接运用均值不等式,为此需对原式按 x2 +1

x 2 + 1 拆(添)项重组。
解:原函数化为

f ( x ) = 4( x 2 + 1) +
因为 4( x 2 + 1) +

16 ?4 x2 +1

16 x +1
2

≥ 2 4( x 2 + 1) ?

16 = 16 x2 +1

所以 f ( x ) ≥ 16 ? 4 = 12 。 当且仅当 4( x 2 + 1) =

16 即 x=1,x=-1 时, f ( x ) min = 12 。 x2 +1

评注:通过拆(添)项, “变”也定值是本题求解的关键。对此要弄清以“谁”为“基

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准” (如本题中以 x 2 + 1 为基准)来拆、添、配、凑,做到有的放矢。

2 例 3 求函数 y = x (1 ? 3x )(0 < x < ) 的最大值。

1 3

分析:因 x 2 + (1 ? 3x ) ≠ 定值,故需拆凑使其满足定值条件,原函数中有一个因式

(1 ? 3x ) ,为使其余因式 x 2 与( 1 ? 3x )之和为定值,需以( 1 ? 3x )为准将 x 2 拆成
4 3 3 3 3 ? x ? x ,这时就有 x + x + (1 ? 3x ) = 定值。 9 2 2 2 2
解: y =

4 3 3 ? x ? x ? (1 ? 3x ) 9 2 2

3 3 x + x + (1 ? 3x ) 4 2 4 2 ≤ ( )3 = 。 9 3 243
当且仅当

3 3 2 4 x = x = 1 ? 3x ,即 x = 时, y max = 。 2 2 9 243

评注:一般说,凑“和”为定值较难,它需要一定的技巧。当然这种技巧来源于对 均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力。

三、找等号
2 例 4 求函数 y = cos x +

2 π ( x ≠ kπ + ,k ∈ Z) 的最小值。 2 2 cos x

错解:直接利用均值不等式,得

y = cos 2 x + ≥ 2 cos 2 x ?

2 cos 2 x 2 =2 2 cos 2 x

所以 y min = 2 2 。 这种解法之所以错误,原因是 cos 2 x ≠ 正解:原函数拆项,得

2 ,即取不到“等”的条件。 cos 2 x

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y = (cos 2 x +
因为 cos 2 x +

1 1 )+ 2 cos x cos 2 x 1 1 ≥ 2 ,当且仅当 cos 2 x = 即 cos 2 x = 1 时等号成立, 2 cos x cos 2 x

又因为 x ≠ kπ +

π ( k ∈ Z) 2 1 ≥ 1 ,当且仅当 cos 2 x = 1 时取等号。 2 cos x

所以 0 < cos 2 x ≤ 1,

上面两式同时取等号,故 y min = 2 + 1 = 3 。 评注:错解中取不到等号成立的条件是当 cos 2 x =

2 时, cos 4 x = 2 ,则 cos 2 x

cos 2 x = 2 ,这是不可能的。
本例也告诉我们,在用均值不等式求三角函数最值时,既要考虑等号,又要考虑三 角函数的有界性,使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。

四、综合变换
2 例 5 求函数 y = 2 x +

3 ( x > 0) 的最小值,下列解法是否正确?为什么? x

解法 1: y = 2 x 2 +

3 1 2 1 2 = 2 x 2 + + ≥ 33 2 x 2 ? ? = 33 4 , x x x x x

所以 y min = 33 4 。

解法 2: y = 2 x 2 +

3 3 ≥ 2 2x 2 ? = 2 6x x x

当 2x 2 =

3 3 12 ,即 x = 时, x 2

y min = 2 6 ?

3

12 = 2 33 12 = 26 324 。 2 1 2 = , x x

评注: 所给两种解法均有错误。 解法 1 错在取不到 “等”即不存在 x 使 2 x 2 = ,

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解法 2 错在 2 6 x 不是定值。 正解:对原函数合理拆(添)项,得

3 3 3 = 2x 2 + + x 2x 2x 3 3 ≥ 33 2 x 2 ? ? 2 x 2x y = 2x 2 + = 33 2 ? 9 33 = 36 4 2
3 3 6 3 ,即 x = 时, y min = 3 36 。 2x 2 2

当且仅当 2 x 2 =

通过以上几例我们体会到:均值定理真重要,用于最值有诀窍,正确理解“正、定、 等” ,合理进行拆、拼、凑。

练习: 练习:

1. 已知 x>0,y>0,且

1 9 + = 1 ,求 x + y 的最小值。 x y

2. 若 a>0,b>0,且 ab = a + b + 3 ,求 ab 的最小值。 3. 求 y = sin x cos 2 x,x ∈ (0, ) 的最大值。

π 2

1
答案与提示:1. 由

x

+

9 y

= 1 ? ( x ? 1)( y ? 9) = 9 (定值) ,又知 x>1,y>9,故当且

仅当 x-1=y-9=3,即 x=4,y=12 时, ( x + y) min = 16 。

2.



a + b ≥ 2 ab





ab = a + b + 3 ≥ 2 ab + 3 ? ab ? 2 ab ? 3 ≥ 0 ? (ab) min = 9
3. sin x > 0, x > 0 , cos

y 2 = sin 2 x cos 4 x =

2 sin 2 x cos 2 x cos 2 x ≤ 2 1 2 sin 2 x + cos 2 x + cos 2 x 3 4 4 2 3 ( ) = ,y ≤ = 2 3 27 27 9

7

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此时, 2 sin 2 x = cos 2 x, 2 x = 2 ,故当 x = arc cot 2 时, y max = cot

2 3 。 9

一、配凑 1. 凑系数 例 1. 当 0 < x < 4 时,求 y = x (8 ? 2 x ) 的最大值。

2. 凑项 例 2. 已知 x <

5 1 ,求函数 f ( x ) = 4 x ? 2 + 的最大值。 4 4x ? 5

3. 分离 例 3. 求 y =

x 2 + 7 x + 10 ( x≠ ? 1) 的值域。 x +1

二、整体代换 例 4. 已知 a > 0,b > 0,a + 2b = 1 ,求 t =

1 1 + 的最小值。 a b

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三、换元

例 5. 求函数 y =

x+2 的最大值。 2x + 5

四、取平方 例 6. 求函数 y =

1 5 2 x ? 1 + 5 ? 2 x ( < x < ) 的最大值。 2 2

[练一练] 练一练] 1. 若 0 < x < 2 ,求 y =

x (6 ? 3x ) 的最大值。

2. 求函数 y =

1 + x ( x > 3) 的最小值。 x?3

9

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x2 + 8 3. 求函数 y = ( x > 1) 的最小值。 x ?1

4. 已知 x > 0,y > 0 ,且

1 1 + = 9 ,求 x + y 的最小值。 x y

5

设 x, y 是满足 2 x + y = 20 的正数,则 lg x + lg y 的最大值是( )

6 若 a, x, y ∈ R + ,且 x + y ≤ a x + y 恒成立,则 a 的最小值是(

)

7 求y=

1 2 π + ,(0<x< )的最小值 2 2 sin x cos x 2

8 已知函数 f(x)=
(1)当 a=

x2 + 2x + a ,x∈[1,+∞ ) x
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

1 时,求函数 f(x)的最小值 2

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(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

9 已知 x, y ∈ R + ,且 x + 4 y = 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____ 10 设 x ∈ R + 且 x 2 +
y2 = 1 ,求 x 1 + y 2 的最大值 2

11 求 y =

x2 + 5 x2 + 4

( x ∈ R) 的最小值。

( x ? 1) 2 ( y + 2) 2 ( z ? 3) 2 12、设 x,y,z ∈ R 且 + + = 1 ,求 x + y + z 之最大值,最小 16 5 4
值。

13、 已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式

1 1 1 + + ≤λ 恒成立,求 λ 的范 x+ y y+z z+x

围.

11

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14、 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 设

a+b+c x+ y+z

的值.

家长签名:

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